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Theorem prdsplusg 13358
Description: Addition in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p  |-  P  =  ( S X_s R )
prdsbas.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbas.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
prdsbas.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
prdsbas.i  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
prdsplusg.b  |-  .+  =  ( +g  `  P )
Assertion
Ref Expression
prdsplusg  |-  ( ph  ->  .+  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, B    ph, f, g, x    f, I, g, x    P, f, g, x    R, f, g, x    S, f, g, x
Allowed substitution hints:    .+ ( x, f, g)    V( x, f, g)    W( x, f, g)

Proof of Theorem prdsplusg
Dummy variables  a 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3  |-  P  =  ( S X_s R )
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 prdsbas.i . . 3  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
4 prdsbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
5 prdsbas.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
6 prdsbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 13357 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
8 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) )  =  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
9 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
10 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
11 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
12 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  B  /\  A. x  e.  I  (
f `  x )
( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) } )
13 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
14 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
15 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )  =  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) )
161, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 4, 5prdsval 13355 . 2  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  B  /\  A. x  e.  I  (
f `  x )
( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
17 prdsplusg.b . 2  |-  .+  =  ( +g  `  P )
18 plusgid 13243 . 2  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
19 df-ov 5861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  =  ( ( +g  `  ( R `  x )
) `  <. ( f `
 x ) ,  ( g `  x
) >. )
20 fvssunirn 5551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( +g  `  ( R `
 x ) ) `
 <. ( f `  x ) ,  ( g `  x )
>. )  C_  U. ran  ( +g  `  ( R `
 x ) )
2119, 20eqsstri 3208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  ( +g  `  ( R `  x )
)
2218strfvss 13166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  ( R `  x
) )  C_  U. ran  ( R `  x )
23 fvssunirn 5551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R `
 x )  C_  U.
ran  R
24 rnss 4907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R `  x ) 
C_  U. ran  R  ->  ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R )
25 uniss 3848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R  ->  U. ran  ( R `
 x )  C_  U.
ran  U. ran  R )
2623, 24, 25mp2b 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  ( R `  x ) 
C_  U. ran  U. ran  R
2722, 26sstri 3188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  ( R `  x
) )  C_  U. ran  U.
ran  R
28 rnss 4907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( +g  `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  R  ->  ran  ( +g  `  ( R `  x
) )  C_  ran  U.
ran  U. ran  R )
29 uniss 3848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( +g  `  ( R `  x )
)  C_  ran  U. ran  U.
ran  R  ->  U. ran  ( +g  `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  U.
ran  R )
3027, 28, 29mp2b 9 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ran  ( +g  `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  U.
ran  R
3121, 30sstri 3188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  U. ran  R
32 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
_V
3332elpw 3631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R  <->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) )  C_  U. ran  U.
ran  U. ran  R )
3431, 33mpbir 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R
3534a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R )
36 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) )
3735, 36fmptd 5684 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R )
38 rnexg 4940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  W  ->  ran  R  e.  _V )
39 uniexg 4517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
R  e.  _V  ->  U.
ran  R  e.  _V )
405, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ran  R  e. 
_V )
41 rnexg 4940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  R  e.  _V  ->  ran  U. ran  R  e.  _V )
42 uniexg 4517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
4340, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
44 rnexg 4940 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  U. ran  R  e. 
_V  ->  ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
45 uniexg 4517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V )
4643, 44, 453syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. ran  U. ran  U.
ran  R  e.  _V )
47 pwexg 4194 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V  ->  ~P U.
ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
4846, 47syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V )
49 dmexg 4939 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  W  ->  dom  R  e.  _V )
505, 49syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  R  e.  _V )
513, 50eqeltrrd 2358 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
52 elmapg 6785 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V  /\  I  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R ) )
5348, 51, 52syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) )  e.  ( ~P U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R ) )
5437, 53mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  e.  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5554ralrimivw 2627 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. g  e.  B  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  e.  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5655ralrimivw 2627 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  e.  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
57 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )
5857fmpt2 6191 . . . 4  |-  ( A. f  e.  B  A. g  e.  B  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5956, 58sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I ) )
60 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  e.  _V
616, 60eqeltri 2353 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
6261, 61xpex 4801 . . . 4  |-  ( B  X.  B )  e. 
_V
63 ovex 5883 . . . 4  |-  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e.  _V
64 fex2 5401 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I )  /\  ( B  X.  B )  e. 
_V  /\  ( ~P U.
ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e. 
_V )  ->  (
f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  e.  _V )
6562, 63, 64mp3an23 1269 . . 3  |-  ( ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  ->  (
f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  e.  _V )
6659, 65syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) )  e.  _V )
67 snsstp2 3767 . . . 4  |-  { <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }  C_  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }
68 ssun1 3338 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
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>. ,  <. ( .r
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g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
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Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
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>. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
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>. ,  <. ( .r
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Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
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Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
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( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
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(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) )
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<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
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x  e.  I  |->  ( ( f `  x
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f `  x )
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   {cpr 3641   {ctp 3642   <.cop 3643   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   {copab 4076    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121    ^m cmap 6772   X_cixp 6817   supcsup 7193   0cc0 8737   RR*cxr 8866    < clt 8867   ndxcnx 13145   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212  TopSetcts 13214   lecple 13215   distcds 13217    Hom chom 13219  compcco 13220   TopOpenctopn 13326   Xt_cpt 13343   X_scprds 13346
This theorem is referenced by:  prdsmulr  13359  prdsvsca  13360  prdsle  13361  prdsds  13363  prdstset  13365  prdshom  13366  prdsco  13367  prdsplusgval  13372  prdsmgp  15393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348
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