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Theorem prdslmodd 15742
Description: The product of a family of left modules is a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdslmodd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdslmodd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
prdslmodd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
prdslmodd.rm  |-  ( ph  ->  R : I --> LMod )
prdslmodd.rs  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (Scalar `  ( R `  y
) )  =  S )
Assertion
Ref Expression
prdslmodd  |-  ( ph  ->  Y  e.  LMod )
Distinct variable groups:    y, I    ph, y    y, R    y, S    y, Y
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem prdslmodd
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2297 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  Y ) )
2 eqidd 2297 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  Y ) )
3 prdslmodd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
4 prdslmodd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
5 prdslmodd.rm . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> LMod )
6 prdslmodd.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
7 fex 5765 . . . 4  |-  ( ( R : I --> LMod  /\  I  e.  V )  ->  R  e.  _V )
85, 6, 7syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
93, 4, 8prdssca 13372 . 2  |-  ( ph  ->  S  =  (Scalar `  Y ) )
10 eqidd 2297 . 2  |-  ( ph  ->  ( .s `  Y
)  =  ( .s
`  Y ) )
11 eqidd 2297 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  S
)  =  ( Base `  S ) )
12 eqidd 2297 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  S
)  =  ( +g  `  S ) )
13 eqidd 2297 . 2  |-  ( ph  ->  ( .r `  S
)  =  ( .r
`  S ) )
14 eqidd 2297 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  =  ( 1r
`  S ) )
15 lmodgrp 15650 . . . . 5  |-  ( a  e.  LMod  ->  a  e. 
Grp )
1615ssriv 3197 . . . 4  |-  LMod  C_  Grp
17 fss 5413 . . . 4  |-  ( ( R : I --> LMod  /\  LMod  C_ 
Grp )  ->  R : I --> Grp )
185, 16, 17sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
193, 6, 4, 18prdsgrpd 14620 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
20 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
21 eqid 2296 . . . 4  |-  ( .s
`  Y )  =  ( .s `  Y
)
22 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
234adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  S  e.  Ring )
24 elex 2809 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
256, 24syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
2625adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  I  e.  _V )
275adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  R : I --> LMod )
28 simprl 732 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  a  e.  ( Base `  S
) )
29 simprr 733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  b  e.  ( Base `  Y
) )
30 prdslmodd.rs . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (Scalar `  ( R `  y
) )  =  S )
3130adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
) ) )  /\  y  e.  I )  ->  (Scalar `  ( R `  y ) )  =  S )
323, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 28, 29, 31prdsvscacl 15741 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  (
a ( .s `  Y ) b )  e.  ( Base `  Y
) )
33323impb 1147 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  ( a ( .s `  Y ) b )  e.  (
Base `  Y )
)
34 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( R : I --> LMod  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  LMod )
355, 34sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  LMod )
3635adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  LMod )
37 simplr1 997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  S
) )
3830fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  (
Base `  S )
)
3938adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  (
Base `  S )
)
4037, 39eleqtrrd 2373 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) )
414ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  Ring )
4225ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  _V )
43 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( R : I --> LMod  ->  R  Fn  I )
445, 43syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
4544ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
46 simplr2 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  b  e.  ( Base `  Y
) )
47 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
483, 20, 41, 42, 45, 46, 47prdsbasprj 13387 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
b `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
49 simplr3 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  c  e.  ( Base `  Y
) )
503, 20, 41, 42, 45, 49, 47prdsbasprj 13387 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
51 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
52 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( R `  y
) )  =  ( +g  `  ( R `
 y ) )
53 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  ( R `  y ) )  =  (Scalar `  ( R `  y ) )
54 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  ( R `  y ) )  =  ( .s `  ( R `  y )
)
55 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y
) ) )
5651, 52, 53, 54, 55lmodvsdi 15666 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  LMod  /\  (
a  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  /\  ( b `  y )  e.  (
Base `  ( R `  y ) )  /\  ( c `  y
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) )  ->  ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `  y ) ) ( b `  y ) ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ) )
5736, 40, 48, 50, 56syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( .s `  ( R `  y ) ) ( ( b `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( b `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( a ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
58 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
593, 20, 41, 42, 45, 46, 49, 58, 47prdsplusgfval 13389 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( b ( +g  `  Y ) c ) `
 y )  =  ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) )
6059oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( .s `  ( R `  y ) ) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( ( b `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
613, 20, 21, 22, 41, 42, 45, 37, 46, 47prdsvscafval 13395 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .s
`  Y ) b ) `  y )  =  ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( b `  y
) ) )
623, 20, 21, 22, 41, 42, 45, 37, 49, 47prdsvscafval 13395 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .s
`  Y ) c ) `  y )  =  ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )
6361, 62oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a ( .s `  Y ) b ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( ( a ( .s `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( b `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( a ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
6457, 60, 633eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( .s `  ( R `  y ) ) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( ( ( a ( .s `  Y
) b ) `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( a ( .s `  Y ) c ) `
 y ) ) )
6564mpteq2dva 4122 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( a ( .s `  ( R `  y )
) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( .s `  Y ) b ) `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( ( a ( .s `  Y ) c ) `  y
) ) ) )
664adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  S  e.  Ring )
6725adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  I  e.  _V )
6844adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R  Fn  I )
69 simpr1 961 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  a  e.  ( Base `  S )
)
7019adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  Y  e.  Grp )
71 simpr2 962 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  b  e.  ( Base `  Y )
)
72 simpr3 963 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  c  e.  ( Base `  Y )
)
7320, 58grpcl 14511 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
b ( +g  `  Y
) c )  e.  ( Base `  Y
) )
7470, 71, 72, 73syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( b
( +g  `  Y ) c )  e.  (
Base `  Y )
)
753, 20, 21, 22, 66, 67, 68, 69, 74prdsvscaval 13394 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) ( b ( +g  `  Y ) c ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( ( b ( +g  `  Y ) c ) `
 y ) ) ) )
76323adantr3 1116 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) b )  e.  ( Base `  Y
) )
774adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  S  e.  Ring )
7825adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  I  e.  _V )
795adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  R : I --> LMod )
80 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  a  e.  ( Base `  S
) )
81 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  c  e.  ( Base `  Y
) )
8230adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y
) ) )  /\  y  e.  I )  ->  (Scalar `  ( R `  y ) )  =  S )
833, 20, 21, 22, 77, 78, 79, 80, 81, 82prdsvscacl 15741 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  (
a ( .s `  Y ) c )  e.  ( Base `  Y
) )
84833adantr2 1115 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) c )  e.  ( Base `  Y
) )
853, 20, 66, 67, 68, 76, 84, 58prdsplusgval 13388 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( .s `  Y ) b ) ( +g  `  Y
) ( a ( .s `  Y ) c ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( .s `  Y
) b ) `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( a ( .s `  Y ) c ) `
 y ) ) ) )
8665, 75, 853eqtr4d 2338 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) ( b ( +g  `  Y ) c ) )  =  ( ( a ( .s `  Y ) b ) ( +g  `  Y ) ( a ( .s `  Y
) c ) ) )
874ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  Ring )
8825ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  _V )
8944ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
90 simplr1 997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  S
) )
91 simplr3 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  c  e.  ( Base `  Y
) )
92 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
933, 20, 21, 22, 87, 88, 89, 90, 91, 92prdsvscafval 13395 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .s
`  Y ) c ) `  y )  =  ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )
94 simplr2 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  b  e.  ( Base `  S
) )
953, 20, 21, 22, 87, 88, 89, 94, 91, 92prdsvscafval 13395 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( b ( .s
`  Y ) c ) `  y )  =  ( b ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )
9693, 95oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a ( .s `  Y ) c ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( ( b ( .s `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( b ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
9735adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  LMod )
9838adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  (
Base `  S )
)
9990, 98eleqtrrd 2373 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) )
10094, 98eleqtrrd 2373 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  b  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) )
1013, 20, 87, 88, 89, 91, 92prdsbasprj 13387 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
102 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  =  ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y
) ) )
10351, 52, 53, 54, 55, 102lmodvsdir 15668 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  LMod  /\  (
a  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  /\  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) ) )  -> 
( ( a ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( b ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
10497, 99, 100, 101, 103syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( b ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ) )
10530adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (Scalar `  ( R `  y
) )  =  S )
106105fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  ( +g  `  S ) )
107106oveqd 5891 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) b )  =  ( a ( +g  `  S
) b ) )
108107oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) )  =  ( ( a ( +g  `  S
) b ) ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )
10996, 104, 1083eqtr2rd 2335 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( +g  `  S ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( ( a ( .s `  Y
) c ) `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b ( .s `  Y ) c ) `
 y ) ) )
110109mpteq2dva 4122 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( ( a ( +g  `  S
) b ) ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( .s `  Y
) c ) `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b ( .s `  Y ) c ) `
 y ) ) ) )
1114adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  S  e.  Ring )
11225adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  I  e.  _V )
11344adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R  Fn  I )
114 simpr1 961 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  a  e.  ( Base `  S )
)
115 simpr2 962 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  b  e.  ( Base `  S )
)
116 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
11722, 116rngacl 15384 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( a
( +g  `  S ) b )  e.  (
Base `  S )
)
118111, 114, 115, 117syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( +g  `  S ) b )  e.  (
Base `  S )
)
119 simpr3 963 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  c  e.  ( Base `  Y )
)
1203, 20, 21, 22, 111, 112, 113, 118, 119prdsvscaval 13394 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( +g  `  S
) b ) ( .s `  Y ) c )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( a ( +g  `  S ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
121833adantr2 1115 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) c )  e.  ( Base `  Y
) )
1225adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R :
I --> LMod )
1233, 20, 21, 22, 111, 112, 122, 115, 119, 105prdsvscacl 15741 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( b
( .s `  Y
) c )  e.  ( Base `  Y
) )
1243, 20, 111, 112, 113, 121, 123, 58prdsplusgval 13388 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( .s `  Y ) c ) ( +g  `  Y
) ( b ( .s `  Y ) c ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( .s `  Y
) c ) `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b ( .s `  Y ) c ) `
 y ) ) ) )
125110, 120, 1243eqtr4d 2338 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( +g  `  S
) b ) ( .s `  Y ) c )  =  ( ( a ( .s
`  Y ) c ) ( +g  `  Y
) ( b ( .s `  Y ) c ) ) )
12695oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( .s `  ( R `  y ) ) ( ( b ( .s `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( b ( .s `  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ) )
127 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  =  ( .r `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )
12851, 53, 54, 55, 127lmodvsass 15670 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  LMod  /\  (
a  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  /\  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) ) )  -> 
( ( a ( .r `  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( b ( .s `  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ) )
12997, 99, 100, 101, 128syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .r
`  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) )  =  ( a ( .s `  ( R `  y )
) ( b ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) ) )
130105fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( .r `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  ( .r `  S ) )
131130oveqd 5891 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( .r `  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b )  =  ( a ( .r `  S ) b ) )
132131oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .r
`  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) )  =  ( ( a ( .r `  S ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) )
133126, 129, 1323eqtr2rd 2335 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .r
`  S ) b ) ( .s `  ( R `  y ) ) ( c `  y ) )  =  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( ( b ( .s
`  Y ) c ) `  y ) ) )
134133mpteq2dva 4122 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( ( a ( .r `  S ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( ( b ( .s `  Y ) c ) `  y
) ) ) )
135 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
13622, 135rngcl 15370 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( a
( .r `  S
) b )  e.  ( Base `  S
) )
137111, 114, 115, 136syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .r `  S
) b )  e.  ( Base `  S
) )
1383, 20, 21, 22, 111, 112, 113, 137, 119prdsvscaval 13394 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( .r `  S ) b ) ( .s `  Y
) c )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( a ( .r `  S ) b ) ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ) )
1393, 20, 21, 22, 111, 112, 113, 114, 123prdsvscaval 13394 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) ( b ( .s `  Y ) c ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( ( b ( .s
`  Y ) c ) `  y ) ) ) )
140134, 138, 1393eqtr4d 2338 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( .r `  S ) b ) ( .s `  Y
) c )  =  ( a ( .s
`  Y ) ( b ( .s `  Y ) c ) ) )
14130fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( 1r `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  ( 1r `  S ) )
142141adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( 1r `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  ( 1r `  S ) )
143142oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) ( .s `  ( R `
 y ) ) ( a `  y
) )  =  ( ( 1r `  S
) ( .s `  ( R `  y ) ) ( a `  y ) ) )
14435adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  LMod )
1454ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  Ring )
14625ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  _V )
14744ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
148 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  Y
) )
149 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
1503, 20, 145, 146, 147, 148, 149prdsbasprj 13387 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
151 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  =  ( 1r `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )
15251, 53, 54, 151lmodvs1 15674 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  LMod  /\  (
a `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) ( .s `  ( R `
 y ) ) ( a `  y
) )  =  ( a `  y ) )
153144, 150, 152syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) ( .s `  ( R `
 y ) ) ( a `  y
) )  =  ( a `  y ) )
154143, 153eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( 1r `  S
) ( .s `  ( R `  y ) ) ( a `  y ) )  =  ( a `  y
) )
155154mpteq2dva 4122 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( y  e.  I  |->  ( ( 1r `  S ) ( .s `  ( R `  y )
) ( a `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( a `  y ) ) )
1564adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  S  e.  Ring )
15725adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  I  e.  _V )
15844adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  R  Fn  I )
159 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
16022, 159rngidcl 15377 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
1614, 160syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  ( Base `  S ) )
162161adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( 1r `  S )  e.  (
Base `  S )
)
163 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  a  e.  ( Base `  Y )
)
1643, 20, 21, 22, 156, 157, 158, 162, 163prdsvscaval 13394 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( ( 1r `  S ) ( .s `  Y ) a )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( 1r `  S
) ( .s `  ( R `  y ) ) ( a `  y ) ) ) )
1653, 20, 156, 157, 158, 163prdsbasfn 13386 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  a  Fn  I )
166 dffn5 5584 . . . 4  |-  ( a  Fn  I  <->  a  =  ( y  e.  I  |->  ( a `  y
) ) )
167165, 166sylib 188 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  a  =  ( y  e.  I  |->  ( a `  y
) ) )
168155, 164, 1673eqtr4d 2338 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( ( 1r `  S ) ( .s `  Y ) a )  =  a )
1691, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 4, 19, 33, 86, 125, 140, 168islmodd 15649 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165    e. cmpt 4093    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   X_scprds 13362   Grpcgrp 14378   Ringcrg 15353   1rcur 15355   LModclmod 15643
This theorem is referenced by:  pwslmod  15743  dsmmlss  27313  dsmmlmod  27314
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645
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