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Theorem prdsrngd 15710
Description: A product of rings is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsrngd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsrngd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsrngd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsrngd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
Assertion
Ref Expression
prdsrngd  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )

Proof of Theorem prdsrngd
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsrngd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsrngd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 prdsrngd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsrngd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
5 rnggrp 15661 . . . . 5  |-  ( x  e.  Ring  ->  x  e. 
Grp )
65ssriv 3344 . . . 4  |-  Ring  C_  Grp
7 fss 5591 . . . 4  |-  ( ( R : I --> Ring  /\  Ring  C_ 
Grp )  ->  R : I --> Grp )
84, 6, 7sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
91, 2, 3, 8prdsgrpd 14919 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
10 eqid 2435 . . . 4  |-  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
)  =  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
)
11 mgpf 15667 . . . . 5  |-  (mulGrp  |`  Ring ) : Ring --> Mnd
12 fco2 5593 . . . . 5  |-  ( ( (mulGrp  |`  Ring ) : Ring --> Mnd 
/\  R : I -->
Ring )  ->  (mulGrp  o.  R ) : I --> Mnd )
1311, 4, 12sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  (mulGrp  o.  R ) : I --> Mnd )
1410, 2, 3, 13prdsmndd 14720 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
)  e.  Mnd )
15 eqidd 2436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  (mulGrp `  Y ) ) )
16 eqid 2435 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
17 ffn 5583 . . . . . . 7  |-  ( R : I --> Ring  ->  R  Fn  I )
184, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
191, 16, 10, 2, 3, 18prdsmgp 15708 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) )  /\  ( +g  `  (mulGrp `  Y
) )  =  ( +g  `  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
) ) ) )
2019simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
2119simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( +g  `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( +g  `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
2221proplem3 13908 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  /\  y  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y )
) ) )  -> 
( x ( +g  `  (mulGrp `  Y )
) y )  =  ( x ( +g  `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) y ) )
2315, 20, 22mndpropd 14713 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (mulGrp `  Y
)  e.  Mnd  <->  ( S X_s (mulGrp 
o.  R ) )  e.  Mnd ) )
2414, 23mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
254adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R :
I --> Ring )
2625ffvelrnda 5862 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  ( R `  w )  e.  Ring )
27 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
283adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  S  e.  V )
2928adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  S  e.  V )
302adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  I  e.  W )
3130adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  I  e.  W )
3218adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R  Fn  I )
3332adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  R  Fn  I )
34 simplr1 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  x  e.  ( Base `  Y
) )
35 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  w  e.  I )
361, 27, 29, 31, 33, 34, 35prdsbasprj 13686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
x `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
) )
37 simpr2 964 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  Y )
)
3837adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  y  e.  ( Base `  Y
) )
391, 27, 29, 31, 33, 38, 35prdsbasprj 13686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
y `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
) )
40 simpr3 965 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  Y )
)
4140adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  z  e.  ( Base `  Y
) )
421, 27, 29, 31, 33, 41, 35prdsbasprj 13686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
z `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
) )
43 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( R `  w
) )  =  (
Base `  ( R `  w ) )
44 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  ( R `  w
) )  =  ( +g  `  ( R `
 w ) )
45 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  ( R `  w ) )  =  ( .r `  ( R `  w )
)
4643, 44, 45rngdi 15674 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  w
)  e.  Ring  /\  (
( x `  w
)  e.  ( Base `  ( R `  w
) )  /\  (
y `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
)  /\  ( z `  w )  e.  (
Base `  ( R `  w ) ) ) )  ->  ( (
x `  w )
( .r `  ( R `  w )
) ( ( y `
 w ) ( +g  `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
4726, 36, 39, 42, 46syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( ( y `
 w ) ( +g  `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
48 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
491, 27, 29, 31, 33, 38, 41, 48, 35prdsplusgfval 13688 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( y ( +g  `  Y ) z ) `
 w )  =  ( ( y `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( z `
 w ) ) )
5049oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  w ) )  =  ( ( x `  w ) ( .r
`  ( R `  w ) ) ( ( y `  w
) ( +g  `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
51 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
521, 27, 29, 31, 33, 34, 38, 51, 35prdsmulrfval 13690 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) y ) `  w )  =  ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) )
531, 27, 29, 31, 33, 34, 41, 51, 35prdsmulrfval 13690 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) z ) `  w )  =  ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )
5452, 53oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x ( .r `  Y ) y ) `  w
) ( +g  `  ( R `  w )
) ( ( x ( .r `  Y
) z ) `  w ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
5547, 50, 543eqtr4d 2477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  w ) )  =  ( ( ( x ( .r `  Y
) y ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) )
5655mpteq2dva 4287 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( w  e.  I  |->  ( ( x `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( .r `  Y ) y ) `
 w ) ( +g  `  ( R `
 w ) ) ( ( x ( .r `  Y ) z ) `  w
) ) ) )
57 simpr1 963 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  Y )
)
58 rngmnd 15665 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Ring  ->  x  e. 
Mnd )
5958ssriv 3344 . . . . . . . . 9  |-  Ring  C_  Mnd
60 fss 5591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R : I --> Ring  /\  Ring  C_ 
Mnd )  ->  R : I --> Mnd )
614, 59, 60sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
6261adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R :
I --> Mnd )
631, 27, 48, 28, 30, 62, 37, 40prdsplusgcl 14718 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y
( +g  `  Y ) z )  e.  (
Base `  Y )
)
641, 27, 28, 30, 32, 57, 63, 51prdsmulrval 13689 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( .r `  Y
) ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( x `  w ) ( .r
`  ( R `  w ) ) ( ( y ( +g  `  Y ) z ) `
 w ) ) ) )
651, 27, 51, 28, 30, 25, 57, 37prdsmulrcl 15709 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( .r `  Y
) y )  e.  ( Base `  Y
) )
661, 27, 51, 28, 30, 25, 57, 40prdsmulrcl 15709 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( .r `  Y
) z )  e.  ( Base `  Y
) )
671, 27, 28, 30, 32, 65, 66, 48prdsplusgval 13687 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  Y ) y ) ( +g  `  Y
) ( x ( .r `  Y ) z ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( .r `  Y
) y ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) ) )
6856, 64, 673eqtr4d 2477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( .r `  Y
) ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( x ( .r `  Y ) y ) ( +g  `  Y ) ( x ( .r `  Y
) z ) ) )
6943, 44, 45rngdir 15675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  w
)  e.  Ring  /\  (
( x `  w
)  e.  ( Base `  ( R `  w
) )  /\  (
y `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
)  /\  ( z `  w )  e.  (
Base `  ( R `  w ) ) ) )  ->  ( (
( x `  w
) ( +g  `  ( R `  w )
) ( y `  w ) ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) )  =  ( ( ( x `  w ) ( .r
`  ( R `  w ) ) ( z `  w ) ) ( +g  `  ( R `  w )
) ( ( y `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) ) )
7026, 36, 39, 42, 69syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( y `
 w ) ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
711, 27, 29, 31, 33, 34, 38, 48, 35prdsplusgfval 13688 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x ( +g  `  Y ) y ) `
 w )  =  ( ( x `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( y `
 w ) ) )
7271oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x ( +g  `  Y ) y ) `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( z `  w ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( +g  `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) ( .r
`  ( R `  w ) ) ( z `  w ) ) )
731, 27, 29, 31, 33, 38, 41, 51, 35prdsmulrfval 13690 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( y ( .r
`  Y ) z ) `  w )  =  ( ( y `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )
7453, 73oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x ( .r `  Y ) z ) `  w
) ( +g  `  ( R `  w )
) ( ( y ( .r `  Y
) z ) `  w ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
7570, 72, 743eqtr4d 2477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x ( +g  `  Y ) y ) `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( z `  w ) )  =  ( ( ( x ( .r `  Y
) z ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) )
7675mpteq2dva 4287 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( +g  `  Y ) y ) `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( .r `  Y
) z ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) ) )
771, 27, 48, 28, 30, 62, 57, 37prdsplusgcl 14718 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( +g  `  Y ) y )  e.  (
Base `  Y )
)
781, 27, 28, 30, 32, 77, 40, 51prdsmulrval 13689 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  Y
) y ) ( .r `  Y ) z )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( +g  `  Y ) y ) `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( z `  w ) ) ) )
791, 27, 51, 28, 30, 25, 37, 40prdsmulrcl 15709 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y
( .r `  Y
) z )  e.  ( Base `  Y
) )
801, 27, 28, 30, 32, 66, 79, 48prdsplusgval 13687 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  Y ) z ) ( +g  `  Y
) ( y ( .r `  Y ) z ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( .r `  Y
) z ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) ) )
8176, 78, 803eqtr4d 2477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  Y
) y ) ( .r `  Y ) z )  =  ( ( x ( .r
`  Y ) z ) ( +g  `  Y
) ( y ( .r `  Y ) z ) ) )
8268, 81jca 519 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  Y ) ( y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  Y
) y ) ( +g  `  Y ) ( x ( .r
`  Y ) z ) )  /\  (
( x ( +g  `  Y ) y ) ( .r `  Y
) z )  =  ( ( x ( .r `  Y ) z ) ( +g  `  Y ) ( y ( .r `  Y
) z ) ) ) )
8382ralrimivvva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  Y ) A. y  e.  ( Base `  Y ) A. z  e.  ( Base `  Y ) ( ( x ( .r `  Y ) ( y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  Y
) y ) ( +g  `  Y ) ( x ( .r
`  Y ) z ) )  /\  (
( x ( +g  `  Y ) y ) ( .r `  Y
) z )  =  ( ( x ( .r `  Y ) z ) ( +g  `  Y ) ( y ( .r `  Y
) z ) ) ) )
8427, 16, 48, 51isrng 15660 . 2  |-  ( Y  e.  Ring  <->  ( Y  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  Y
)  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  Y ) A. y  e.  ( Base `  Y
) A. z  e.  ( Base `  Y
) ( ( x ( .r `  Y
) ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( x ( .r `  Y ) y ) ( +g  `  Y ) ( x ( .r `  Y
) z ) )  /\  ( ( x ( +g  `  Y
) y ) ( .r `  Y ) z )  =  ( ( x ( .r
`  Y ) z ) ( +g  `  Y
) ( y ( .r `  Y ) z ) ) ) ) )
859, 24, 83, 84syl3anbrc 1138 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312    e. cmpt 4258    |` cres 4872    o. ccom 4874    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522   X_scprds 13661   Mndcmnd 14676   Grpcgrp 14677  mulGrpcmgp 15640   Ringcrg 15652
This theorem is referenced by:  prdscrngd  15711  pwsrng  15713
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mgp 15641  df-rng 15655
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