Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsle Structured version   Unicode version

Theorem prdsle 13674
 Description: Structure product weak ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p s
prdsbas.s
prdsbas.r
prdsbas.b
prdsbas.i
prdsle.l
Assertion
Ref Expression
prdsle
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem prdsle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3 s
2 eqid 2435 . . 3
3 prdsbas.i . . 3
4 prdsbas.s . . . 4
5 prdsbas.r . . . 4
6 prdsbas.b . . . 4
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 13670 . . 3
8 eqid 2435 . . . 4
91, 4, 5, 6, 3, 8prdsplusg 13671 . . 3
10 eqid 2435 . . . 4
111, 4, 5, 6, 3, 10prdsmulr 13672 . . 3
12 eqid 2435 . . . 4
131, 4, 5, 6, 3, 2, 12prdsvsca 13673 . . 3
14 eqidd 2436 . . 3
15 eqidd 2436 . . 3
16 eqidd 2436 . . 3
17 eqidd 2436 . . 3
18 eqidd 2436 . . 3 comp comp
191, 2, 3, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 4, 5prdsval 13668 . 2 Scalar TopSet comp comp
20 prdsle.l . 2
21 pleid 13612 . 2 Slot
22 fvex 5734 . . . . . 6
236, 22eqeltri 2505 . . . . 5
2423, 23xpex 4982 . . . 4
25 vex 2951 . . . . . . . 8
26 vex 2951 . . . . . . . 8
2725, 26prss 3944 . . . . . . 7
2827anbi1i 677 . . . . . 6
2928opabbii 4264 . . . . 5
30 opabssxp 4942 . . . . 5
3129, 30eqsstr3i 3371 . . . 4
3224, 31ssexi 4340 . . 3
3332a1i 11 . 2
34 snsstp2 3942 . . . 4 TopSet
35 ssun1 3502 . . . 4 TopSet TopSet comp comp
3634, 35sstri 3349 . . 3 TopSet comp comp
37 ssun2 3503 . . 3 TopSet comp comp Scalar TopSet comp comp
3836, 37sstri 3349 . 2 Scalar TopSet comp comp
3919, 20, 21, 33, 38prdsvallem 13667 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cvv 2948   cun 3310   wss 3312  csn 3806  cpr 3807  ctp 3808  cop 3809   class class class wbr 4204  copab 4257   cmpt 4258   cxp 4868   cdm 4870   crn 4871   ccom 4874  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  c1st 6339  c2nd 6340  cixp 7055  csup 7437  cc0 8980  cxr 9109   clt 9110  cnx 13456  cbs 13459   cplusg 13519  cmulr 13520  Scalarcsca 13522  cvsca 13523  TopSetcts 13525  cple 13526  cds 13528   chom 13530  compcco 13531  ctopn 13639  cpt 13656  scprds 13659 This theorem is referenced by:  prdsless  13675  prdsds  13676  prdstset  13678  prdshom  13679  prdsco  13680  prdsleval  13689  pwsle  13704 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-hom 13543  df-cco 13544  df-prds 13661
 Copyright terms: Public domain W3C validator