MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsleval Unicode version

Theorem prdsleval 13392
Description: Value of the product ordering in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbasmpt.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbasmpt.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbasmpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsbasmpt.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
prdsplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
prdsleval.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
Assertion
Ref Expression
prdsleval  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, G    ph, x    x, I    x, V    x, R    x, S    x, W    x, Y
Allowed substitution hint:    .<_ ( x)

Proof of Theorem prdsleval
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4040 . . 3  |-  ( F 
.<_  G  <->  <. F ,  G >.  e.  .<_  )
2 prdsbasmpt.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
3 prdsbasmpt.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsbasmpt.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
5 prdsbasmpt.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 fnex 5757 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
74, 5, 6syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
8 prdsbasmpt.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
9 fndm 5359 . . . . . . 7  |-  ( R  Fn  I  ->  dom  R  =  I )
104, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
11 prdsleval.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  Y )
122, 3, 7, 8, 10, 11prdsle 13377 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) } )
13 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
14 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
1513, 14prss 3785 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B )  <->  { f ,  g } 
C_  B )
1615anbi1i 676 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) )  <->  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )
1716opabbii 4099 . . . . 5  |-  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }
1812, 17syl6eqr 2346 . . . 4  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) } )
1918eleq2d 2363 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  e.  .<_ 
<-> 
<. F ,  G >.  e. 
{ <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  B  /\  g  e.  B )  /\  A. x  e.  I 
( f `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) } ) )
201, 19syl5bb 248 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  <. F ,  G >.  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) } ) )
21 prdsplusgval.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
22 prdsplusgval.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
23 fveq1 5540 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
24 fveq1 5540 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  x )  =  ( G `  x ) )
2523, 24breqan12d 4054 . . . . 5  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x )  <-> 
( F `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2625ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x )  <->  A. x  e.  I 
( F `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2726opelopab2a 4296 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( <. F ,  G >.  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2821, 22, 27syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2920, 28bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {cpr 3654   <.cop 3656   class class class wbr 4039   {copab 4092   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   X_scprds 13362
This theorem is referenced by:  xpsle  13499
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364
  Copyright terms: Public domain W3C validator