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Theorem prdsplusg 13686
Description: Addition in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p  |-  P  =  ( S X_s R )
prdsbas.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbas.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
prdsbas.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
prdsbas.i  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
prdsplusg.b  |-  .+  =  ( +g  `  P )
Assertion
Ref Expression
prdsplusg  |-  ( ph  ->  .+  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, B    ph, f, g, x    f, I, g, x    P, f, g, x    R, f, g, x    S, f, g, x
Allowed substitution hints:    .+ ( x, f, g)    V( x, f, g)    W( x, f, g)

Proof of Theorem prdsplusg
Dummy variables  a 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3  |-  P  =  ( S X_s R )
2 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 prdsbas.i . . 3  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
4 prdsbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
5 prdsbas.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
6 prdsbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 13685 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
8 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) )  =  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
9 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
10 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
11 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
12 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  B  /\  A. x  e.  I  (
f `  x )
( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) } )
13 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
14 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
15 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )  =  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) )
161, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 4, 5prdsval 13683 . 2  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  B  /\  A. x  e.  I  (
f `  x )
( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
17 prdsplusg.b . 2  |-  .+  =  ( +g  `  P )
18 plusgid 13569 . 2  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
19 ovssunirn 6110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  ( +g  `  ( R `  x )
)
2018strfvss 13492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  ( R `  x
) )  C_  U. ran  ( R `  x )
21 fvssunirn 5757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R `
 x )  C_  U.
ran  R
22 rnss 5101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R `  x ) 
C_  U. ran  R  ->  ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R )
23 uniss 4038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R  ->  U. ran  ( R `
 x )  C_  U.
ran  U. ran  R )
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  ( R `  x ) 
C_  U. ran  U. ran  R
2520, 24sstri 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  ( R `  x
) )  C_  U. ran  U.
ran  R
26 rnss 5101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( +g  `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  R  ->  ran  ( +g  `  ( R `  x
) )  C_  ran  U.
ran  U. ran  R )
27 uniss 4038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( +g  `  ( R `  x )
)  C_  ran  U. ran  U.
ran  R  ->  U. ran  ( +g  `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  U.
ran  R )
2825, 26, 27mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ran  ( +g  `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  U.
ran  R
2919, 28sstri 3359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  U. ran  R
30 ovex 6109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
_V
3130elpw 3807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R  <->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) )  C_  U. ran  U.
ran  U. ran  R )
3229, 31mpbir 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R
3332a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R )
34 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) )
3533, 34fmptd 5896 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R )
36 rnexg 5134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  W  ->  ran  R  e.  _V )
37 uniexg 4709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran 
R  e.  _V  ->  U.
ran  R  e.  _V )
385, 36, 373syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ran  R  e. 
_V )
39 rnexg 5134 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  R  e.  _V  ->  ran  U. ran  R  e.  _V )
40 uniexg 4709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
4138, 39, 403syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
42 rnexg 5134 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  U. ran  R  e. 
_V  ->  ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
43 uniexg 4709 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V )
44 pwexg 4386 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V  ->  ~P U.
ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
4541, 42, 43, 444syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V )
46 dmexg 5133 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  W  ->  dom  R  e.  _V )
475, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  R  e.  _V )
483, 47eqeltrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
49 elmapg 7034 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V  /\  I  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R ) )
5045, 48, 49syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) )  e.  ( ~P U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R ) )
5135, 50mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  e.  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5251ralrimivw 2792 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. g  e.  B  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  e.  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5352ralrimivw 2792 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  e.  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
54 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )
5554fmpt2 6421 . . . 4  |-  ( A. f  e.  B  A. g  e.  B  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5653, 55sylib 190 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I ) )
57 fvex 5745 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  e.  _V
586, 57eqeltri 2508 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
5958, 58xpex 4993 . . . 4  |-  ( B  X.  B )  e. 
_V
60 ovex 6109 . . . 4  |-  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e.  _V
61 fex2 5606 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I )  /\  ( B  X.  B )  e. 
_V  /\  ( ~P U.
ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e. 
_V )  ->  (
f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  e.  _V )
6259, 60, 61mp3an23 1272 . . 3  |-  ( ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  ->  (
f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  e.  _V )
6356, 62syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) )  e.  _V )
64 snsstp2 3952 . . . 4  |-  { <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }  C_  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }
65 ssun1 3512 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. } )
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) ) ) )
>. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
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Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
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Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
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( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
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x  e.  I  |->  ( ( f `  x
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   {csn 3816   {cpr 3817   {ctp 3818   <.cop 3819   U.cuni 4017   class class class wbr 4215   {copab 4268    e. cmpt 4269    X. cxp 4879   dom cdm 4881   ran crn 4882    o. ccom 4885   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   1stc1st 6350   2ndc2nd 6351    ^m cmap 7021   X_cixp 7066   supcsup 7448   0cc0 8995   RR*cxr 9124    < clt 9125   ndxcnx 13471   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   .rcmulr 13535  Scalarcsca 13537   .scvsca 13538  TopSetcts 13540   lecple 13541   distcds 13543    Hom chom 13545  compcco 13546   TopOpenctopn 13654   Xt_cpt 13671   X_scprds 13674
This theorem is referenced by:  prdsmulr  13687  prdsvsca  13688  prdsle  13689  prdsds  13691  prdstset  13693  prdshom  13694  prdsco  13695  prdsplusgval  13700  prdsmgp  15721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-hom 13558  df-cco 13559  df-prds 13676
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