Theorem prdsplusgval 13726

Description: Value of a componentwise sum in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsbasmpt.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsbasmpt.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbasmpt.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsbasmpt.r	|- ( ph -> R Fn I )
prdsplusgval.f	|- ( ph -> F e. B )
prdsplusgval.g	|- ( ph -> G e. B )
prdsplusgval.p	|- .+ = ( +g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
prdsplusgval	|- ( ph -> ( F .+ G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, F   x, G   ph, x   x, I   x, V   x, R   x, S   x, W   x, Y

Allowed substitution hint:   .+ ( x)

Proof of Theorem prdsplusgval

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . 3 |- Y = ( S X_s R )
2		prdsbasmpt.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
3		prdsbasmpt.r	. . . 4 |- ( ph -> R Fn I )
4		prdsbasmpt.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
5		fnex 5990	. . . 4 |- ( ( R Fn I /\ I e. W ) -> R e. _V )
6	3, 4, 5	syl2anc 644	. . 3 |- ( ph -> R e. _V )
7		prdsbasmpt.b	. . 3 |- B = ( Base ` Y )
8		fndm 5573	. . . 4 |- ( R Fn I -> dom R = I )
9	3, 8	syl 16	. . 3 |- ( ph -> dom R = I )
10		prdsplusgval.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` Y )
11	1, 2, 6, 7, 9, 10	prdsplusg 13712	. 2 |- ( ph -> .+ = ( y e. B , z e. B |-> ( x e. I |-> ( ( y ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) ) ) )
12		fveq1 5756	. . . . 5 |- ( y = F -> ( y ` x ) = ( F ` x ) )
13		fveq1 5756	. . . . 5 |- ( z = G -> ( z ` x ) = ( G ` x ) )
14	12, 13	oveqan12d 6129	. . . 4 |- ( ( y = F /\ z = G ) -> ( ( y ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) )
15	14	adantl 454	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y = F /\ z = G ) ) -> ( ( y ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) )
16	15	mpteq2dv 4321	. 2 |- ( ( ph /\ ( y = F /\ z = G ) ) -> ( x e. I |-> ( ( y ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )
17		prdsplusgval.f	. 2 |- ( ph -> F e. B )
18		prdsplusgval.g	. 2 |- ( ph -> G e. B )
19		mptexg 5994	. . 3 |- ( I e. W -> ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) e. _V )
20	4, 19	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) e. _V )
21	11, 16, 17, 18, 20	ovmpt2d 6230	1 |- ( ph -> ( F .+ G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 360   = wceq 1653   e. wcel 1727   _Vcvv 2962   e. cmpt 4291   dom cdm 4907   Fn wfn 5478   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Basecbs 13500   +g cplusg 13560   X__scprds 13700

This theorem is referenced by:  prdsplusgfval  13727  pwsplusgval  13743  xpsadd  13832  prdsplusgcl  14757  prdsidlem  14758  prdsmndd  14759  prdsinvlem  14957  prdscmnd  15507  prdsrngd  15749  prdslmodd  16076  prdstmdd  18184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-hom 13584  df-cco 13585  df-prds 13702