Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsrngd Structured version   Unicode version

Theorem prdsrngd 15723
 Description: A product of rings is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsrngd.y s
prdsrngd.i
prdsrngd.s
prdsrngd.r
Assertion
Ref Expression
prdsrngd

Proof of Theorem prdsrngd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsrngd.y . . 3 s
2 prdsrngd.i . . 3
3 prdsrngd.s . . 3
4 prdsrngd.r . . . 4
5 rnggrp 15674 . . . . 5
65ssriv 3354 . . . 4
7 fss 5602 . . . 4
84, 6, 7sylancl 645 . . 3
91, 2, 3, 8prdsgrpd 14932 . 2
10 eqid 2438 . . . 4 smulGrp smulGrp
11 mgpf 15680 . . . . 5 mulGrp
12 fco2 5604 . . . . 5 mulGrp mulGrp
1311, 4, 12sylancr 646 . . . 4 mulGrp
1410, 2, 3, 13prdsmndd 14733 . . 3 smulGrp
15 eqidd 2439 . . . 4 mulGrp mulGrp
16 eqid 2438 . . . . . 6 mulGrp mulGrp
17 ffn 5594 . . . . . . 7
184, 17syl 16 . . . . . 6
191, 16, 10, 2, 3, 18prdsmgp 15721 . . . . 5 mulGrp smulGrp mulGrp smulGrp
2019simpld 447 . . . 4 mulGrp smulGrp
2119simprd 451 . . . . 5 mulGrp smulGrp
2221proplem3 13921 . . . 4 mulGrp mulGrp mulGrp smulGrp
2315, 20, 22mndpropd 14726 . . 3 mulGrp smulGrp
2414, 23mpbird 225 . 2 mulGrp
254adantr 453 . . . . . . . . 9
2625ffvelrnda 5873 . . . . . . . 8
27 eqid 2438 . . . . . . . . 9
283adantr 453 . . . . . . . . . 10
2928adantr 453 . . . . . . . . 9
302adantr 453 . . . . . . . . . 10
3130adantr 453 . . . . . . . . 9
3218adantr 453 . . . . . . . . . 10
3332adantr 453 . . . . . . . . 9
34 simplr1 1000 . . . . . . . . 9
35 simpr 449 . . . . . . . . 9
361, 27, 29, 31, 33, 34, 35prdsbasprj 13699 . . . . . . . 8
37 simpr2 965 . . . . . . . . . 10
3837adantr 453 . . . . . . . . 9
391, 27, 29, 31, 33, 38, 35prdsbasprj 13699 . . . . . . . 8
40 simpr3 966 . . . . . . . . . 10
4140adantr 453 . . . . . . . . 9
421, 27, 29, 31, 33, 41, 35prdsbasprj 13699 . . . . . . . 8
43 eqid 2438 . . . . . . . . 9
44 eqid 2438 . . . . . . . . 9
45 eqid 2438 . . . . . . . . 9
4643, 44, 45rngdi 15687 . . . . . . . 8
4726, 36, 39, 42, 46syl13anc 1187 . . . . . . 7
48 eqid 2438 . . . . . . . . 9
491, 27, 29, 31, 33, 38, 41, 48, 35prdsplusgfval 13701 . . . . . . . 8
5049oveq2d 6100 . . . . . . 7
51 eqid 2438 . . . . . . . . 9
521, 27, 29, 31, 33, 34, 38, 51, 35prdsmulrfval 13703 . . . . . . . 8
531, 27, 29, 31, 33, 34, 41, 51, 35prdsmulrfval 13703 . . . . . . . 8
5452, 53oveq12d 6102 . . . . . . 7
5547, 50, 543eqtr4d 2480 . . . . . 6
5655mpteq2dva 4298 . . . . 5
57 simpr1 964 . . . . . 6
58 rngmnd 15678 . . . . . . . . . 10
5958ssriv 3354 . . . . . . . . 9
60 fss 5602 . . . . . . . . 9
614, 59, 60sylancl 645 . . . . . . . 8
6261adantr 453 . . . . . . 7
631, 27, 48, 28, 30, 62, 37, 40prdsplusgcl 14731 . . . . . 6
641, 27, 28, 30, 32, 57, 63, 51prdsmulrval 13702 . . . . 5
651, 27, 51, 28, 30, 25, 57, 37prdsmulrcl 15722 . . . . . 6
661, 27, 51, 28, 30, 25, 57, 40prdsmulrcl 15722 . . . . . 6
671, 27, 28, 30, 32, 65, 66, 48prdsplusgval 13700 . . . . 5
6856, 64, 673eqtr4d 2480 . . . 4
6943, 44, 45rngdir 15688 . . . . . . . 8
7026, 36, 39, 42, 69syl13anc 1187 . . . . . . 7
711, 27, 29, 31, 33, 34, 38, 48, 35prdsplusgfval 13701 . . . . . . . 8
7271oveq1d 6099 . . . . . . 7
731, 27, 29, 31, 33, 38, 41, 51, 35prdsmulrfval 13703 . . . . . . . 8
7453, 73oveq12d 6102 . . . . . . 7
7570, 72, 743eqtr4d 2480 . . . . . 6
7675mpteq2dva 4298 . . . . 5
771, 27, 48, 28, 30, 62, 57, 37prdsplusgcl 14731 . . . . . 6
781, 27, 28, 30, 32, 77, 40, 51prdsmulrval 13702 . . . . 5
791, 27, 51, 28, 30, 25, 37, 40prdsmulrcl 15722 . . . . . 6
801, 27, 28, 30, 32, 66, 79, 48prdsplusgval 13700 . . . . 5
8176, 78, 803eqtr4d 2480 . . . 4
8268, 81jca 520 . . 3
8382ralrimivvva 2801 . 2
8427, 16, 48, 51isrng 15673 . 2 mulGrp
859, 24, 83, 84syl3anbrc 1139 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   wss 3322   cmpt 4269   cres 4883   ccom 4885   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474   cplusg 13534  cmulr 13535  scprds 13674  cmnd 14689  cgrp 14690  mulGrpcmgp 15653  crg 15665 This theorem is referenced by:  prdscrngd  15724  pwsrng  15726 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-hom 13558  df-cco 13559  df-prds 13676  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-mgp 15654  df-rng 15668
 Copyright terms: Public domain W3C validator