MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmulrcl Unicode version

Theorem prdsmulrcl 15604
Description: A structure product of rings has closed binary operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmulrcl.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsmulrcl.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsmulrcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
prdsmulrcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsmulrcl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsmulrcl.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
prdsmulrcl.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
prdsmulrcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
prdsmulrcl  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  e.  B )

Proof of Theorem prdsmulrcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmulrcl.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsmulrcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 prdsmulrcl.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsmulrcl.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 prdsmulrcl.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
6 ffn 5495 . . . 4  |-  ( R : I --> Ring  ->  R  Fn  I )
75, 6syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
8 prdsmulrcl.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
9 prdsmulrcl.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
10 prdsmulrcl.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
111, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10prdsmulrval 13584 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) ) )
12 ffvelrn 5770 . . . . . 6  |-  ( ( R : I --> Ring  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  Ring )
135, 12sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  Ring )
143adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  V )
154adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  W )
167adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  Fn  I )
178adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  B )
18 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
191, 2, 14, 15, 16, 17, 18prdsbasprj 13581 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
209adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G  e.  B )
211, 2, 14, 15, 16, 20, 18prdsbasprj 13581 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
22 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( R `  x
) )  =  (
Base `  ( R `  x ) )
23 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( .r
`  ( R `  x ) )  =  ( .r `  ( R `  x )
)
2422, 23rngcl 15564 . . . . 5  |-  ( ( ( R `  x
)  e.  Ring  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  ( R `  x )
)  /\  ( G `  x )  e.  (
Base `  ( R `  x ) ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) )  e.  (
Base `  ( R `  x ) ) )
2513, 19, 21, 24syl3anc 1183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( G `  x ) )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
2625ralrimiva 2711 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( ( F `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) )  e.  ( Base `  ( R `  x
) ) )
271, 2, 3, 4, 7prdsbasmpt 13579 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) ) )  e.  B  <->  A. x  e.  I 
( ( F `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) )  e.  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )
2826, 27mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )  e.  B
)
2911, 28eqeltrd 2440 1  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628    e. cmpt 4179    Fn wfn 5353   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   .rcmulr 13417   X_scprds 13556   Ringcrg 15547
This theorem is referenced by:  prdsrngd  15605
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-hom 13440  df-cco 13441  df-prds 13558  df-mnd 14577  df-mgp 15536  df-rng 15550
  Copyright terms: Public domain W3C validator