Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmndd Structured version   Unicode version

Theorem prdsmndd 14759
 Description: The product of a family of monoids is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmndd.y s
prdsmndd.i
prdsmndd.s
prdsmndd.r
Assertion
Ref Expression
prdsmndd

Proof of Theorem prdsmndd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2443 . 2
2 eqidd 2443 . 2
3 prdsmndd.y . . . 4 s
4 eqid 2442 . . . 4
5 eqid 2442 . . . 4
6 prdsmndd.s . . . . . 6
7 elex 2970 . . . . . 6
86, 7syl 16 . . . . 5
98adantr 453 . . . 4
10 prdsmndd.i . . . . . 6
11 elex 2970 . . . . . 6
1210, 11syl 16 . . . . 5
1312adantr 453 . . . 4
14 prdsmndd.r . . . . 5
1514adantr 453 . . . 4
16 simprl 734 . . . 4
17 simprr 735 . . . 4
183, 4, 5, 9, 13, 15, 16, 17prdsplusgcl 14757 . . 3
19183impb 1150 . 2
2014ffvelrnda 5899 . . . . . . 7
2120adantlr 697 . . . . . 6
228ad2antrr 708 . . . . . . 7
2312ad2antrr 708 . . . . . . 7
24 ffn 5620 . . . . . . . . 9
2514, 24syl 16 . . . . . . . 8
2625ad2antrr 708 . . . . . . 7
27 simplr1 1000 . . . . . . 7
28 simpr 449 . . . . . . 7
293, 4, 22, 23, 26, 27, 28prdsbasprj 13725 . . . . . 6
30 simplr2 1001 . . . . . . 7
313, 4, 22, 23, 26, 30, 28prdsbasprj 13725 . . . . . 6
32 simplr3 1002 . . . . . . 7
333, 4, 22, 23, 26, 32, 28prdsbasprj 13725 . . . . . 6
34 eqid 2442 . . . . . . 7
35 eqid 2442 . . . . . . 7
3634, 35mndass 14727 . . . . . 6
3721, 29, 31, 33, 36syl13anc 1187 . . . . 5
383, 4, 22, 23, 26, 27, 30, 5, 28prdsplusgfval 13727 . . . . . 6
3938oveq1d 6125 . . . . 5
403, 4, 22, 23, 26, 30, 32, 5, 28prdsplusgfval 13727 . . . . . 6
4140oveq2d 6126 . . . . 5
4237, 39, 413eqtr4d 2484 . . . 4
4342mpteq2dva 4320 . . 3
448adantr 453 . . . 4
4512adantr 453 . . . 4
4625adantr 453 . . . 4
47183adantr3 1119 . . . 4
48 simpr3 966 . . . 4
493, 4, 44, 45, 46, 47, 48, 5prdsplusgval 13726 . . 3
50 simpr1 964 . . . 4
5114adantr 453 . . . . 5
52 simpr2 965 . . . . 5
533, 4, 5, 44, 45, 51, 52, 48prdsplusgcl 14757 . . . 4
543, 4, 44, 45, 46, 50, 53, 5prdsplusgval 13726 . . 3
5543, 49, 543eqtr4d 2484 . 2
56 eqid 2442 . . . 4
573, 4, 5, 8, 12, 14, 56prdsidlem 14758 . . 3
5857simpld 447 . 2
5957simprd 451 . . . 4
6059r19.21bi 2810 . . 3
6160simpld 447 . 2
6260simprd 451 . 2
631, 2, 19, 55, 58, 61, 62ismndd 14750 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727  wral 2711  cvv 2962   cmpt 4291   ccom 4911   wfn 5478  wf 5479  cfv 5483  (class class class)co 6110  cbs 13500   cplusg 13560  scprds 13700  c0g 13754  cmnd 14715 This theorem is referenced by:  prds0g  14760  pwsmnd  14761  xpsmnd  14766  prdspjmhm  14797  prdsgrpd  14958  prdscmnd  15507  prdsrngd  15749  prdstmdd  18184  dsmm0cl  27221 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-hom 13584  df-cco 13585  df-prds 13702  df-0g 13758  df-mnd 14721
 Copyright terms: Public domain W3C validator