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Theorem prdspjmhm 14443
Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdspjmhm.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdspjmhm.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdspjmhm.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
prdspjmhm.s  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
prdspjmhm.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
prdspjmhm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  I )
Assertion
Ref Expression
prdspjmhm  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  ( R `  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x    x, R    x, Y
Allowed substitution hints:    S( x)    I( x)    V( x)    X( x)

Proof of Theorem prdspjmhm
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdspjmhm.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdspjmhm.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
3 prdspjmhm.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
4 prdspjmhm.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
51, 2, 3, 4prdsmndd 14405 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
6 prdspjmhm.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  I )
7 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( R : I --> Mnd  /\  A  e.  I )  ->  ( R `  A
)  e.  Mnd )
84, 6, 7syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R `  A
)  e.  Mnd )
95, 8jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  Mnd  /\  ( R `  A
)  e.  Mnd )
)
10 prdspjmhm.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
113adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  S  e.  X )
122adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  I  e.  V )
13 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( R : I --> Mnd  ->  R  Fn  I )
144, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
1514adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  R  Fn  I )
16 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
176adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A  e.  I )
181, 10, 11, 12, 15, 16, 17prdsbasprj 13371 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x `  A )  e.  ( Base `  ( R `  A )
) )
19 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) )
2018, 19fmptd 5684 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) : B --> ( Base `  ( R `  A ) ) )
213adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  S  e.  X )
222adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  I  e.  V )
2314adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  R  Fn  I )
24 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
25 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
z  e.  B )
26 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
276adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  A  e.  I )
281, 10, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27prdsplusgfval 13373 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y ( +g  `  Y ) z ) `  A
)  =  ( ( y `  A ) ( +g  `  ( R `  A )
) ( z `  A ) ) )
2910, 26mndcl 14372 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  Y ) z )  e.  B )
30293expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
y ( +g  `  Y
) z )  e.  B )
315, 30sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  Y ) z )  e.  B )
32 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  Y ) z )  ->  (
x `  A )  =  ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  A ) )
33 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  A )  e.  _V
3432, 19, 33fvmpt 5602 . . . . . 6  |-  ( ( y ( +g  `  Y
) z )  e.  B  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  A ) )
3531, 34syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  A ) )
36 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x `  A )  =  ( y `  A ) )
37 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( y `
 A )  e. 
_V
3836, 19, 37fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  y
)  =  ( y `
 A ) )
39 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x `  A )  =  ( z `  A ) )
40 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( z `
 A )  e. 
_V
4139, 19, 40fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  z
)  =  ( z `
 A ) )
4238, 41oveqan12d 5877 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 y ) ( +g  `  ( R `
 A ) ) ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  z ) )  =  ( ( y `  A ) ( +g  `  ( R `  A
) ) ( z `
 A ) ) )
4342adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 y ) ( +g  `  ( R `
 A ) ) ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  z ) )  =  ( ( y `  A ) ( +g  `  ( R `  A
) ) ( z `
 A ) ) )
4428, 35, 433eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  y
) ( +g  `  ( R `  A )
) ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 z ) ) )
4544ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  y
) ( +g  `  ( R `  A )
) ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 z ) ) )
46 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
4710, 46mndidcl 14391 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Mnd  ->  ( 0g `  Y )  e.  B )
48 fveq1 5524 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  Y )  ->  (
x `  A )  =  ( ( 0g
`  Y ) `  A ) )
49 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  Y ) `
 A )  e. 
_V
5048, 19, 49fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  Y )  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( ( 0g
`  Y ) `  A ) )
515, 47, 503syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( ( 0g `  Y ) `
 A ) )
521, 2, 3, 4prds0g 14406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( 0g
`  Y ) )
5352fveq1d 5527 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0g  o.  R ) `  A
)  =  ( ( 0g `  Y ) `
 A ) )
54 fvco3 5596 . . . . 5  |-  ( ( R : I --> Mnd  /\  A  e.  I )  ->  ( ( 0g  o.  R ) `  A
)  =  ( 0g
`  ( R `  A ) ) )
554, 6, 54syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0g  o.  R ) `  A
)  =  ( 0g
`  ( R `  A ) ) )
5651, 53, 553eqtr2d 2321 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g
`  ( R `  A ) ) )
5720, 45, 563jca 1132 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) : B --> ( Base `  ( R `  A )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  y ) ( +g  `  ( R `  A )
) ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 z ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g `  ( R `  A )
) ) )
58 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  ( R `  A
) )  =  (
Base `  ( R `  A ) )
59 eqid 2283 . . 3  |-  ( +g  `  ( R `  A
) )  =  ( +g  `  ( R `
 A ) )
60 eqid 2283 . . 3  |-  ( 0g
`  ( R `  A ) )  =  ( 0g `  ( R `  A )
)
6110, 58, 26, 59, 46, 60ismhm 14417 . 2  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) )  e.  ( Y MndHom 
( R `  A
) )  <->  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( R `  A )  e.  Mnd )  /\  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) : B --> ( Base `  ( R `  A ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  (
y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  y ) ( +g  `  ( R `  A )
) ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 z ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g `  ( R `  A )
) ) ) )
629, 57, 61sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  ( R `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    e. cmpt 4077    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   X_scprds 13346   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361   MndHom cmhm 14413
This theorem is referenced by:  pwspjmhm  14444  prdsgsum  15229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415
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