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Theorem prdstgpd 18146
Description: The product of a family of topological groups is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstgpd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdstgpd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdstgpd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdstgpd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> TopGrp )
Assertion
Ref Expression
prdstgpd  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopGrp )

Proof of Theorem prdstgpd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstgpd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdstgpd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 prdstgpd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdstgpd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> TopGrp )
5 tgpgrp 18100 . . . . 5  |-  ( x  e.  TopGrp  ->  x  e.  Grp )
65ssriv 3344 . . . 4  |-  TopGrp  C_  Grp
7 fss 5591 . . . 4  |-  ( ( R : I --> TopGrp  /\  TopGrp  C_  Grp )  ->  R :
I --> Grp )
84, 6, 7sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
91, 2, 3, 8prdsgrpd 14919 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
10 tgptmd 18101 . . . . 5  |-  ( x  e.  TopGrp  ->  x  e. TopMnd )
1110ssriv 3344 . . . 4  |-  TopGrp  C_ TopMnd
12 fss 5591 . . . 4  |-  ( ( R : I --> TopGrp  /\  TopGrp  C_ TopMnd )  ->  R : I -->TopMnd )
134, 11, 12sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I -->TopMnd )
141, 2, 3, 13prdstmdd 18145 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e. TopMnd )
15 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
16 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  Y )  =  ( inv g `  Y )
1715, 16grpinvf 14841 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Grp  ->  ( inv g `  Y ) : ( Base `  Y
) --> ( Base `  Y
) )
189, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( inv g `  Y ) : (
Base `  Y ) --> ( Base `  Y )
)
1918feqmptd 5771 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( inv g `  Y )  =  ( x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( ( inv g `  Y
) `  x )
) )
202adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  I  e.  W )
213adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  S  e.  V )
228adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  R :
I --> Grp )
23 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  x  e.  ( Base `  Y )
)
241, 20, 21, 22, 15, 16, 23prdsinvgd 14920 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 x )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  y
) ) `  (
x `  y )
) ) )
2524mpteq2dva 4287 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  Y )  |->  ( ( inv g `  Y ) `  x
) )  =  ( x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( y  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) ) ) )
2619, 25eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( inv g `  Y )  =  ( x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( y  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) ) ) )
27 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)
28 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  Y )  =  (
TopOpen `  Y )
2928, 15tmdtopon 18103 . . . . . 6  |-  ( Y  e. TopMnd  ->  ( TopOpen `  Y
)  e.  (TopOn `  ( Base `  Y )
) )
3014, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )
31 topnfn 13645 . . . . . . 7  |-  TopOpen  Fn  _V
32 ffn 5583 . . . . . . . . 9  |-  ( R : I --> TopGrp  ->  R  Fn  I )
334, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
34 dffn2 5584 . . . . . . . 8  |-  ( R  Fn  I  <->  R :
I --> _V )
3533, 34sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R : I --> _V )
36 fnfco 5601 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  R : I --> _V )  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
3731, 35, 36sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
38 fvco3 5792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R : I --> TopGrp  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) ) )
394, 38sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) ) )
404ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  TopGrp )
41 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen `  ( R `  y ) )  =  ( TopOpen `  ( R `  y ) )
42 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
4341, 42tgptopon 18104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R `  y )  e.  TopGrp  ->  ( TopOpen `  ( R `  y )
)  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  y ) ) ) )
44 topontop 16983 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TopOpen `  ( R `  y ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  y
) ) )  -> 
( TopOpen `  ( R `  y ) )  e. 
Top )
4540, 43, 443syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  ( R `  y ) )  e. 
Top )
4639, 45eqeltrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  e.  Top )
4746ralrimiva 2781 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  I 
( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  e.  Top )
48 ffnfv 5886 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen  o.  R ) : I --> Top  <->  ( ( TopOpen  o.  R )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  e.  Top ) )
4937, 47, 48sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
5030adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )
511, 3, 2, 33, 28prdstopn 17652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
5251adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
5352eqcomd 2440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  (
TopOpen `  Y ) )
5453, 50eqeltrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y
) ) )
55 toponuni 16984 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y
) )  ->  ( Base `  Y )  = 
U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
56 mpteq1 4281 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Base `  Y )  =  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  Y
)  |->  ( x `  y ) )  =  ( x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  |->  ( x `  y ) ) )
5754, 55, 563syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 y ) )  =  ( x  e. 
U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
|->  ( x `  y
) ) )
582adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  W )
5949adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
60 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
61 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )
6261, 27ptpjcn 17635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top  /\  y  e.  I )  ->  ( x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  |->  ( x `  y ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  Cn  (
( TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
6358, 59, 60, 62syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  |->  ( x `
 y ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  Cn  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
6457, 63eqeltrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 y ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  Cn  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
6553, 39oveq12d 6091 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  Cn  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  =  ( (
TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
6664, 65eleqtrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 y ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen
`  ( R `  y ) ) ) )
67 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( inv g `  ( R `
 y ) )  =  ( inv g `  ( R `  y
) )
6841, 67tgpinv 18107 . . . . . . . 8  |-  ( ( R `  y )  e.  TopGrp  ->  ( inv g `  ( R `  y
) )  e.  ( ( TopOpen `  ( R `  y ) )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
6940, 68syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( inv g `  ( R `
 y ) )  e.  ( ( TopOpen `  ( R `  y ) )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
7050, 66, 69cnmpt11f 17688 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( ( inv g `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen
`  ( R `  y ) ) ) )
7139oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen `  Y )  Cn  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  =  ( (
TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
7270, 71eleqtrrd 2512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( ( inv g `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  (
( TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
7327, 30, 2, 49, 72ptcn 17651 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  Y )  |->  ( y  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  y
) ) `  (
x `  y )
) ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y
)  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) ) )
7426, 73eqeltrd 2509 . . 3  |-  ( ph  ->  ( inv g `  Y )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) ) )
7551oveq2d 6089 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen `  Y
)  Cn  ( TopOpen `  Y ) )  =  ( ( TopOpen `  Y
)  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) ) )
7674, 75eleqtrrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  ( inv g `  Y )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen `  Y )
) )
7728, 16istgp 18099 . 2  |-  ( Y  e.  TopGrp 
<->  ( Y  e.  Grp  /\  Y  e. TopMnd  /\  ( inv g `  Y )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen
`  Y ) ) ) )
789, 14, 76, 77syl3anbrc 1138 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   U.cuni 4007    e. cmpt 4258    o. ccom 4874    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   TopOpenctopn 13641   Xt_cpt 13658   X_scprds 13661   Grpcgrp 14677   inv gcminusg 14678   Topctop 16950  TopOnctopon 16951    Cn ccn 17280  TopMndctmd 18092   TopGrpctgp 18093
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-plusf 14683  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-tx 17586  df-tmd 18094  df-tgp 18095
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