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Theorem prdspjmhm 14766
Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdspjmhm.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdspjmhm.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdspjmhm.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
prdspjmhm.s  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
prdspjmhm.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
prdspjmhm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  I )
Assertion
Ref Expression
prdspjmhm  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  ( R `  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x    x, R    x, Y
Allowed substitution hints:    S( x)    I( x)    V( x)    X( x)

Proof of Theorem prdspjmhm
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdspjmhm.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdspjmhm.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
3 prdspjmhm.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
4 prdspjmhm.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
51, 2, 3, 4prdsmndd 14728 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
6 prdspjmhm.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  I )
74, 6ffvelrnd 5871 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R `  A
)  e.  Mnd )
85, 7jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  Mnd  /\  ( R `  A
)  e.  Mnd )
)
9 prdspjmhm.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
103adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  S  e.  X )
112adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  I  e.  V )
12 ffn 5591 . . . . . . 7  |-  ( R : I --> Mnd  ->  R  Fn  I )
134, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
1413adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  R  Fn  I )
15 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
166adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A  e.  I )
171, 9, 10, 11, 14, 15, 16prdsbasprj 13694 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x `  A )  e.  ( Base `  ( R `  A )
) )
18 eqid 2436 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) )
1917, 18fmptd 5893 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) : B --> ( Base `  ( R `  A ) ) )
203adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  S  e.  X )
212adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  I  e.  V )
2213adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  R  Fn  I )
23 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
24 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
z  e.  B )
25 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
266adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  A  e.  I )
271, 9, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26prdsplusgfval 13696 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y ( +g  `  Y ) z ) `  A
)  =  ( ( y `  A ) ( +g  `  ( R `  A )
) ( z `  A ) ) )
289, 25mndcl 14695 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  Y ) z )  e.  B )
29283expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
y ( +g  `  Y
) z )  e.  B )
305, 29sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  Y ) z )  e.  B )
31 fveq1 5727 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  Y ) z )  ->  (
x `  A )  =  ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  A ) )
32 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  A )  e.  _V
3331, 18, 32fvmpt 5806 . . . . . 6  |-  ( ( y ( +g  `  Y
) z )  e.  B  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  A ) )
3430, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  A ) )
35 fveq1 5727 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x `  A )  =  ( y `  A ) )
36 fvex 5742 . . . . . . . 8  |-  ( y `
 A )  e. 
_V
3735, 18, 36fvmpt 5806 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  y
)  =  ( y `
 A ) )
38 fveq1 5727 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x `  A )  =  ( z `  A ) )
39 fvex 5742 . . . . . . . 8  |-  ( z `
 A )  e. 
_V
4038, 18, 39fvmpt 5806 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  z
)  =  ( z `
 A ) )
4137, 40oveqan12d 6100 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 y ) ( +g  `  ( R `
 A ) ) ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  z ) )  =  ( ( y `  A ) ( +g  `  ( R `  A
) ) ( z `
 A ) ) )
4241adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 y ) ( +g  `  ( R `
 A ) ) ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  z ) )  =  ( ( y `  A ) ( +g  `  ( R `  A
) ) ( z `
 A ) ) )
4327, 34, 423eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  y
) ( +g  `  ( R `  A )
) ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 z ) ) )
4443ralrimivva 2798 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  y
) ( +g  `  ( R `  A )
) ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 z ) ) )
45 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
469, 45mndidcl 14714 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Mnd  ->  ( 0g `  Y )  e.  B )
47 fveq1 5727 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  Y )  ->  (
x `  A )  =  ( ( 0g
`  Y ) `  A ) )
48 fvex 5742 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  Y ) `
 A )  e. 
_V
4947, 18, 48fvmpt 5806 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  Y )  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( ( 0g
`  Y ) `  A ) )
505, 46, 493syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( ( 0g `  Y ) `
 A ) )
511, 2, 3, 4prds0g 14729 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( 0g
`  Y ) )
5251fveq1d 5730 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0g  o.  R ) `  A
)  =  ( ( 0g `  Y ) `
 A ) )
53 fvco3 5800 . . . . 5  |-  ( ( R : I --> Mnd  /\  A  e.  I )  ->  ( ( 0g  o.  R ) `  A
)  =  ( 0g
`  ( R `  A ) ) )
544, 6, 53syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0g  o.  R ) `  A
)  =  ( 0g
`  ( R `  A ) ) )
5550, 52, 543eqtr2d 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g
`  ( R `  A ) ) )
5619, 44, 553jca 1134 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) : B --> ( Base `  ( R `  A )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  y ) ( +g  `  ( R `  A )
) ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 z ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g `  ( R `  A )
) ) )
57 eqid 2436 . . 3  |-  ( Base `  ( R `  A
) )  =  (
Base `  ( R `  A ) )
58 eqid 2436 . . 3  |-  ( +g  `  ( R `  A
) )  =  ( +g  `  ( R `
 A ) )
59 eqid 2436 . . 3  |-  ( 0g
`  ( R `  A ) )  =  ( 0g `  ( R `  A )
)
609, 57, 25, 58, 45, 59ismhm 14740 . 2  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) )  e.  ( Y MndHom 
( R `  A
) )  <->  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( R `  A )  e.  Mnd )  /\  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) : B --> ( Base `  ( R `  A ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  (
y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  y ) ( +g  `  ( R `  A )
) ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 z ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g `  ( R `  A )
) ) ) )
618, 56, 60sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  ( R `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    e. cmpt 4266    o. ccom 4882    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   X_scprds 13669   0gc0g 13723   Mndcmnd 14684   MndHom cmhm 14736
This theorem is referenced by:  pwspjmhm  14767  prdsgsum  15552
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mhm 14738
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