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Theorem prdsmet 17950
Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmet.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsmet.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsmet.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsmet.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsmet.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsmet.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsmet.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsmet.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsmet.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
Assertion
Ref Expression
prdsmet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
Distinct variable groups:    x, I    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsmet
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmet.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 prdsmet.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 prdsmet.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  R
)
4 prdsmet.e . . 3  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
5 prdsmet.d . . 3  |-  D  =  ( dist `  Y
)
6 prdsmet.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
7 prdsmet.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
8 prdsmet.r . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
9 prdsmet.m . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
10 metxmet 17915 . . . 4  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
119, 10syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsxmet 17949 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsdsf 17947 . . . 4  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo )
)
14 ffn 5405 . . . 4  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo )  ->  D  Fn  ( B  X.  B
) )
1513, 14syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
166adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  W )
177adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  Fin )
188ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
1918adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
20 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
21 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
221, 2, 16, 17, 19, 20, 21, 3, 4, 5prdsdsval3 13400 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
231, 2, 16, 17, 19, 3, 20prdsbascl 13398 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
241, 2, 16, 17, 19, 3, 21prdsbascl 13398 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
25 r19.26 2688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  <-> 
( A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  V  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V ) )
26 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E  e.  ( Met `  V )  /\  (
f `  x )  e.  V  /\  (
g `  x )  e.  V )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
27263expib 1154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  ( (
( f `  x
)  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR ) )
289, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( f `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR ) )
2928ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  I  ( ( f `
 x )  e.  V  /\  ( g `
 x )  e.  V )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR ) )
3029adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( A. x  e.  I  ( ( f `
 x )  e.  V  /\  ( g `
 x )  e.  V )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR ) )
3125, 30syl5bir 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ( A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  V  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )  ->  A. x  e.  I 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR ) )
3223, 24, 31mp2and 660 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR )
33 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )
3433fmpt 5697 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR  <->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I --> RR )
3532, 34sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I --> RR )
36 frn 5411 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) ) : I --> RR  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR )
3735, 36syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR )
38 0re 8854 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
3938a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR )
4039snssd 3776 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  { 0 }  C_  RR )
4137, 40unssd 3364 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR )
42 xrltso 10491 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR*
4342a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  <  Or  RR* )
44 mptfi 7171 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  e.  Fin )
45 rnfi 7157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  e.  Fin )
4617, 44, 453syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  e.  Fin )
47 snfi 6957 . . . . . . . 8  |-  { 0 }  e.  Fin
48 unfi 7140 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  e. 
Fin  /\  { 0 }  e.  Fin )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin )
4946, 47, 48sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin )
50 ssun2 3352 . . . . . . . . 9  |-  { 0 }  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )
51 c0ex 8848 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
5251snss 3761 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
5350, 52mpbir 200 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )
54 ne0i 3474 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  =/=  (/) )
5553, 54mp1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
56 ressxr 8892 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
5741, 56syl6ss 3204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
58 fisupcl 7234 . . . . . . 7  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } )  =/=  (/)  /\  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
5943, 49, 55, 57, 58syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
6041, 59sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
6122, 60eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  e.  RR )
6261ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f D g )  e.  RR )
63 ffnov 5964 . . 3  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> RR  <->  ( D  Fn  ( B  X.  B
)  /\  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f D g )  e.  RR ) )
6415, 62, 63sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> RR )
65 ismet2 17914 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  <->  ( D  e.  ( * Met `  B
)  /\  D :
( B  X.  B
) --> RR ) )
6612, 64, 65sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653    e. cmpt 4093    Or wor 4329    X. cxp 4703   ran crn 4706    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   supcsup 7209   RRcr 8752   0cc0 8753    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883   [,]cicc 10675   Basecbs 13164   distcds 13233   X_scprds 13362   * Metcxmt 16385   Metcme 16386
This theorem is referenced by:  xpsmet  17962  prdsmslem1  18089  prdsbnd  26620  prdstotbnd  26621  prdsbnd2  26622  repwsmet  26661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-xmet 16389  df-met 16390
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