Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmndd Unicode version

Theorem prdsmndd 14615
 Description: The product of a family of monoids is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmndd.y s
prdsmndd.i
prdsmndd.s
prdsmndd.r
Assertion
Ref Expression
prdsmndd

Proof of Theorem prdsmndd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2367 . 2
2 eqidd 2367 . 2
3 prdsmndd.y . . . 4 s
4 eqid 2366 . . . 4
5 eqid 2366 . . . 4
6 prdsmndd.s . . . . . 6
7 elex 2881 . . . . . 6
86, 7syl 15 . . . . 5
98adantr 451 . . . 4
10 prdsmndd.i . . . . . 6
11 elex 2881 . . . . . 6
1210, 11syl 15 . . . . 5
1312adantr 451 . . . 4
14 prdsmndd.r . . . . 5
1514adantr 451 . . . 4
16 simprl 732 . . . 4
17 simprr 733 . . . 4
183, 4, 5, 9, 13, 15, 16, 17prdsplusgcl 14613 . . 3
19183impb 1148 . 2
20 ffvelrn 5770 . . . . . . . 8
2114, 20sylan 457 . . . . . . 7
2221adantlr 695 . . . . . 6
238ad2antrr 706 . . . . . . 7
2412ad2antrr 706 . . . . . . 7
25 ffn 5495 . . . . . . . . 9
2614, 25syl 15 . . . . . . . 8
2726ad2antrr 706 . . . . . . 7
28 simplr1 998 . . . . . . 7
29 simpr 447 . . . . . . 7
303, 4, 23, 24, 27, 28, 29prdsbasprj 13581 . . . . . 6
31 simplr2 999 . . . . . . 7
323, 4, 23, 24, 27, 31, 29prdsbasprj 13581 . . . . . 6
33 simplr3 1000 . . . . . . 7
343, 4, 23, 24, 27, 33, 29prdsbasprj 13581 . . . . . 6
35 eqid 2366 . . . . . . 7
36 eqid 2366 . . . . . . 7
3735, 36mndass 14583 . . . . . 6
3822, 30, 32, 34, 37syl13anc 1185 . . . . 5
393, 4, 23, 24, 27, 28, 31, 5, 29prdsplusgfval 13583 . . . . . 6
4039oveq1d 5996 . . . . 5
413, 4, 23, 24, 27, 31, 33, 5, 29prdsplusgfval 13583 . . . . . 6
4241oveq2d 5997 . . . . 5
4338, 40, 423eqtr4d 2408 . . . 4
4443mpteq2dva 4208 . . 3
458adantr 451 . . . 4
4612adantr 451 . . . 4
4726adantr 451 . . . 4
48183adantr3 1117 . . . 4
49 simpr3 964 . . . 4
503, 4, 45, 46, 47, 48, 49, 5prdsplusgval 13582 . . 3
51 simpr1 962 . . . 4
5214adantr 451 . . . . 5
53 simpr2 963 . . . . 5
543, 4, 5, 45, 46, 52, 53, 49prdsplusgcl 14613 . . . 4
553, 4, 45, 46, 47, 51, 54, 5prdsplusgval 13582 . . 3
5644, 50, 553eqtr4d 2408 . 2
57 eqid 2366 . . . 4
583, 4, 5, 8, 12, 14, 57prdsidlem 14614 . . 3
5958simpld 445 . 2
6058simprd 449 . . . 4
6160r19.21bi 2726 . . 3
6261simpld 445 . 2
6361simprd 449 . 2
641, 2, 19, 56, 59, 62, 63ismndd 14606 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 935   wceq 1647   wcel 1715  wral 2628  cvv 2873   cmpt 4179   ccom 4796   wfn 5353  wf 5354  cfv 5358  (class class class)co 5981  cbs 13356   cplusg 13416  scprds 13556  c0g 13610  cmnd 14571 This theorem is referenced by:  prds0g  14616  pwsmnd  14617  xpsmnd  14622  prdspjmhm  14653  prdsgrpd  14814  prdscmnd  15363  prdsrngd  15605  prdstmdd  18019  dsmm0cl  26712 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-hom 13440  df-cco 13441  df-prds 13558  df-0g 13614  df-mnd 14577
 Copyright terms: Public domain W3C validator