Theorem prdsplusgval 13654

Description: Value of a componentwise sum in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsbasmpt.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsbasmpt.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbasmpt.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsbasmpt.r	|- ( ph -> R Fn I )
prdsplusgval.f	|- ( ph -> F e. B )
prdsplusgval.g	|- ( ph -> G e. B )
prdsplusgval.p	|- .+ = ( +g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
prdsplusgval	|- ( ph -> ( F .+ G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, F   x, G   ph, x   x, I   x, V   x, R   x, S   x, W   x, Y

Allowed substitution hint:   .+ ( x)

Proof of Theorem prdsplusgval

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . 3 |- Y = ( S X_s R )
2		prdsbasmpt.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
3		prdsbasmpt.r	. . . 4 |- ( ph -> R Fn I )
4		prdsbasmpt.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
5		fnex 5924	. . . 4 |- ( ( R Fn I /\ I e. W ) -> R e. _V )
6	3, 4, 5	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> R e. _V )
7		prdsbasmpt.b	. . 3 |- B = ( Base ` Y )
8		fndm 5507	. . . 4 |- ( R Fn I -> dom R = I )
9	3, 8	syl 16	. . 3 |- ( ph -> dom R = I )
10		prdsplusgval.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` Y )
11	1, 2, 6, 7, 9, 10	prdsplusg 13640	. 2 |- ( ph -> .+ = ( y e. B , z e. B |-> ( x e. I |-> ( ( y ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) ) ) )
12		fveq1 5690	. . . . 5 |- ( y = F -> ( y ` x ) = ( F ` x ) )
13		fveq1 5690	. . . . 5 |- ( z = G -> ( z ` x ) = ( G ` x ) )
14	12, 13	oveqan12d 6063	. . . 4 |- ( ( y = F /\ z = G ) -> ( ( y ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) )
15	14	adantl 453	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y = F /\ z = G ) ) -> ( ( y ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) )
16	15	mpteq2dv 4260	. 2 |- ( ( ph /\ ( y = F /\ z = G ) ) -> ( x e. I |-> ( ( y ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )
17		prdsplusgval.f	. 2 |- ( ph -> F e. B )
18		prdsplusgval.g	. 2 |- ( ph -> G e. B )
19		mptexg 5928	. . 3 |- ( I e. W -> ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) e. _V )
20	4, 19	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) e. _V )
21	11, 16, 17, 18, 20	ovmpt2d 6164	1 |- ( ph -> ( F .+ G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2920   e. cmpt 4230   dom cdm 4841   Fn wfn 5412   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Basecbs 13428   +g cplusg 13488   X__scprds 13628

This theorem is referenced by:  prdsplusgfval  13655  pwsplusgval  13671  xpsadd  13760  prdsplusgcl  14685  prdsidlem  14686  prdsmndd  14687  prdsinvlem  14885  prdscmnd  15435  prdsrngd  15677  prdslmodd  16004  prdstmdd  18110

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-fz 11004  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-hom 13512  df-cco 13513  df-prds 13630