Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsinvlem Structured version   Unicode version

Theorem prdsinvlem 14926
 Description: Characterization of inverses in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsinvlem.y s
prdsinvlem.b
prdsinvlem.p
prdsinvlem.s
prdsinvlem.i
prdsinvlem.r
prdsinvlem.f
prdsinvlem.z
prdsinvlem.n
Assertion
Ref Expression
prdsinvlem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdsinvlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsinvlem.n . . 3
2 prdsinvlem.r . . . . . . 7
32ffvelrnda 5870 . . . . . 6
4 prdsinvlem.y . . . . . . 7 s
5 prdsinvlem.b . . . . . . 7
6 prdsinvlem.s . . . . . . . 8
76adantr 452 . . . . . . 7
8 prdsinvlem.i . . . . . . . 8
98adantr 452 . . . . . . 7
10 ffn 5591 . . . . . . . . 9
112, 10syl 16 . . . . . . . 8
1211adantr 452 . . . . . . 7
13 prdsinvlem.f . . . . . . . 8
1413adantr 452 . . . . . . 7
15 simpr 448 . . . . . . 7
164, 5, 7, 9, 12, 14, 15prdsbasprj 13694 . . . . . 6
17 eqid 2436 . . . . . . 7
18 eqid 2436 . . . . . . 7
1917, 18grpinvcl 14850 . . . . . 6
203, 16, 19syl2anc 643 . . . . 5
2120ralrimiva 2789 . . . 4
224, 5, 6, 8, 11prdsbasmpt 13692 . . . 4
2321, 22mpbird 224 . . 3
241, 23syl5eqel 2520 . 2
252ffvelrnda 5870 . . . . . 6
266adantr 452 . . . . . . 7
278adantr 452 . . . . . . 7
2811adantr 452 . . . . . . 7
2913adantr 452 . . . . . . 7
30 simpr 448 . . . . . . 7
314, 5, 26, 27, 28, 29, 30prdsbasprj 13694 . . . . . 6
32 eqid 2436 . . . . . . 7
33 eqid 2436 . . . . . . 7
34 eqid 2436 . . . . . . 7
35 eqid 2436 . . . . . . 7
3632, 33, 34, 35grplinv 14851 . . . . . 6
3725, 31, 36syl2anc 643 . . . . 5
38 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10
3938fveq2d 5732 . . . . . . . . 9
40 fveq2 5728 . . . . . . . . 9
4139, 40fveq12d 5734 . . . . . . . 8
42 fvex 5742 . . . . . . . 8
4341, 1, 42fvmpt 5806 . . . . . . 7
4443adantl 453 . . . . . 6
4544oveq1d 6096 . . . . 5
46 prdsinvlem.z . . . . . . 7
4746fveq1i 5729 . . . . . 6
48 fvco2 5798 . . . . . . 7
4911, 48sylan 458 . . . . . 6
5047, 49syl5eq 2480 . . . . 5
5137, 45, 503eqtr4d 2478 . . . 4
5251mpteq2dva 4295 . . 3
53 prdsinvlem.p . . . 4
544, 5, 6, 8, 11, 24, 13, 53prdsplusgval 13695 . . 3
55 fn0g 14708 . . . . . . 7
5655a1i 11 . . . . . 6
57 ssv 3368 . . . . . . 7
5857a1i 11 . . . . . 6
59 fnco 5553 . . . . . 6
6056, 11, 58, 59syl3anc 1184 . . . . 5
6146fneq1i 5539 . . . . 5
6260, 61sylibr 204 . . . 4
63 dffn5 5772 . . . 4
6462, 63sylib 189 . . 3
6552, 54, 643eqtr4d 2478 . 2
6624, 65jca 519 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956   wss 3320   cmpt 4266   crn 4879   ccom 4882   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  scprds 13669  c0g 13723  cgrp 14685  cminusg 14686 This theorem is referenced by:  prdsgrpd  14927  prdsinvgd  14928 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813
 Copyright terms: Public domain W3C validator