MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsleval Unicode version

Theorem prdsleval 13376
Description: Value of the product ordering in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbasmpt.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbasmpt.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbasmpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsbasmpt.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
prdsplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
prdsleval.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
Assertion
Ref Expression
prdsleval  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, G    ph, x    x, I    x, V    x, R    x, S    x, W    x, Y
Allowed substitution hint:    .<_ ( x)

Proof of Theorem prdsleval
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4024 . . 3  |-  ( F 
.<_  G  <->  <. F ,  G >.  e.  .<_  )
2 prdsbasmpt.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
3 prdsbasmpt.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsbasmpt.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
5 prdsbasmpt.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 fnex 5741 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
74, 5, 6syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
8 prdsbasmpt.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
9 fndm 5343 . . . . . . 7  |-  ( R  Fn  I  ->  dom  R  =  I )
104, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
11 prdsleval.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  Y )
122, 3, 7, 8, 10, 11prdsle 13361 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) } )
13 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
14 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
1513, 14prss 3769 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B )  <->  { f ,  g } 
C_  B )
1615anbi1i 676 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) )  <->  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )
1716opabbii 4083 . . . . 5  |-  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }
1812, 17syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) } )
1918eleq2d 2350 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  e.  .<_ 
<-> 
<. F ,  G >.  e. 
{ <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  B  /\  g  e.  B )  /\  A. x  e.  I 
( f `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) } ) )
201, 19syl5bb 248 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  <. F ,  G >.  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) } ) )
21 prdsplusgval.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
22 prdsplusgval.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
23 fveq1 5524 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
24 fveq1 5524 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  x )  =  ( G `  x ) )
2523, 24breqan12d 4038 . . . . 5  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x )  <-> 
( F `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2625ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x )  <->  A. x  e.  I 
( F `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2726opelopab2a 4280 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( <. F ,  G >.  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2821, 22, 27syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2920, 28bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {cpr 3641   <.cop 3643   class class class wbr 4023   {copab 4076   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   X_scprds 13346
This theorem is referenced by:  xpsle  13483
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348
  Copyright terms: Public domain W3C validator