MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsplusgcl Structured version   Unicode version

Theorem prdsplusgcl 14718
Description: Structure product pointwise sums are closed when the factors are monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsplusgcl.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsplusgcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
prdsplusgcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsplusgcl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsplusgcl.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
prdsplusgcl.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
prdsplusgcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
prdsplusgcl  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  e.  B )

Proof of Theorem prdsplusgcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsplusgcl.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsplusgcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 prdsplusgcl.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsplusgcl.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 prdsplusgcl.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
6 ffn 5583 . . . 4  |-  ( R : I --> Mnd  ->  R  Fn  I )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
8 prdsplusgcl.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
9 prdsplusgcl.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
10 prdsplusgcl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
111, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10prdsplusgval 13687 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) ) )
125ffvelrnda 5862 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  Mnd )
133adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  V )
144adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  W )
157adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  Fn  I )
168adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  B )
17 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
181, 2, 13, 14, 15, 16, 17prdsbasprj 13686 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
199adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G  e.  B )
201, 2, 13, 14, 15, 19, 17prdsbasprj 13686 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
21 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( R `  x
) )  =  (
Base `  ( R `  x ) )
22 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( R `  x
) )  =  ( +g  `  ( R `
 x ) )
2321, 22mndcl 14687 . . . . 5  |-  ( ( ( R `  x
)  e.  Mnd  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  ( R `  x )
)  /\  ( G `  x )  e.  (
Base `  ( R `  x ) ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) )  e.  (
Base `  ( R `  x ) ) )
2412, 18, 20, 23syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
2524ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( G `
 x ) )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
261, 2, 3, 4, 7prdsbasmpt 13684 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) ) )  e.  B  <->  A. x  e.  I 
( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( G `
 x ) )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) ) )
2725, 26mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( G `
 x ) ) )  e.  B )
2811, 27eqeltrd 2509 1  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    e. cmpt 4258    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   X_scprds 13661   Mndcmnd 14676
This theorem is referenced by:  prdsmndd  14720  prdsrngd  15710  dsmmacl  27175
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-mnd 14682
  Copyright terms: Public domain W3C validator