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Theorem prdsmndd 14615
Description: The product of a family of monoids is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmndd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsmndd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsmndd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsmndd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
Assertion
Ref Expression
prdsmndd  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )

Proof of Theorem prdsmndd
Dummy variables  a 
b  y  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2367 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  Y ) )
2 eqidd 2367 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  Y ) )
3 prdsmndd.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s R )
4 eqid 2366 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
5 eqid 2366 . . . 4  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
6 prdsmndd.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
7 elex 2881 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
86, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
98adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  S  e.  _V )
10 prdsmndd.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
11 elex 2881 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  I  e.  _V )
1210, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
1312adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  I  e.  _V )
14 prdsmndd.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
1514adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  R : I --> Mnd )
16 simprl 732 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  a  e.  ( Base `  Y
) )
17 simprr 733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  b  e.  ( Base `  Y
) )
183, 4, 5, 9, 13, 15, 16, 17prdsplusgcl 14613 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  (
a ( +g  `  Y
) b )  e.  ( Base `  Y
) )
19183impb 1148 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  ( a ( +g  `  Y ) b )  e.  (
Base `  Y )
)
20 ffvelrn 5770 . . . . . . . 8  |-  ( ( R : I --> Mnd  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y
)  e.  Mnd )
2114, 20sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
2221adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
238ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  _V )
2412ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  _V )
25 ffn 5495 . . . . . . . . 9  |-  ( R : I --> Mnd  ->  R  Fn  I )
2614, 25syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
2726ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
28 simplr1 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  Y
) )
29 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
303, 4, 23, 24, 27, 28, 29prdsbasprj 13581 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
31 simplr2 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  b  e.  ( Base `  Y
) )
323, 4, 23, 24, 27, 31, 29prdsbasprj 13581 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
b `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
33 simplr3 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  c  e.  ( Base `  Y
) )
343, 4, 23, 24, 27, 33, 29prdsbasprj 13581 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
35 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
36 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( R `  y
) )  =  ( +g  `  ( R `
 y ) )
3735, 36mndass 14583 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  Mnd  /\  ( ( a `  y )  e.  (
Base `  ( R `  y ) )  /\  ( b `  y
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) )  /\  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) ) )  -> 
( ( ( a `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( b `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) )  =  ( ( a `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) ) )
3822, 30, 32, 34, 37syl13anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( b `
 y ) ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
393, 4, 23, 24, 27, 28, 31, 5, 29prdsplusgfval 13583 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( +g  `  Y ) b ) `
 y )  =  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( b `
 y ) ) )
4039oveq1d 5996 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a ( +g  `  Y ) b ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( ( a `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( b `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) )
413, 4, 23, 24, 27, 31, 33, 5, 29prdsplusgfval 13583 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( b ( +g  `  Y ) c ) `
 y )  =  ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) )
4241oveq2d 5997 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
4338, 40, 423eqtr4d 2408 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a ( +g  `  Y ) b ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) ) )
4443mpteq2dva 4208 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( +g  `  Y ) b ) `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) ) ) )
458adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  S  e.  _V )
4612adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  I  e.  _V )
4726adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R  Fn  I )
48183adantr3 1117 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( +g  `  Y ) b )  e.  (
Base `  Y )
)
49 simpr3 964 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  c  e.  ( Base `  Y )
)
503, 4, 45, 46, 47, 48, 49, 5prdsplusgval 13582 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( +g  `  Y
) b ) ( +g  `  Y ) c )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( +g  `  Y ) b ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
51 simpr1 962 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  a  e.  ( Base `  Y )
)
5214adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R :
I --> Mnd )
53 simpr2 963 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  b  e.  ( Base `  Y )
)
543, 4, 5, 45, 46, 52, 53, 49prdsplusgcl 14613 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( b
( +g  `  Y ) c )  e.  (
Base `  Y )
)
553, 4, 45, 46, 47, 51, 54, 5prdsplusgval 13582 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( +g  `  Y ) ( b ( +g  `  Y ) c ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) ) ) )
5644, 50, 553eqtr4d 2408 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( +g  `  Y
) b ) ( +g  `  Y ) c )  =  ( a ( +g  `  Y
) ( b ( +g  `  Y ) c ) ) )
57 eqid 2366 . . . 4  |-  ( 0g  o.  R )  =  ( 0g  o.  R
)
583, 4, 5, 8, 12, 14, 57prdsidlem 14614 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 0g  o.  R )  e.  (
Base `  Y )  /\  A. a  e.  (
Base `  Y )
( ( ( 0g  o.  R ) ( +g  `  Y ) a )  =  a  /\  ( a ( +g  `  Y ) ( 0g  o.  R
) )  =  a ) ) )
5958simpld 445 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  e.  ( Base `  Y ) )
6058simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  (
Base `  Y )
( ( ( 0g  o.  R ) ( +g  `  Y ) a )  =  a  /\  ( a ( +g  `  Y ) ( 0g  o.  R
) )  =  a ) )
6160r19.21bi 2726 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( (
( 0g  o.  R
) ( +g  `  Y
) a )  =  a  /\  ( a ( +g  `  Y
) ( 0g  o.  R ) )  =  a ) )
6261simpld 445 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( ( 0g  o.  R ) ( +g  `  Y ) a )  =  a )
6361simprd 449 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( a
( +g  `  Y ) ( 0g  o.  R
) )  =  a )
641, 2, 19, 56, 59, 62, 63ismndd 14606 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   _Vcvv 2873    e. cmpt 4179    o. ccom 4796    Fn wfn 5353   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   +g cplusg 13416   X_scprds 13556   0gc0g 13610   Mndcmnd 14571
This theorem is referenced by:  prds0g  14616  pwsmnd  14617  xpsmnd  14622  prdspjmhm  14653  prdsgrpd  14814  prdscmnd  15363  prdsrngd  15605  prdstmdd  18019  dsmm0cl  26712
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-hom 13440  df-cco 13441  df-prds 13558  df-0g 13614  df-mnd 14577
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