MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsleval Unicode version

Theorem prdsleval 13626
Description: Value of the product ordering in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbasmpt.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbasmpt.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbasmpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsbasmpt.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
prdsplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
prdsleval.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
Assertion
Ref Expression
prdsleval  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, G    ph, x    x, I    x, V    x, R    x, S    x, W    x, Y
Allowed substitution hint:    .<_ ( x)

Proof of Theorem prdsleval
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4154 . . 3  |-  ( F 
.<_  G  <->  <. F ,  G >.  e.  .<_  )
2 prdsbasmpt.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
3 prdsbasmpt.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsbasmpt.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
5 prdsbasmpt.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 fnex 5900 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
74, 5, 6syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
8 prdsbasmpt.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
9 fndm 5484 . . . . . . 7  |-  ( R  Fn  I  ->  dom  R  =  I )
104, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
11 prdsleval.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  Y )
122, 3, 7, 8, 10, 11prdsle 13611 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) } )
13 vex 2902 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
14 vex 2902 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
1513, 14prss 3895 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B )  <->  { f ,  g } 
C_  B )
1615anbi1i 677 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) )  <->  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )
1716opabbii 4213 . . . . 5  |-  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }
1812, 17syl6eqr 2437 . . . 4  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) } )
1918eleq2d 2454 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  e.  .<_ 
<-> 
<. F ,  G >.  e. 
{ <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  B  /\  g  e.  B )  /\  A. x  e.  I 
( f `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) } ) )
201, 19syl5bb 249 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  <. F ,  G >.  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) } ) )
21 prdsplusgval.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
22 prdsplusgval.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
23 fveq1 5667 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
24 fveq1 5667 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  x )  =  ( G `  x ) )
2523, 24breqan12d 4168 . . . . 5  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x )  <-> 
( F `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2625ralbidv 2669 . . . 4  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x )  <->  A. x  e.  I 
( F `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2726opelopab2a 4411 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( <. F ,  G >.  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2821, 22, 27syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2920, 28bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   _Vcvv 2899    C_ wss 3263   {cpr 3758   <.cop 3760   class class class wbr 4153   {copab 4206   dom cdm 4818    Fn wfn 5389   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   lecple 13463   X_scprds 13596
This theorem is referenced by:  xpsle  13733
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-hom 13480  df-cco 13481  df-prds 13598
  Copyright terms: Public domain W3C validator