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Theorem prdsmet 17934
Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmet.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsmet.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsmet.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsmet.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsmet.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsmet.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsmet.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsmet.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsmet.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
Assertion
Ref Expression
prdsmet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
Distinct variable groups:    x, I    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsmet
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmet.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 prdsmet.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 prdsmet.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  R
)
4 prdsmet.e . . 3  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
5 prdsmet.d . . 3  |-  D  =  ( dist `  Y
)
6 prdsmet.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
7 prdsmet.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
8 prdsmet.r . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
9 prdsmet.m . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
10 metxmet 17899 . . . 4  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
119, 10syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsxmet 17933 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsdsf 17931 . . . 4  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo )
)
14 ffn 5389 . . . 4  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo )  ->  D  Fn  ( B  X.  B
) )
1513, 14syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
166adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  W )
177adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  Fin )
188ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
1918adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
20 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
21 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
221, 2, 16, 17, 19, 20, 21, 3, 4, 5prdsdsval3 13384 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
231, 2, 16, 17, 19, 3, 20prdsbascl 13382 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
241, 2, 16, 17, 19, 3, 21prdsbascl 13382 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
25 r19.26 2675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  <-> 
( A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  V  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V ) )
26 metcl 17897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E  e.  ( Met `  V )  /\  (
f `  x )  e.  V  /\  (
g `  x )  e.  V )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
27263expib 1154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  ( (
( f `  x
)  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR ) )
289, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( f `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR ) )
2928ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  I  ( ( f `
 x )  e.  V  /\  ( g `
 x )  e.  V )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR ) )
3029adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( A. x  e.  I  ( ( f `
 x )  e.  V  /\  ( g `
 x )  e.  V )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR ) )
3125, 30syl5bir 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ( A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  V  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )  ->  A. x  e.  I 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR ) )
3223, 24, 31mp2and 660 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR )
33 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )
3433fmpt 5681 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR  <->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I --> RR )
3532, 34sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I --> RR )
36 frn 5395 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) ) : I --> RR  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR )
3735, 36syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR )
38 0re 8838 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
3938a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR )
4039snssd 3760 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  { 0 }  C_  RR )
4137, 40unssd 3351 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR )
42 xrltso 10475 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR*
4342a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  <  Or  RR* )
44 mptfi 7155 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  e.  Fin )
45 rnfi 7141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  e.  Fin )
4617, 44, 453syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  e.  Fin )
47 snfi 6941 . . . . . . . 8  |-  { 0 }  e.  Fin
48 unfi 7124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  e. 
Fin  /\  { 0 }  e.  Fin )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin )
4946, 47, 48sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin )
50 ssun2 3339 . . . . . . . . 9  |-  { 0 }  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )
51 c0ex 8832 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
5251snss 3748 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
5350, 52mpbir 200 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )
54 ne0i 3461 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  =/=  (/) )
5553, 54mp1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
56 ressxr 8876 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
5741, 56syl6ss 3191 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
58 fisupcl 7218 . . . . . . 7  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } )  =/=  (/)  /\  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
5943, 49, 55, 57, 58syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
6041, 59sseldd 3181 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
6122, 60eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  e.  RR )
6261ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f D g )  e.  RR )
63 ffnov 5948 . . 3  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> RR  <->  ( D  Fn  ( B  X.  B
)  /\  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f D g )  e.  RR ) )
6415, 62, 63sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> RR )
65 ismet2 17898 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  <->  ( D  e.  ( * Met `  B
)  /\  D :
( B  X.  B
) --> RR ) )
6612, 64, 65sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640    e. cmpt 4077    Or wor 4313    X. cxp 4687   ran crn 4690    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867   [,]cicc 10659   Basecbs 13148   distcds 13217   X_scprds 13346   * Metcxmt 16369   Metcme 16370
This theorem is referenced by:  xpsmet  17946  prdsmslem1  18073  prdsbnd  26517  prdstotbnd  26518  prdsbnd2  26519  repwsmet  26558
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-xmet 16373  df-met 16374
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