Theorem prdsplusgval 13372

Description: Value of a componentwise sum in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsbasmpt.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsbasmpt.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbasmpt.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsbasmpt.r	|- ( ph -> R Fn I )
prdsplusgval.f	|- ( ph -> F e. B )
prdsplusgval.g	|- ( ph -> G e. B )
prdsplusgval.p	|- .+ = ( +g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
prdsplusgval	|- ( ph -> ( F .+ G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, F   x, G   ph, x   x, I   x, V   x, R   x, S   x, W   x, Y

Allowed substitution hint:   .+ ( x)

Proof of Theorem prdsplusgval

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . 3 |- Y = ( S X_s R )
2		prdsbasmpt.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
3		prdsbasmpt.r	. . . 4 |- ( ph -> R Fn I )
4		prdsbasmpt.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
5		fnex 5741	. . . 4 |- ( ( R Fn I /\ I e. W ) -> R e. _V )
6	3, 4, 5	syl2anc 642	. . 3 |- ( ph -> R e. _V )
7		prdsbasmpt.b	. . 3 |- B = ( Base ` Y )
8		fndm 5343	. . . 4 |- ( R Fn I -> dom R = I )
9	3, 8	syl 15	. . 3 |- ( ph -> dom R = I )
10		prdsplusgval.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` Y )
11	1, 2, 6, 7, 9, 10	prdsplusg 13358	. 2 |- ( ph -> .+ = ( y e. B , z e. B |-> ( x e. I |-> ( ( y ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) ) ) )
12		fveq1 5524	. . . . 5 |- ( y = F -> ( y ` x ) = ( F ` x ) )
13		fveq1 5524	. . . . 5 |- ( z = G -> ( z ` x ) = ( G ` x ) )
14	12, 13	oveqan12d 5877	. . . 4 |- ( ( y = F /\ z = G ) -> ( ( y ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) )
15	14	adantl 452	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y = F /\ z = G ) ) -> ( ( y ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) )
16	15	mpteq2dv 4107	. 2 |- ( ( ph /\ ( y = F /\ z = G ) ) -> ( x e. I |-> ( ( y ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( z ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )
17		prdsplusgval.f	. 2 |- ( ph -> F e. B )
18		prdsplusgval.g	. 2 |- ( ph -> G e. B )
19		mptexg 5745	. . 3 |- ( I e. W -> ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) e. _V )
20	4, 19	syl 15	. 2 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) e. _V )
21	11, 16, 17, 18, 20	ovmpt2d 5975	1 |- ( ph -> ( F .+ G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( G ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358   = wceq 1623   e. wcel 1684   _Vcvv 2788   e. cmpt 4077   dom cdm 4689   Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   X__scprds 13346

This theorem is referenced by:  prdsplusgfval  13373  pwsplusgval  13389  xpsadd  13478  prdsplusgcl  14403  prdsidlem  14404  prdsmndd  14405  prdsinvlem  14603  prdscmnd  15153  prdsrngd  15395  prdslmodd  15726  prdstmdd  17806

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348