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Theorem prdsplusg 13673
Description: Addition in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p  |-  P  =  ( S X_s R )
prdsbas.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbas.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
prdsbas.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
prdsbas.i  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
prdsplusg.b  |-  .+  =  ( +g  `  P )
Assertion
Ref Expression
prdsplusg  |-  ( ph  ->  .+  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, B    ph, f, g, x    f, I, g, x    P, f, g, x    R, f, g, x    S, f, g, x
Allowed substitution hints:    .+ ( x, f, g)    V( x, f, g)    W( x, f, g)

Proof of Theorem prdsplusg
Dummy variables  a 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3  |-  P  =  ( S X_s R )
2 eqid 2435 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 prdsbas.i . . 3  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
4 prdsbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
5 prdsbas.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
6 prdsbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 13672 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
8 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) )  =  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
9 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
10 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
11 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
12 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  B  /\  A. x  e.  I  (
f `  x )
( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) } )
13 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
14 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
15 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )  =  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) )
161, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 4, 5prdsval 13670 . 2  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  B  /\  A. x  e.  I  (
f `  x )
( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
17 prdsplusg.b . 2  |-  .+  =  ( +g  `  P )
18 plusgid 13556 . 2  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
19 ovssunirn 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  ( +g  `  ( R `  x )
)
2018strfvss 13479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  ( R `  x
) )  C_  U. ran  ( R `  x )
21 fvssunirn 5746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R `
 x )  C_  U.
ran  R
22 rnss 5090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R `  x ) 
C_  U. ran  R  ->  ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R )
23 uniss 4028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R  ->  U. ran  ( R `
 x )  C_  U.
ran  U. ran  R )
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  ( R `  x ) 
C_  U. ran  U. ran  R
2520, 24sstri 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  ( R `  x
) )  C_  U. ran  U.
ran  R
26 rnss 5090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( +g  `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  R  ->  ran  ( +g  `  ( R `  x
) )  C_  ran  U.
ran  U. ran  R )
27 uniss 4028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( +g  `  ( R `  x )
)  C_  ran  U. ran  U.
ran  R  ->  U. ran  ( +g  `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  U.
ran  R )
2825, 26, 27mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ran  ( +g  `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  U.
ran  R
2919, 28sstri 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  U. ran  R
30 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
_V
3130elpw 3797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R  <->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) )  C_  U. ran  U.
ran  U. ran  R )
3229, 31mpbir 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R
3332a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R )
34 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) )
3533, 34fmptd 5885 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R )
36 rnexg 5123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  W  ->  ran  R  e.  _V )
37 uniexg 4698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
R  e.  _V  ->  U.
ran  R  e.  _V )
385, 36, 373syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ran  R  e. 
_V )
39 rnexg 5123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  R  e.  _V  ->  ran  U. ran  R  e.  _V )
40 uniexg 4698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
4138, 39, 403syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
42 rnexg 5123 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  U. ran  R  e. 
_V  ->  ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
43 uniexg 4698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V )
4441, 42, 433syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. ran  U. ran  U.
ran  R  e.  _V )
45 pwexg 4375 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V  ->  ~P U.
ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V )
47 dmexg 5122 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  W  ->  dom  R  e.  _V )
485, 47syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  R  e.  _V )
493, 48eqeltrrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
50 elmapg 7023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V  /\  I  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R ) )
5146, 49, 50syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) )  e.  ( ~P U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R ) )
5235, 51mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  e.  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5352ralrimivw 2782 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. g  e.  B  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  e.  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5453ralrimivw 2782 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  e.  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
55 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )
5655fmpt2 6410 . . . 4  |-  ( A. f  e.  B  A. g  e.  B  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5754, 56sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I ) )
58 fvex 5734 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  e.  _V
596, 58eqeltri 2505 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
6059, 59xpex 4982 . . . 4  |-  ( B  X.  B )  e. 
_V
61 ovex 6098 . . . 4  |-  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e.  _V
62 fex2 5595 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I )  /\  ( B  X.  B )  e. 
_V  /\  ( ~P U.
ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e. 
_V )  ->  (
f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  e.  _V )
6360, 61, 62mp3an23 1271 . . 3  |-  ( ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  ->  (
f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  e.  _V )
6457, 63syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) )  e.  _V )
65 snsstp2 3942 . . . 4  |-  { <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }  C_  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }
66 ssun1 3502 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. } )
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) ) ) )
>. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
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>. ,  <. ( .r
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Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
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68 ssun1 3502 . . 3  |-  ( {
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>. ,  <. ( .r
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Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. } )  C_  (
( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
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f `  x )
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Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
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x  e.  I  |->  ( ( f `  x
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    u. cun 3310    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   {csn 3806   {cpr 3807   {ctp 3808   <.cop 3809   U.cuni 4007   class class class wbr 4204   {copab 4257    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   dom cdm 4870   ran crn 4871    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   1stc1st 6339   2ndc2nd 6340    ^m cmap 7010   X_cixp 7055   supcsup 7437   0cc0 8982   RR*cxr 9111    < clt 9112   ndxcnx 13458   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525  TopSetcts 13527   lecple 13528   distcds 13530    Hom chom 13532  compcco 13533   TopOpenctopn 13641   Xt_cpt 13658   X_scprds 13661
This theorem is referenced by:  prdsmulr  13674  prdsvsca  13675  prdsle  13676  prdsds  13678  prdstset  13680  prdshom  13681  prdsco  13682  prdsplusgval  13687  prdsmgp  15708
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663
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