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Theorem prdsmndd 14683
Description: The product of a family of monoids is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmndd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsmndd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsmndd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsmndd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
Assertion
Ref Expression
prdsmndd  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )

Proof of Theorem prdsmndd
Dummy variables  a 
b  y  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2405 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  Y ) )
2 eqidd 2405 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  Y ) )
3 prdsmndd.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s R )
4 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
5 eqid 2404 . . . 4  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
6 prdsmndd.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
7 elex 2924 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
98adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  S  e.  _V )
10 prdsmndd.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
11 elex 2924 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  I  e.  _V )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
1312adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  I  e.  _V )
14 prdsmndd.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
1514adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  R : I --> Mnd )
16 simprl 733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  a  e.  ( Base `  Y
) )
17 simprr 734 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  b  e.  ( Base `  Y
) )
183, 4, 5, 9, 13, 15, 16, 17prdsplusgcl 14681 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  (
a ( +g  `  Y
) b )  e.  ( Base `  Y
) )
19183impb 1149 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  ( a ( +g  `  Y ) b )  e.  (
Base `  Y )
)
2014ffvelrnda 5829 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
2120adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
228ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  _V )
2312ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  _V )
24 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( R : I --> Mnd  ->  R  Fn  I )
2514, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
2625ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
27 simplr1 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  Y
) )
28 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
293, 4, 22, 23, 26, 27, 28prdsbasprj 13649 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
30 simplr2 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  b  e.  ( Base `  Y
) )
313, 4, 22, 23, 26, 30, 28prdsbasprj 13649 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
b `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
32 simplr3 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  c  e.  ( Base `  Y
) )
333, 4, 22, 23, 26, 32, 28prdsbasprj 13649 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
34 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
35 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( R `  y
) )  =  ( +g  `  ( R `
 y ) )
3634, 35mndass 14651 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  Mnd  /\  ( ( a `  y )  e.  (
Base `  ( R `  y ) )  /\  ( b `  y
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) )  /\  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) ) )  -> 
( ( ( a `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( b `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) )  =  ( ( a `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) ) )
3721, 29, 31, 33, 36syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( b `
 y ) ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
383, 4, 22, 23, 26, 27, 30, 5, 28prdsplusgfval 13651 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( +g  `  Y ) b ) `
 y )  =  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( b `
 y ) ) )
3938oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a ( +g  `  Y ) b ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( ( a `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( b `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) )
403, 4, 22, 23, 26, 30, 32, 5, 28prdsplusgfval 13651 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( b ( +g  `  Y ) c ) `
 y )  =  ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) )
4140oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
4237, 39, 413eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a ( +g  `  Y ) b ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) ) )
4342mpteq2dva 4255 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( +g  `  Y ) b ) `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) ) ) )
448adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  S  e.  _V )
4512adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  I  e.  _V )
4625adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R  Fn  I )
47183adantr3 1118 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( +g  `  Y ) b )  e.  (
Base `  Y )
)
48 simpr3 965 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  c  e.  ( Base `  Y )
)
493, 4, 44, 45, 46, 47, 48, 5prdsplusgval 13650 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( +g  `  Y
) b ) ( +g  `  Y ) c )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( +g  `  Y ) b ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
50 simpr1 963 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  a  e.  ( Base `  Y )
)
5114adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R :
I --> Mnd )
52 simpr2 964 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  b  e.  ( Base `  Y )
)
533, 4, 5, 44, 45, 51, 52, 48prdsplusgcl 14681 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( b
( +g  `  Y ) c )  e.  (
Base `  Y )
)
543, 4, 44, 45, 46, 50, 53, 5prdsplusgval 13650 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( +g  `  Y ) ( b ( +g  `  Y ) c ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) ) ) )
5543, 49, 543eqtr4d 2446 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( +g  `  Y
) b ) ( +g  `  Y ) c )  =  ( a ( +g  `  Y
) ( b ( +g  `  Y ) c ) ) )
56 eqid 2404 . . . 4  |-  ( 0g  o.  R )  =  ( 0g  o.  R
)
573, 4, 5, 8, 12, 14, 56prdsidlem 14682 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 0g  o.  R )  e.  (
Base `  Y )  /\  A. a  e.  (
Base `  Y )
( ( ( 0g  o.  R ) ( +g  `  Y ) a )  =  a  /\  ( a ( +g  `  Y ) ( 0g  o.  R
) )  =  a ) ) )
5857simpld 446 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  e.  ( Base `  Y ) )
5957simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  (
Base `  Y )
( ( ( 0g  o.  R ) ( +g  `  Y ) a )  =  a  /\  ( a ( +g  `  Y ) ( 0g  o.  R
) )  =  a ) )
6059r19.21bi 2764 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( (
( 0g  o.  R
) ( +g  `  Y
) a )  =  a  /\  ( a ( +g  `  Y
) ( 0g  o.  R ) )  =  a ) )
6160simpld 446 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( ( 0g  o.  R ) ( +g  `  Y ) a )  =  a )
6260simprd 450 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( a
( +g  `  Y ) ( 0g  o.  R
) )  =  a )
631, 2, 19, 55, 58, 61, 62ismndd 14674 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    e. cmpt 4226    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   X_scprds 13624   0gc0g 13678   Mndcmnd 14639
This theorem is referenced by:  prds0g  14684  pwsmnd  14685  xpsmnd  14690  prdspjmhm  14721  prdsgrpd  14882  prdscmnd  15431  prdsrngd  15673  prdstmdd  18106  dsmm0cl  27074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-0g 13682  df-mnd 14645
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