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Theorem prdstgpd 17823
Description: The product of a family of topological groups is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstgpd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdstgpd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdstgpd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdstgpd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> TopGrp )
Assertion
Ref Expression
prdstgpd  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopGrp )

Proof of Theorem prdstgpd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstgpd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdstgpd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 prdstgpd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdstgpd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> TopGrp )
5 tgpgrp 17777 . . . . 5  |-  ( x  e.  TopGrp  ->  x  e.  Grp )
65ssriv 3197 . . . 4  |-  TopGrp  C_  Grp
7 fss 5413 . . . 4  |-  ( ( R : I --> TopGrp  /\  TopGrp  C_  Grp )  ->  R :
I --> Grp )
84, 6, 7sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
91, 2, 3, 8prdsgrpd 14620 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
10 tgptmd 17778 . . . . 5  |-  ( x  e.  TopGrp  ->  x  e. TopMnd )
1110ssriv 3197 . . . 4  |-  TopGrp  C_ TopMnd
12 fss 5413 . . . 4  |-  ( ( R : I --> TopGrp  /\  TopGrp  C_ TopMnd )  ->  R : I -->TopMnd )
134, 11, 12sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I -->TopMnd )
141, 2, 3, 13prdstmdd 17822 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e. TopMnd )
15 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
16 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  Y )  =  ( inv g `  Y )
1715, 16grpinvf 14542 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Grp  ->  ( inv g `  Y ) : ( Base `  Y
) --> ( Base `  Y
) )
189, 17syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( inv g `  Y ) : (
Base `  Y ) --> ( Base `  Y )
)
1918feqmptd 5591 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( inv g `  Y )  =  ( x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( ( inv g `  Y
) `  x )
) )
202adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  I  e.  W )
213adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  S  e.  V )
228adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  R :
I --> Grp )
23 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  x  e.  ( Base `  Y )
)
241, 20, 21, 22, 15, 16, 23prdsinvgd 14621 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 x )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  y
) ) `  (
x `  y )
) ) )
2524mpteq2dva 4122 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  Y )  |->  ( ( inv g `  Y ) `  x
) )  =  ( x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( y  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) ) ) )
2619, 25eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( inv g `  Y )  =  ( x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( y  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) ) ) )
27 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)
28 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  Y )  =  (
TopOpen `  Y )
2928, 15tmdtopon 17780 . . . . . 6  |-  ( Y  e. TopMnd  ->  ( TopOpen `  Y
)  e.  (TopOn `  ( Base `  Y )
) )
3014, 29syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )
31 topnfn 13346 . . . . . . 7  |-  TopOpen  Fn  _V
32 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( R : I --> TopGrp  ->  R  Fn  I )
334, 32syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
34 dffn2 5406 . . . . . . . 8  |-  ( R  Fn  I  <->  R :
I --> _V )
3533, 34sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R : I --> _V )
36 fnfco 5423 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  R : I --> _V )  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
3731, 35, 36sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
38 fvco3 5612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R : I --> TopGrp  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) ) )
394, 38sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) ) )
40 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R : I --> TopGrp  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  TopGrp )
414, 40sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  TopGrp )
42 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen `  ( R `  y ) )  =  ( TopOpen `  ( R `  y ) )
43 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
4442, 43tgptopon 17781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R `  y )  e.  TopGrp  ->  ( TopOpen `  ( R `  y )
)  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  y ) ) ) )
45 topontop 16680 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TopOpen `  ( R `  y ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  y
) ) )  -> 
( TopOpen `  ( R `  y ) )  e. 
Top )
4641, 44, 453syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  ( R `  y ) )  e. 
Top )
4739, 46eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  e.  Top )
4847ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  I 
( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  e.  Top )
49 ffnfv 5701 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen  o.  R ) : I --> Top  <->  ( ( TopOpen  o.  R )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  e.  Top ) )
5037, 48, 49sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
5130adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )
521, 3, 2, 33, 28prdstopn 17338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
5352adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
5453eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  (
TopOpen `  Y ) )
5554, 51eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y
) ) )
56 toponuni 16681 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y
) )  ->  ( Base `  Y )  = 
U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
57 mpteq1 4116 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Base `  Y )  =  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  Y
)  |->  ( x `  y ) )  =  ( x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  |->  ( x `  y ) ) )
5855, 56, 573syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 y ) )  =  ( x  e. 
U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
|->  ( x `  y
) ) )
592adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  W )
6050adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
61 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
62 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )
6362, 27ptpjcn 17321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top  /\  y  e.  I )  ->  ( x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  |->  ( x `  y ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  Cn  (
( TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
6459, 60, 61, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  |->  ( x `
 y ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  Cn  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
6558, 64eqeltrd 2370 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 y ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  Cn  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
6654, 39oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  Cn  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  =  ( (
TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
6765, 66eleqtrd 2372 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 y ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen
`  ( R `  y ) ) ) )
68 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( inv g `  ( R `
 y ) )  =  ( inv g `  ( R `  y
) )
6942, 68tgpinv 17784 . . . . . . . 8  |-  ( ( R `  y )  e.  TopGrp  ->  ( inv g `  ( R `  y
) )  e.  ( ( TopOpen `  ( R `  y ) )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
7041, 69syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( inv g `  ( R `
 y ) )  e.  ( ( TopOpen `  ( R `  y ) )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
7151, 67, 70cnmpt11f 17374 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( ( inv g `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen
`  ( R `  y ) ) ) )
7239oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen `  Y )  Cn  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  =  ( (
TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
7371, 72eleqtrrd 2373 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( ( inv g `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  (
( TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
7427, 30, 2, 50, 73ptcn 17337 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  Y )  |->  ( y  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  y
) ) `  (
x `  y )
) ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y
)  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) ) )
7526, 74eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ph  ->  ( inv g `  Y )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) ) )
7652oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen `  Y
)  Cn  ( TopOpen `  Y ) )  =  ( ( TopOpen `  Y
)  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) ) )
7775, 76eleqtrrd 2373 . 2  |-  ( ph  ->  ( inv g `  Y )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen `  Y )
) )
7828, 16istgp 17776 . 2  |-  ( Y  e.  TopGrp 
<->  ( Y  e.  Grp  /\  Y  e. TopMnd  /\  ( inv g `  Y )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen
`  Y ) ) ) )
799, 14, 77, 78syl3anbrc 1136 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   U.cuni 3843    e. cmpt 4093    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   TopOpenctopn 13342   Xt_cpt 13359   X_scprds 13362   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970  TopMndctmd 17769   TopGrpctgp 17770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-tmd 17771  df-tgp 17772
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