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Theorem prdssca 13680
Description: Scalar ring of a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p  |-  P  =  ( S X_s R )
prdsbas.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbas.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
Assertion
Ref Expression
prdssca  |-  ( ph  ->  S  =  (Scalar `  P ) )

Proof of Theorem prdssca
Dummy variables  a 
c  d  e  f  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . . 4  |-  P  =  ( S X_s R )
2 eqid 2437 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqidd 2438 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  R  =  dom  R )
4 eqidd 2438 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  =  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) )
5 eqidd 2438 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
6 eqidd 2438 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
7 eqidd 2438 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
8 eqidd 2438 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
9 eqidd 2438 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  /\  A. x  e.  dom  R ( f `
 x ) ( le `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) }  =  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  /\  A. x  e.  dom  R ( f `
 x ) ( le `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) } )
10 eqidd 2438 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  sup (
( ran  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
11 eqidd 2438 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  =  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) )
12 eqidd 2438 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( a  e.  (
X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  X.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ) ,  c  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) `  a ) 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )  =  ( a  e.  ( X_ x  e. 
dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  X.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ) ,  c  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) `  a ) 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) )
13 prdsbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
14 prdsbas.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14prdsval 13679 . . 3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  X_ x  e. 
dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  /\  A. x  e.  dom  R ( f `
 x ) ( le `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) } >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )
>. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( a  e.  ( X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  X.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ) ,  c  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) `  a ) 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) ) )
16 eqid 2437 . . 3  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
17 scaid 13591 . . 3  |- Scalar  = Slot  (Scalar ` 
ndx )
18 elex 2965 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
1913, 18syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
20 snsspr1 3948 . . . . 5  |-  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. }  C_  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }
21 ssun2 3512 . . . . 5  |-  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  X_ x  e. 
dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. } )
2220, 21sstri 3358 . . . 4  |-  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  X_ x  e. 
dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. } )
23 ssun1 3511 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  X_ x  e. 
dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. } )  C_  ( ( { <. (
Base `  ndx ) , 
X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  /\  A. x  e.  dom  R ( f `
 x ) ( le `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) } >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )
>. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( a  e.  ( X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  X.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ) ,  c  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) `  a ) 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )
2422, 23sstri 3358 . . 3  |-  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. }  C_  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  X_ x  e. 
dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  /\  A. x  e.  dom  R ( f `
 x ) ( le `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) } >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )
>. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( a  e.  ( X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  X.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
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) )  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
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>. } ) )
2515, 16, 17, 19, 24prdsvallem 13678 . 2  |-  ( ph  ->  (Scalar `  P )  =  S )
2625eqcomd 2442 1  |-  ( ph  ->  S  =  (Scalar `  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   _Vcvv 2957    u. cun 3319    C_ wss 3321   {csn 3815   {cpr 3816   {ctp 3817   <.cop 3818   class class class wbr 4213   {copab 4266    e. cmpt 4267    X. cxp 4877   dom cdm 4879   ran crn 4880    o. ccom 4883   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    e. cmpt2 6084   1stc1st 6348   2ndc2nd 6349   X_cixp 7064   supcsup 7446   0cc0 8991   RR*cxr 9120    < clt 9121   ndxcnx 13467   Basecbs 13470   +g cplusg 13530   .rcmulr 13531  Scalarcsca 13533   .scvsca 13534  TopSetcts 13536   lecple 13537   distcds 13539    Hom chom 13541  compcco 13542   TopOpenctopn 13650   Xt_cpt 13667   X_scprds 13670
This theorem is referenced by:  pwssca  13719  xpssca  13804  xpsvsca  13805  prdslmodd  16046  dsmmlss  27188
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-hom 13554  df-cco 13555  df-prds 13672
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