Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmet Structured version   Unicode version

Theorem prdsmet 18400
 Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmet.y s
prdsmet.b
prdsmet.v
prdsmet.e
prdsmet.d
prdsmet.s
prdsmet.i
prdsmet.r
prdsmet.m
Assertion
Ref Expression
prdsmet
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdsmet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmet.y . . 3 s
2 prdsmet.b . . 3
3 prdsmet.v . . 3
4 prdsmet.e . . 3
5 prdsmet.d . . 3
6 prdsmet.s . . 3
7 prdsmet.i . . 3
8 prdsmet.r . . 3
9 prdsmet.m . . . 4
10 metxmet 18364 . . . 4
119, 10syl 16 . . 3
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsxmet 18399 . 2
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsdsf 18397 . . . 4
14 ffn 5591 . . . 4
1513, 14syl 16 . . 3
166adantr 452 . . . . . 6
177adantr 452 . . . . . 6
188ralrimiva 2789 . . . . . . 7
1918adantr 452 . . . . . 6
20 simprl 733 . . . . . 6
21 simprr 734 . . . . . 6
221, 2, 16, 17, 19, 20, 21, 3, 4, 5prdsdsval3 13707 . . . . 5
231, 2, 16, 17, 19, 3, 20prdsbascl 13705 . . . . . . . . . 10
241, 2, 16, 17, 19, 3, 21prdsbascl 13705 . . . . . . . . . 10
25 r19.26 2838 . . . . . . . . . . 11
26 metcl 18362 . . . . . . . . . . . . . . 15
27263expib 1156 . . . . . . . . . . . . . 14
289, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
2928ralimdva 2784 . . . . . . . . . . . 12
3029adantr 452 . . . . . . . . . . 11
3125, 30syl5bir 210 . . . . . . . . . 10
3223, 24, 31mp2and 661 . . . . . . . . 9
33 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
3433fmpt 5890 . . . . . . . . 9
3532, 34sylib 189 . . . . . . . 8
36 frn 5597 . . . . . . . 8
3735, 36syl 16 . . . . . . 7
38 0re 9091 . . . . . . . . 9
3938a1i 11 . . . . . . . 8
4039snssd 3943 . . . . . . 7
4137, 40unssd 3523 . . . . . 6
42 xrltso 10734 . . . . . . . 8
4342a1i 11 . . . . . . 7
44 mptfi 7406 . . . . . . . . 9
45 rnfi 7391 . . . . . . . . 9
4617, 44, 453syl 19 . . . . . . . 8
47 snfi 7187 . . . . . . . 8
48 unfi 7374 . . . . . . . 8
4946, 47, 48sylancl 644 . . . . . . 7
50 ssun2 3511 . . . . . . . . 9
51 c0ex 9085 . . . . . . . . . 10
5251snss 3926 . . . . . . . . 9
5350, 52mpbir 201 . . . . . . . 8
54 ne0i 3634 . . . . . . . 8
5553, 54mp1i 12 . . . . . . 7
56 ressxr 9129 . . . . . . . 8
5741, 56syl6ss 3360 . . . . . . 7
58 fisupcl 7472 . . . . . . 7
5943, 49, 55, 57, 58syl13anc 1186 . . . . . 6
6041, 59sseldd 3349 . . . . 5
6122, 60eqeltrd 2510 . . . 4
6261ralrimivva 2798 . . 3
63 ffnov 6174 . . 3
6415, 62, 63sylanbrc 646 . 2
65 ismet2 18363 . 2
6612, 64, 65sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705   cun 3318   wss 3320  c0 3628  csn 3814   cmpt 4266   wor 4502   cxp 4876   crn 4879   cres 4880   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cfn 7109  csup 7445  cr 8989  cc0 8990   cpnf 9117  cxr 9119   clt 9120  cicc 10919  cbs 13469  cds 13538  scprds 13669  cxmt 16686  cme 16687 This theorem is referenced by:  xpsmet  18412  prdsmslem1  18557  prdsbnd  26502  prdstotbnd  26503  prdsbnd2  26504  repwsmet  26543 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-icc 10923  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-xmet 16695  df-met 16696
 Copyright terms: Public domain W3C validator