MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdslmodd Structured version   Unicode version

Theorem prdslmodd 16047
Description: The product of a family of left modules is a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdslmodd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdslmodd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
prdslmodd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
prdslmodd.rm  |-  ( ph  ->  R : I --> LMod )
prdslmodd.rs  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (Scalar `  ( R `  y
) )  =  S )
Assertion
Ref Expression
prdslmodd  |-  ( ph  ->  Y  e.  LMod )
Distinct variable groups:    y, I    ph, y    y, R    y, S    y, Y
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem prdslmodd
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2439 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  Y ) )
2 eqidd 2439 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  Y ) )
3 prdslmodd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
4 prdslmodd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
5 prdslmodd.rm . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> LMod )
6 prdslmodd.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
7 fex 5971 . . . 4  |-  ( ( R : I --> LMod  /\  I  e.  V )  ->  R  e.  _V )
85, 6, 7syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
93, 4, 8prdssca 13681 . 2  |-  ( ph  ->  S  =  (Scalar `  Y ) )
10 eqidd 2439 . 2  |-  ( ph  ->  ( .s `  Y
)  =  ( .s
`  Y ) )
11 eqidd 2439 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  S
)  =  ( Base `  S ) )
12 eqidd 2439 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  S
)  =  ( +g  `  S ) )
13 eqidd 2439 . 2  |-  ( ph  ->  ( .r `  S
)  =  ( .r
`  S ) )
14 eqidd 2439 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  =  ( 1r
`  S ) )
15 lmodgrp 15959 . . . . 5  |-  ( a  e.  LMod  ->  a  e. 
Grp )
1615ssriv 3354 . . . 4  |-  LMod  C_  Grp
17 fss 5601 . . . 4  |-  ( ( R : I --> LMod  /\  LMod  C_ 
Grp )  ->  R : I --> Grp )
185, 16, 17sylancl 645 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
193, 6, 4, 18prdsgrpd 14929 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
20 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
21 eqid 2438 . . . 4  |-  ( .s
`  Y )  =  ( .s `  Y
)
22 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
234adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  S  e.  Ring )
24 elex 2966 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
256, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
2625adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  I  e.  _V )
275adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  R : I --> LMod )
28 simprl 734 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  a  e.  ( Base `  S
) )
29 simprr 735 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  b  e.  ( Base `  Y
) )
30 prdslmodd.rs . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (Scalar `  ( R `  y
) )  =  S )
3130adantlr 697 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
) ) )  /\  y  e.  I )  ->  (Scalar `  ( R `  y ) )  =  S )
323, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 28, 29, 31prdsvscacl 16046 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  (
a ( .s `  Y ) b )  e.  ( Base `  Y
) )
33323impb 1150 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  ( a ( .s `  Y ) b )  e.  (
Base `  Y )
)
345ffvelrnda 5872 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  LMod )
3534adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  LMod )
36 simplr1 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  S
) )
3730fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  (
Base `  S )
)
3837adantlr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  (
Base `  S )
)
3936, 38eleqtrrd 2515 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) )
404ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  Ring )
4125ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  _V )
42 ffn 5593 . . . . . . . . 9  |-  ( R : I --> LMod  ->  R  Fn  I )
435, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
4443ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
45 simplr2 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  b  e.  ( Base `  Y
) )
46 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
473, 20, 40, 41, 44, 45, 46prdsbasprj 13696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
b `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
48 simplr3 1002 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  c  e.  ( Base `  Y
) )
493, 20, 40, 41, 44, 48, 46prdsbasprj 13696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
50 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
51 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( R `  y
) )  =  ( +g  `  ( R `
 y ) )
52 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  ( R `  y ) )  =  (Scalar `  ( R `  y ) )
53 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  ( R `  y ) )  =  ( .s `  ( R `  y )
)
54 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y
) ) )
5550, 51, 52, 53, 54lmodvsdi 15975 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  LMod  /\  (
a  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  /\  ( b `  y )  e.  (
Base `  ( R `  y ) )  /\  ( c `  y
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) )  ->  ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `  y ) ) ( b `  y ) ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ) )
5635, 39, 47, 49, 55syl13anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( .s `  ( R `  y ) ) ( ( b `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( b `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( a ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
57 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
583, 20, 40, 41, 44, 45, 48, 57, 46prdsplusgfval 13698 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( b ( +g  `  Y ) c ) `
 y )  =  ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) )
5958oveq2d 6099 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( .s `  ( R `  y ) ) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( ( b `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
603, 20, 21, 22, 40, 41, 44, 36, 45, 46prdsvscafval 13704 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .s
`  Y ) b ) `  y )  =  ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( b `  y
) ) )
613, 20, 21, 22, 40, 41, 44, 36, 48, 46prdsvscafval 13704 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .s
`  Y ) c ) `  y )  =  ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )
6260, 61oveq12d 6101 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a ( .s `  Y ) b ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( ( a ( .s `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( b `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( a ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
6356, 59, 623eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( .s `  ( R `  y ) ) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( ( ( a ( .s `  Y
) b ) `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( a ( .s `  Y ) c ) `
 y ) ) )
6463mpteq2dva 4297 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( a ( .s `  ( R `  y )
) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( .s `  Y ) b ) `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( ( a ( .s `  Y ) c ) `  y
) ) ) )
654adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  S  e.  Ring )
6625adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  I  e.  _V )
6743adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R  Fn  I )
68 simpr1 964 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  a  e.  ( Base `  S )
)
6919adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  Y  e.  Grp )
70 simpr2 965 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  b  e.  ( Base `  Y )
)
71 simpr3 966 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  c  e.  ( Base `  Y )
)
7220, 57grpcl 14820 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
b ( +g  `  Y
) c )  e.  ( Base `  Y
) )
7369, 70, 71, 72syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( b
( +g  `  Y ) c )  e.  (
Base `  Y )
)
743, 20, 21, 22, 65, 66, 67, 68, 73prdsvscaval 13703 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) ( b ( +g  `  Y ) c ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( ( b ( +g  `  Y ) c ) `
 y ) ) ) )
75323adantr3 1119 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) b )  e.  ( Base `  Y
) )
764adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  S  e.  Ring )
7725adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  I  e.  _V )
785adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  R : I --> LMod )
79 simprl 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  a  e.  ( Base `  S
) )
80 simprr 735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  c  e.  ( Base `  Y
) )
8130adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y
) ) )  /\  y  e.  I )  ->  (Scalar `  ( R `  y ) )  =  S )
823, 20, 21, 22, 76, 77, 78, 79, 80, 81prdsvscacl 16046 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  (
a ( .s `  Y ) c )  e.  ( Base `  Y
) )
83823adantr2 1118 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) c )  e.  ( Base `  Y
) )
843, 20, 65, 66, 67, 75, 83, 57prdsplusgval 13697 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( .s `  Y ) b ) ( +g  `  Y
) ( a ( .s `  Y ) c ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( .s `  Y
) b ) `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( a ( .s `  Y ) c ) `
 y ) ) ) )
8564, 74, 843eqtr4d 2480 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) ( b ( +g  `  Y ) c ) )  =  ( ( a ( .s `  Y ) b ) ( +g  `  Y ) ( a ( .s `  Y
) c ) ) )
864ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  Ring )
8725ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  _V )
8843ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
89 simplr1 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  S
) )
90 simplr3 1002 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  c  e.  ( Base `  Y
) )
91 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
923, 20, 21, 22, 86, 87, 88, 89, 90, 91prdsvscafval 13704 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .s
`  Y ) c ) `  y )  =  ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )
93 simplr2 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  b  e.  ( Base `  S
) )
943, 20, 21, 22, 86, 87, 88, 93, 90, 91prdsvscafval 13704 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( b ( .s
`  Y ) c ) `  y )  =  ( b ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )
9592, 94oveq12d 6101 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a ( .s `  Y ) c ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( ( b ( .s `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( b ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
9634adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  LMod )
9737adantlr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  (
Base `  S )
)
9889, 97eleqtrrd 2515 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) )
9993, 97eleqtrrd 2515 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  b  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) )
1003, 20, 86, 87, 88, 90, 91prdsbasprj 13696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
101 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  =  ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y
) ) )
10250, 51, 52, 53, 54, 101lmodvsdir 15976 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  LMod  /\  (
a  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  /\  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) ) )  -> 
( ( a ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( b ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
10396, 98, 99, 100, 102syl13anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( b ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ) )
10430adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (Scalar `  ( R `  y
) )  =  S )
105104fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  ( +g  `  S ) )
106105oveqd 6100 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) b )  =  ( a ( +g  `  S
) b ) )
107106oveq1d 6098 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) )  =  ( ( a ( +g  `  S
) b ) ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )
10895, 103, 1073eqtr2rd 2477 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( +g  `  S ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( ( a ( .s `  Y
) c ) `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b ( .s `  Y ) c ) `
 y ) ) )
109108mpteq2dva 4297 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( ( a ( +g  `  S
) b ) ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( .s `  Y
) c ) `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b ( .s `  Y ) c ) `
 y ) ) ) )
1104adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  S  e.  Ring )
11125adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  I  e.  _V )
11243adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R  Fn  I )
113 simpr1 964 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  a  e.  ( Base `  S )
)
114 simpr2 965 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  b  e.  ( Base `  S )
)
115 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
11622, 115rngacl 15693 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( a
( +g  `  S ) b )  e.  (
Base `  S )
)
117110, 113, 114, 116syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( +g  `  S ) b )  e.  (
Base `  S )
)
118 simpr3 966 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  c  e.  ( Base `  Y )
)
1193, 20, 21, 22, 110, 111, 112, 117, 118prdsvscaval 13703 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( +g  `  S
) b ) ( .s `  Y ) c )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( a ( +g  `  S ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
120823adantr2 1118 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) c )  e.  ( Base `  Y
) )
1215adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R :
I --> LMod )
1223, 20, 21, 22, 110, 111, 121, 114, 118, 104prdsvscacl 16046 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( b
( .s `  Y
) c )  e.  ( Base `  Y
) )
1233, 20, 110, 111, 112, 120, 122, 57prdsplusgval 13697 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( .s `  Y ) c ) ( +g  `  Y
) ( b ( .s `  Y ) c ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( .s `  Y
) c ) `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b ( .s `  Y ) c ) `
 y ) ) ) )
124109, 119, 1233eqtr4d 2480 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( +g  `  S
) b ) ( .s `  Y ) c )  =  ( ( a ( .s
`  Y ) c ) ( +g  `  Y
) ( b ( .s `  Y ) c ) ) )
12594oveq2d 6099 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( .s `  ( R `  y ) ) ( ( b ( .s `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( b ( .s `  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ) )
126 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  =  ( .r `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )
12750, 52, 53, 54, 126lmodvsass 15977 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  LMod  /\  (
a  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  /\  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) ) )  -> 
( ( a ( .r `  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( b ( .s `  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ) )
12896, 98, 99, 100, 127syl13anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .r
`  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) )  =  ( a ( .s `  ( R `  y )
) ( b ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) ) )
129104fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( .r `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  ( .r `  S ) )
130129oveqd 6100 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( .r `  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b )  =  ( a ( .r `  S ) b ) )
131130oveq1d 6098 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .r
`  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) )  =  ( ( a ( .r `  S ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) )
132125, 128, 1313eqtr2rd 2477 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .r
`  S ) b ) ( .s `  ( R `  y ) ) ( c `  y ) )  =  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( ( b ( .s
`  Y ) c ) `  y ) ) )
133132mpteq2dva 4297 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( ( a ( .r `  S ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( ( b ( .s `  Y ) c ) `  y
) ) ) )
134 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
13522, 134rngcl 15679 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( a
( .r `  S
) b )  e.  ( Base `  S
) )
136110, 113, 114, 135syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .r `  S
) b )  e.  ( Base `  S
) )
1373, 20, 21, 22, 110, 111, 112, 136, 118prdsvscaval 13703 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( .r `  S ) b ) ( .s `  Y
) c )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( a ( .r `  S ) b ) ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ) )
1383, 20, 21, 22, 110, 111, 112, 113, 122prdsvscaval 13703 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) ( b ( .s `  Y ) c ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( ( b ( .s
`  Y ) c ) `  y ) ) ) )
139133, 137, 1383eqtr4d 2480 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( .r `  S ) b ) ( .s `  Y
) c )  =  ( a ( .s
`  Y ) ( b ( .s `  Y ) c ) ) )
14030fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( 1r `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  ( 1r `  S ) )
141140adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( 1r `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  ( 1r `  S ) )
142141oveq1d 6098 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) ( .s `  ( R `
 y ) ) ( a `  y
) )  =  ( ( 1r `  S
) ( .s `  ( R `  y ) ) ( a `  y ) ) )
14334adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  LMod )
1444ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  Ring )
14525ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  _V )
14643ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
147 simplr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  Y
) )
148 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
1493, 20, 144, 145, 146, 147, 148prdsbasprj 13696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
150 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  =  ( 1r `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )
15150, 52, 53, 150lmodvs1 15980 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  LMod  /\  (
a `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) ( .s `  ( R `
 y ) ) ( a `  y
) )  =  ( a `  y ) )
152143, 149, 151syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) ( .s `  ( R `
 y ) ) ( a `  y
) )  =  ( a `  y ) )
153142, 152eqtr3d 2472 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( 1r `  S
) ( .s `  ( R `  y ) ) ( a `  y ) )  =  ( a `  y
) )
154153mpteq2dva 4297 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( y  e.  I  |->  ( ( 1r `  S ) ( .s `  ( R `  y )
) ( a `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( a `  y ) ) )
1554adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  S  e.  Ring )
15625adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  I  e.  _V )
15743adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  R  Fn  I )
158 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
15922, 158rngidcl 15686 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
1604, 159syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  ( Base `  S ) )
161160adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( 1r `  S )  e.  (
Base `  S )
)
162 simpr 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  a  e.  ( Base `  Y )
)
1633, 20, 21, 22, 155, 156, 157, 161, 162prdsvscaval 13703 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( ( 1r `  S ) ( .s `  Y ) a )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( 1r `  S
) ( .s `  ( R `  y ) ) ( a `  y ) ) ) )
1643, 20, 155, 156, 157, 162prdsbasfn 13695 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  a  Fn  I )
165 dffn5 5774 . . . 4  |-  ( a  Fn  I  <->  a  =  ( y  e.  I  |->  ( a `  y
) ) )
166164, 165sylib 190 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  a  =  ( y  e.  I  |->  ( a `  y
) ) )
167154, 163, 1663eqtr4d 2480 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( ( 1r `  S ) ( .s `  Y ) a )  =  a )
1681, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 4, 19, 33, 85, 124, 139, 167islmodd 15958 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322    e. cmpt 4268    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   .rcmulr 13532  Scalarcsca 13534   .scvsca 13535   X_scprds 13671   Grpcgrp 14687   Ringcrg 15662   1rcur 15664   LModclmod 15952
This theorem is referenced by:  pwslmod  16048  dsmmlss  27189  dsmmlmod  27190
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-lmod 15954
  Copyright terms: Public domain W3C validator