MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsleval Structured version   Unicode version

Theorem prdsleval 13701
Description: Value of the product ordering in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbasmpt.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbasmpt.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbasmpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsbasmpt.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
prdsplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
prdsleval.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
Assertion
Ref Expression
prdsleval  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, G    ph, x    x, I    x, V    x, R    x, S    x, W    x, Y
Allowed substitution hint:    .<_ ( x)

Proof of Theorem prdsleval
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4215 . . 3  |-  ( F 
.<_  G  <->  <. F ,  G >.  e.  .<_  )
2 prdsbasmpt.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
3 prdsbasmpt.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsbasmpt.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
5 prdsbasmpt.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 fnex 5963 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
74, 5, 6syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
8 prdsbasmpt.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
9 fndm 5546 . . . . . . 7  |-  ( R  Fn  I  ->  dom  R  =  I )
104, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
11 prdsleval.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  Y )
122, 3, 7, 8, 10, 11prdsle 13686 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) } )
13 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
14 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
1513, 14prss 3954 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B )  <->  { f ,  g } 
C_  B )
1615anbi1i 678 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) )  <->  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )
1716opabbii 4274 . . . . 5  |-  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }
1812, 17syl6eqr 2488 . . . 4  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) } )
1918eleq2d 2505 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  e.  .<_ 
<-> 
<. F ,  G >.  e. 
{ <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  B  /\  g  e.  B )  /\  A. x  e.  I 
( f `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) } ) )
201, 19syl5bb 250 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  <. F ,  G >.  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) } ) )
21 prdsplusgval.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
22 prdsplusgval.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
23 fveq1 5729 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
24 fveq1 5729 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  x )  =  ( G `  x ) )
2523, 24breqan12d 4229 . . . . 5  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x )  <-> 
( F `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2625ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x )  <->  A. x  e.  I 
( F `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2726opelopab2a 4472 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( <. F ,  G >.  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2821, 22, 27syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2920, 28bitrd 246 1  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   {cpr 3817   <.cop 3819   class class class wbr 4214   {copab 4267   dom cdm 4880    Fn wfn 5451   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   lecple 13538   X_scprds 13671
This theorem is referenced by:  xpsle  13808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673
  Copyright terms: Public domain W3C validator