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Theorem prdsmndd 14759
Description: The product of a family of monoids is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmndd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsmndd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsmndd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsmndd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
Assertion
Ref Expression
prdsmndd  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )

Proof of Theorem prdsmndd
Dummy variables  a 
b  y  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2443 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  Y ) )
2 eqidd 2443 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  Y ) )
3 prdsmndd.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s R )
4 eqid 2442 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
5 eqid 2442 . . . 4  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
6 prdsmndd.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
7 elex 2970 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
98adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  S  e.  _V )
10 prdsmndd.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
11 elex 2970 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  I  e.  _V )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
1312adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  I  e.  _V )
14 prdsmndd.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
1514adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  R : I --> Mnd )
16 simprl 734 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  a  e.  ( Base `  Y
) )
17 simprr 735 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  b  e.  ( Base `  Y
) )
183, 4, 5, 9, 13, 15, 16, 17prdsplusgcl 14757 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  (
a ( +g  `  Y
) b )  e.  ( Base `  Y
) )
19183impb 1150 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  ( a ( +g  `  Y ) b )  e.  (
Base `  Y )
)
2014ffvelrnda 5899 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
2120adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
228ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  _V )
2312ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  _V )
24 ffn 5620 . . . . . . . . 9  |-  ( R : I --> Mnd  ->  R  Fn  I )
2514, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
2625ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
27 simplr1 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  Y
) )
28 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
293, 4, 22, 23, 26, 27, 28prdsbasprj 13725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
30 simplr2 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  b  e.  ( Base `  Y
) )
313, 4, 22, 23, 26, 30, 28prdsbasprj 13725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
b `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
32 simplr3 1002 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  c  e.  ( Base `  Y
) )
333, 4, 22, 23, 26, 32, 28prdsbasprj 13725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
34 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
35 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( R `  y
) )  =  ( +g  `  ( R `
 y ) )
3634, 35mndass 14727 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  Mnd  /\  ( ( a `  y )  e.  (
Base `  ( R `  y ) )  /\  ( b `  y
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) )  /\  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) ) )  -> 
( ( ( a `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( b `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) )  =  ( ( a `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) ) )
3721, 29, 31, 33, 36syl13anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( b `
 y ) ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
383, 4, 22, 23, 26, 27, 30, 5, 28prdsplusgfval 13727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( +g  `  Y ) b ) `
 y )  =  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( b `
 y ) ) )
3938oveq1d 6125 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a ( +g  `  Y ) b ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( ( a `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( b `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) )
403, 4, 22, 23, 26, 30, 32, 5, 28prdsplusgfval 13727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( b ( +g  `  Y ) c ) `
 y )  =  ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) )
4140oveq2d 6126 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
4237, 39, 413eqtr4d 2484 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a ( +g  `  Y ) b ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) ) )
4342mpteq2dva 4320 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( +g  `  Y ) b ) `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) ) ) )
448adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  S  e.  _V )
4512adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  I  e.  _V )
4625adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R  Fn  I )
47183adantr3 1119 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( +g  `  Y ) b )  e.  (
Base `  Y )
)
48 simpr3 966 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  c  e.  ( Base `  Y )
)
493, 4, 44, 45, 46, 47, 48, 5prdsplusgval 13726 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( +g  `  Y
) b ) ( +g  `  Y ) c )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( +g  `  Y ) b ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
50 simpr1 964 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  a  e.  ( Base `  Y )
)
5114adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R :
I --> Mnd )
52 simpr2 965 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  b  e.  ( Base `  Y )
)
533, 4, 5, 44, 45, 51, 52, 48prdsplusgcl 14757 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( b
( +g  `  Y ) c )  e.  (
Base `  Y )
)
543, 4, 44, 45, 46, 50, 53, 5prdsplusgval 13726 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( +g  `  Y ) ( b ( +g  `  Y ) c ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) ) ) )
5543, 49, 543eqtr4d 2484 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( +g  `  Y
) b ) ( +g  `  Y ) c )  =  ( a ( +g  `  Y
) ( b ( +g  `  Y ) c ) ) )
56 eqid 2442 . . . 4  |-  ( 0g  o.  R )  =  ( 0g  o.  R
)
573, 4, 5, 8, 12, 14, 56prdsidlem 14758 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 0g  o.  R )  e.  (
Base `  Y )  /\  A. a  e.  (
Base `  Y )
( ( ( 0g  o.  R ) ( +g  `  Y ) a )  =  a  /\  ( a ( +g  `  Y ) ( 0g  o.  R
) )  =  a ) ) )
5857simpld 447 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  e.  ( Base `  Y ) )
5957simprd 451 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  (
Base `  Y )
( ( ( 0g  o.  R ) ( +g  `  Y ) a )  =  a  /\  ( a ( +g  `  Y ) ( 0g  o.  R
) )  =  a ) )
6059r19.21bi 2810 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( (
( 0g  o.  R
) ( +g  `  Y
) a )  =  a  /\  ( a ( +g  `  Y
) ( 0g  o.  R ) )  =  a ) )
6160simpld 447 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( ( 0g  o.  R ) ( +g  `  Y ) a )  =  a )
6260simprd 451 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( a
( +g  `  Y ) ( 0g  o.  R
) )  =  a )
631, 2, 19, 55, 58, 61, 62ismndd 14750 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   _Vcvv 2962    e. cmpt 4291    o. ccom 4911    Fn wfn 5478   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Basecbs 13500   +g cplusg 13560   X_scprds 13700   0gc0g 13754   Mndcmnd 14715
This theorem is referenced by:  prds0g  14760  pwsmnd  14761  xpsmnd  14766  prdspjmhm  14797  prdsgrpd  14958  prdscmnd  15507  prdsrngd  15749  prdstmdd  18184  dsmm0cl  27221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-hom 13584  df-cco 13585  df-prds 13702  df-0g 13758  df-mnd 14721
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