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Theorem prdspjmhm 14492
Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdspjmhm.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdspjmhm.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdspjmhm.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
prdspjmhm.s  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
prdspjmhm.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
prdspjmhm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  I )
Assertion
Ref Expression
prdspjmhm  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  ( R `  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x    x, R    x, Y
Allowed substitution hints:    S( x)    I( x)    V( x)    X( x)

Proof of Theorem prdspjmhm
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdspjmhm.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdspjmhm.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
3 prdspjmhm.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
4 prdspjmhm.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
51, 2, 3, 4prdsmndd 14454 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
6 prdspjmhm.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  I )
7 ffvelrn 5701 . . . 4  |-  ( ( R : I --> Mnd  /\  A  e.  I )  ->  ( R `  A
)  e.  Mnd )
84, 6, 7syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R `  A
)  e.  Mnd )
95, 8jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  Mnd  /\  ( R `  A
)  e.  Mnd )
)
10 prdspjmhm.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
113adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  S  e.  X )
122adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  I  e.  V )
13 ffn 5427 . . . . . . 7  |-  ( R : I --> Mnd  ->  R  Fn  I )
144, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
1514adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  R  Fn  I )
16 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
176adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A  e.  I )
181, 10, 11, 12, 15, 16, 17prdsbasprj 13420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x `  A )  e.  ( Base `  ( R `  A )
) )
19 eqid 2316 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) )
2018, 19fmptd 5722 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) : B --> ( Base `  ( R `  A ) ) )
213adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  S  e.  X )
222adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  I  e.  V )
2314adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  R  Fn  I )
24 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
25 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
z  e.  B )
26 eqid 2316 . . . . . 6  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
276adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  A  e.  I )
281, 10, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27prdsplusgfval 13422 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y ( +g  `  Y ) z ) `  A
)  =  ( ( y `  A ) ( +g  `  ( R `  A )
) ( z `  A ) ) )
2910, 26mndcl 14421 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  Y ) z )  e.  B )
30293expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
y ( +g  `  Y
) z )  e.  B )
315, 30sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  Y ) z )  e.  B )
32 fveq1 5562 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  Y ) z )  ->  (
x `  A )  =  ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  A ) )
33 fvex 5577 . . . . . . 7  |-  ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  A )  e.  _V
3432, 19, 33fvmpt 5640 . . . . . 6  |-  ( ( y ( +g  `  Y
) z )  e.  B  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  A ) )
3531, 34syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  A ) )
36 fveq1 5562 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x `  A )  =  ( y `  A ) )
37 fvex 5577 . . . . . . . 8  |-  ( y `
 A )  e. 
_V
3836, 19, 37fvmpt 5640 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  y
)  =  ( y `
 A ) )
39 fveq1 5562 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x `  A )  =  ( z `  A ) )
40 fvex 5577 . . . . . . . 8  |-  ( z `
 A )  e. 
_V
4139, 19, 40fvmpt 5640 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  z
)  =  ( z `
 A ) )
4238, 41oveqan12d 5919 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 y ) ( +g  `  ( R `
 A ) ) ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  z ) )  =  ( ( y `  A ) ( +g  `  ( R `  A
) ) ( z `
 A ) ) )
4342adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 y ) ( +g  `  ( R `
 A ) ) ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  z ) )  =  ( ( y `  A ) ( +g  `  ( R `  A
) ) ( z `
 A ) ) )
4428, 35, 433eqtr4d 2358 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  y
) ( +g  `  ( R `  A )
) ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 z ) ) )
4544ralrimivva 2669 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  y
) ( +g  `  ( R `  A )
) ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 z ) ) )
46 eqid 2316 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
4710, 46mndidcl 14440 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Mnd  ->  ( 0g `  Y )  e.  B )
48 fveq1 5562 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  Y )  ->  (
x `  A )  =  ( ( 0g
`  Y ) `  A ) )
49 fvex 5577 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  Y ) `
 A )  e. 
_V
5048, 19, 49fvmpt 5640 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  Y )  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( ( 0g
`  Y ) `  A ) )
515, 47, 503syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( ( 0g `  Y ) `
 A ) )
521, 2, 3, 4prds0g 14455 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( 0g
`  Y ) )
5352fveq1d 5565 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0g  o.  R ) `  A
)  =  ( ( 0g `  Y ) `
 A ) )
54 fvco3 5634 . . . . 5  |-  ( ( R : I --> Mnd  /\  A  e.  I )  ->  ( ( 0g  o.  R ) `  A
)  =  ( 0g
`  ( R `  A ) ) )
554, 6, 54syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0g  o.  R ) `  A
)  =  ( 0g
`  ( R `  A ) ) )
5651, 53, 553eqtr2d 2354 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g
`  ( R `  A ) ) )
5720, 45, 563jca 1132 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) : B --> ( Base `  ( R `  A )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  y ) ( +g  `  ( R `  A )
) ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 z ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g `  ( R `  A )
) ) )
58 eqid 2316 . . 3  |-  ( Base `  ( R `  A
) )  =  (
Base `  ( R `  A ) )
59 eqid 2316 . . 3  |-  ( +g  `  ( R `  A
) )  =  ( +g  `  ( R `
 A ) )
60 eqid 2316 . . 3  |-  ( 0g
`  ( R `  A ) )  =  ( 0g `  ( R `  A )
)
6110, 58, 26, 59, 46, 60ismhm 14466 . 2  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) )  e.  ( Y MndHom 
( R `  A
) )  <->  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( R `  A )  e.  Mnd )  /\  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) : B --> ( Base `  ( R `  A ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  (
y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  y ) ( +g  `  ( R `  A )
) ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 z ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g `  ( R `  A )
) ) ) )
629, 57, 61sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  ( R `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577    e. cmpt 4114    o. ccom 4730    Fn wfn 5287   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195   +g cplusg 13255   X_scprds 13395   0gc0g 13449   Mndcmnd 14410   MndHom cmhm 14462
This theorem is referenced by:  pwspjmhm  14493  prdsgsum  15278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-fz 10830  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-hom 13279  df-cco 13280  df-prds 13397  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-mhm 14464
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