Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmulr Structured version   Unicode version

Theorem prdsmulr 13687
 Description: Multiplication in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p s
prdsbas.s
prdsbas.r
prdsbas.b
prdsbas.i
prdsmulr.t
Assertion
Ref Expression
prdsmulr
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem prdsmulr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3 s
2 eqid 2438 . . 3
3 prdsbas.i . . 3
4 prdsbas.s . . . 4
5 prdsbas.r . . . 4
6 prdsbas.b . . . 4
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 13685 . . 3
8 eqid 2438 . . . 4
91, 4, 5, 6, 3, 8prdsplusg 13686 . . 3
10 eqidd 2439 . . 3
11 eqidd 2439 . . 3
12 eqidd 2439 . . 3
13 eqidd 2439 . . 3
14 eqidd 2439 . . 3
15 eqidd 2439 . . 3
16 eqidd 2439 . . 3 comp comp
171, 2, 3, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 4, 5prdsval 13683 . 2 Scalar TopSet comp comp
18 prdsmulr.t . 2
19 mulrid 13580 . 2 Slot
20 ovssunirn 6110 . . . . . . . . . . 11
2119strfvss 13492 . . . . . . . . . . . . 13
22 fvssunirn 5757 . . . . . . . . . . . . . 14
23 rnss 5101 . . . . . . . . . . . . . 14
24 uniss 4038 . . . . . . . . . . . . . 14
2522, 23, 24mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13
2621, 25sstri 3359 . . . . . . . . . . . 12
27 rnss 5101 . . . . . . . . . . . 12
28 uniss 4038 . . . . . . . . . . . 12
2926, 27, 28mp2b 10 . . . . . . . . . . 11
3020, 29sstri 3359 . . . . . . . . . 10
31 ovex 6109 . . . . . . . . . . 11
3231elpw 3807 . . . . . . . . . 10
3330, 32mpbir 202 . . . . . . . . 9
3433a1i 11 . . . . . . . 8
35 eqid 2438 . . . . . . . 8
3634, 35fmptd 5896 . . . . . . 7
37 rnexg 5134 . . . . . . . . . . . 12
38 uniexg 4709 . . . . . . . . . . . 12
395, 37, 383syl 19 . . . . . . . . . . 11
40 rnexg 5134 . . . . . . . . . . 11
41 uniexg 4709 . . . . . . . . . . 11
4239, 40, 413syl 19 . . . . . . . . . 10
43 rnexg 5134 . . . . . . . . . 10
44 uniexg 4709 . . . . . . . . . 10
4542, 43, 443syl 19 . . . . . . . . 9
46 pwexg 4386 . . . . . . . . 9
4745, 46syl 16 . . . . . . . 8
48 dmexg 5133 . . . . . . . . . 10
495, 48syl 16 . . . . . . . . 9
503, 49eqeltrrd 2513 . . . . . . . 8
51 elmapg 7034 . . . . . . . 8
5247, 50, 51syl2anc 644 . . . . . . 7
5336, 52mpbird 225 . . . . . 6
5453ralrimivw 2792 . . . . 5
5554ralrimivw 2792 . . . 4
56 eqid 2438 . . . . 5
5756fmpt2 6421 . . . 4
5855, 57sylib 190 . . 3
59 fvex 5745 . . . . . 6
606, 59eqeltri 2508 . . . . 5
6160, 60xpex 4993 . . . 4
62 ovex 6109 . . . 4
63 fex2 5606 . . . 4
6461, 62, 63mp3an23 1272 . . 3
6558, 64syl 16 . 2
66 snsstp3 3953 . . . 4
67 ssun1 3512 . . . 4 Scalar
6866, 67sstri 3359 . . 3 Scalar
69 ssun1 3512 . . 3 Scalar Scalar TopSet comp comp
7068, 69sstri 3359 . 2 Scalar TopSet comp comp
7117, 18, 19, 65, 70prdsvallem 13682 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958   cun 3320   wss 3322  cpw 3801  csn 3816  cpr 3817  ctp 3818  cop 3819  cuni 4017   class class class wbr 4215  copab 4268   cmpt 4269   cxp 4879   cdm 4881   crn 4882   ccom 4885  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  c1st 6350  c2nd 6351   cmap 7021  cixp 7066  csup 7448  cc0 8995  cxr 9124   clt 9125  cnx 13471  cbs 13474   cplusg 13534  cmulr 13535  Scalarcsca 13537  cvsca 13538  TopSetcts 13540  cple 13541  cds 13543   chom 13545  compcco 13546  ctopn 13654  cpt 13671  scprds 13674 This theorem is referenced by:  prdsvsca  13688  prdsle  13689  prdsds  13691  prdstset  13693  prdshom  13694  prdsco  13695  prdsmulrval  13702  prdsmgp  15721 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-hom 13558  df-cco 13559  df-prds 13676
 Copyright terms: Public domain W3C validator