Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmgp Unicode version

Theorem prdsmgp 15393
 Description: The multiplicative monoid of a product is the product of the multiplicative monoids of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmgp.y s
prdsmgp.m mulGrp
prdsmgp.z smulGrp
prdsmgp.i
prdsmgp.s
prdsmgp.r
Assertion
Ref Expression
prdsmgp

Proof of Theorem prdsmgp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
2 eqid 2283 . . . . . . 7
31, 2mgpbas 15331 . . . . . 6 mulGrp
4 prdsmgp.r . . . . . . . . 9
5 fvco2 5594 . . . . . . . . 9 mulGrp mulGrp
64, 5sylan 457 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
76eqcomd 2288 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
87fveq2d 5529 . . . . . 6 mulGrp mulGrp
93, 8syl5eq 2327 . . . . 5 mulGrp
109ralrimiva 2626 . . . 4 mulGrp
11 ixpeq2 6830 . . . 4 mulGrp mulGrp
1210, 11syl 15 . . 3 mulGrp
13 prdsmgp.y . . . 4 s
14 prdsmgp.m . . . . . 6 mulGrp
15 eqid 2283 . . . . . 6
1614, 15mgpbas 15331 . . . . 5
1716eqcomi 2287 . . . 4
18 prdsmgp.s . . . 4
19 prdsmgp.i . . . 4
2013, 17, 18, 19, 4prdsbas2 13368 . . 3
21 prdsmgp.z . . . 4 smulGrp
22 eqid 2283 . . . 4
23 fnmgp 15327 . . . . . 6 mulGrp
2423a1i 10 . . . . 5 mulGrp
25 ssv 3198 . . . . . 6
2625a1i 10 . . . . 5
27 fnco 5352 . . . . 5 mulGrp mulGrp
2824, 4, 26, 27syl3anc 1182 . . . 4 mulGrp
2921, 22, 18, 19, 28prdsbas2 13368 . . 3 mulGrp
3012, 20, 293eqtr4d 2325 . 2
31 eqid 2283 . . . 4
3214, 31mgpplusg 15329 . . 3
33 eqid 2283 . . . . . . . . 9 mulGrp mulGrp
34 eqid 2283 . . . . . . . . 9
3533, 34mgpplusg 15329 . . . . . . . 8 mulGrp
36 fvco2 5594 . . . . . . . . . . 11 mulGrp mulGrp
374, 36sylan 457 . . . . . . . . . 10 mulGrp mulGrp
3837eqcomd 2288 . . . . . . . . 9 mulGrp mulGrp
3938fveq2d 5529 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
4035, 39syl5eq 2327 . . . . . . 7 mulGrp
4140oveqd 5875 . . . . . 6 mulGrp
4241mpteq2dva 4106 . . . . 5 mulGrp
4330, 30, 42mpt2eq123dv 5910 . . . 4 mulGrp
44 fnex 5741 . . . . . 6
454, 19, 44syl2anc 642 . . . . 5
46 fndm 5343 . . . . . 6
474, 46syl 15 . . . . 5
4813, 18, 45, 17, 47, 31prdsmulr 13359 . . . 4
49 fnex 5741 . . . . . 6 mulGrp mulGrp
5028, 19, 49syl2anc 642 . . . . 5 mulGrp
51 fndm 5343 . . . . . 6 mulGrp mulGrp
5228, 51syl 15 . . . . 5 mulGrp
53 eqid 2283 . . . . 5
5421, 18, 50, 22, 52, 53prdsplusg 13358 . . . 4 mulGrp
5543, 48, 543eqtr4d 2325 . . 3
5632, 55syl5eqr 2329 . 2
5730, 56jca 518 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788   wss 3152   cmpt 4077   cdm 4689   crn 4690   ccom 4693   wfn 5250  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860  cixp 6817  cbs 13148   cplusg 13208  cmulr 13209  scprds 13346  mulGrpcmgp 15325 This theorem is referenced by:  prdsrngd  15395  prdscrngd  15396  prds1  15397  pwsmgp  15401 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-mgp 15326
 Copyright terms: Public domain W3C validator