MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsplusgval Unicode version

Theorem prdsplusgval 13654
Description: Value of a componentwise sum in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbasmpt.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbasmpt.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbasmpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsbasmpt.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
prdsplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
prdsplusgval.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
Assertion
Ref Expression
prdsplusgval  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, G    ph, x    x, I    x, V    x, R    x, S    x, W    x, Y
Allowed substitution hint:    .+ ( x)

Proof of Theorem prdsplusgval
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsbasmpt.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
3 prdsbasmpt.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
4 prdsbasmpt.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 fnex 5924 . . . 4  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
63, 4, 5syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
7 prdsbasmpt.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Y
)
8 fndm 5507 . . . 4  |-  ( R  Fn  I  ->  dom  R  =  I )
93, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
10 prdsplusgval.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
111, 2, 6, 7, 9, 10prdsplusg 13640 . 2  |-  ( ph  ->  .+  =  ( y  e.  B ,  z  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( y `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( z `  x ) ) ) ) )
12 fveq1 5690 . . . . 5  |-  ( y  =  F  ->  (
y `  x )  =  ( F `  x ) )
13 fveq1 5690 . . . . 5  |-  ( z  =  G  ->  (
z `  x )  =  ( G `  x ) )
1412, 13oveqan12d 6063 . . . 4  |-  ( ( y  =  F  /\  z  =  G )  ->  ( ( y `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( z `
 x ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) ) )
1514adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  F  /\  z  =  G ) )  -> 
( ( y `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( z `
 x ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) ) )
1615mpteq2dv 4260 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  F  /\  z  =  G ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( y `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( z `
 x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) ) )
17 prdsplusgval.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
18 prdsplusgval.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
19 mptexg 5928 . . 3  |-  ( I  e.  W  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) )  e.  _V )
204, 19syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( G `
 x ) ) )  e.  _V )
2111, 16, 17, 18, 20ovmpt2d 6164 1  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2920    e. cmpt 4230   dom cdm 4841    Fn wfn 5412   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Basecbs 13428   +g cplusg 13488   X_scprds 13628
This theorem is referenced by:  prdsplusgfval  13655  pwsplusgval  13671  xpsadd  13760  prdsplusgcl  14685  prdsidlem  14686  prdsmndd  14687  prdsinvlem  14885  prdscmnd  15435  prdsrngd  15677  prdslmodd  16004  prdstmdd  18110
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-fz 11004  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-hom 13512  df-cco 13513  df-prds 13630
  Copyright terms: Public domain W3C validator