Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstgpd Unicode version

Theorem prdstgpd 17823
 Description: The product of a family of topological groups is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstgpd.y s
prdstgpd.i
prdstgpd.s
prdstgpd.r
Assertion
Ref Expression
prdstgpd

Proof of Theorem prdstgpd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstgpd.y . . 3 s
2 prdstgpd.i . . 3
3 prdstgpd.s . . 3
4 prdstgpd.r . . . 4
5 tgpgrp 17777 . . . . 5
65ssriv 3197 . . . 4
7 fss 5413 . . . 4
84, 6, 7sylancl 643 . . 3
91, 2, 3, 8prdsgrpd 14620 . 2
10 tgptmd 17778 . . . . 5 TopMnd
1110ssriv 3197 . . . 4 TopMnd
12 fss 5413 . . . 4 TopMnd TopMnd
134, 11, 12sylancl 643 . . 3 TopMnd
141, 2, 3, 13prdstmdd 17822 . 2 TopMnd
15 eqid 2296 . . . . . . . 8
16 eqid 2296 . . . . . . . 8
1715, 16grpinvf 14542 . . . . . . 7
189, 17syl 15 . . . . . 6
1918feqmptd 5591 . . . . 5
202adantr 451 . . . . . . 7
213adantr 451 . . . . . . 7
228adantr 451 . . . . . . 7
23 simpr 447 . . . . . . 7
241, 20, 21, 22, 15, 16, 23prdsinvgd 14621 . . . . . 6
2524mpteq2dva 4122 . . . . 5
2619, 25eqtrd 2328 . . . 4
27 eqid 2296 . . . . 5
28 eqid 2296 . . . . . . 7
2928, 15tmdtopon 17780 . . . . . 6 TopMnd TopOn
3014, 29syl 15 . . . . 5 TopOn
31 topnfn 13346 . . . . . . 7
32 ffn 5405 . . . . . . . . 9
334, 32syl 15 . . . . . . . 8
34 dffn2 5406 . . . . . . . 8
3533, 34sylib 188 . . . . . . 7
36 fnfco 5423 . . . . . . 7
3731, 35, 36sylancr 644 . . . . . 6
38 fvco3 5612 . . . . . . . . 9
394, 38sylan 457 . . . . . . . 8
40 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10
414, 40sylan 457 . . . . . . . . 9
42 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
43 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
4442, 43tgptopon 17781 . . . . . . . . 9 TopOn
45 topontop 16680 . . . . . . . . 9 TopOn
4641, 44, 453syl 18 . . . . . . . 8
4739, 46eqeltrd 2370 . . . . . . 7
4847ralrimiva 2639 . . . . . 6
49 ffnfv 5701 . . . . . 6
5037, 48, 49sylanbrc 645 . . . . 5
5130adantr 451 . . . . . . 7 TopOn
521, 3, 2, 33, 28prdstopn 17338 . . . . . . . . . . . . 13
5352adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
5453eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11
5554, 51eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10 TopOn
56 toponuni 16681 . . . . . . . . . 10 TopOn
57 mpteq1 4116 . . . . . . . . . 10
5855, 56, 573syl 18 . . . . . . . . 9
592adantr 451 . . . . . . . . . 10
6050adantr 451 . . . . . . . . . 10
61 simpr 447 . . . . . . . . . 10
62 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
6362, 27ptpjcn 17321 . . . . . . . . . 10
6459, 60, 61, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
6558, 64eqeltrd 2370 . . . . . . . 8
6654, 39oveq12d 5892 . . . . . . . 8
6765, 66eleqtrd 2372 . . . . . . 7
68 eqid 2296 . . . . . . . . 9
6942, 68tgpinv 17784 . . . . . . . 8
7041, 69syl 15 . . . . . . 7
7151, 67, 70cnmpt11f 17374 . . . . . 6
7239oveq2d 5890 . . . . . 6
7371, 72eleqtrrd 2373 . . . . 5
7427, 30, 2, 50, 73ptcn 17337 . . . 4
7526, 74eqeltrd 2370 . . 3
7652oveq2d 5890 . . 3
7775, 76eleqtrrd 2373 . 2
7828, 16istgp 17776 . 2 TopMnd
799, 14, 77, 78syl3anbrc 1136 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  cvv 2801   wss 3165  cuni 3843   cmpt 4093   ccom 4709   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164  ctopn 13342  cpt 13359  scprds 13362  cgrp 14378  cminusg 14379  ctop 16647  TopOnctopon 16648   ccn 16970  TopMndctmd 17769  ctgp 17770 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-tmd 17771  df-tgp 17772
 Copyright terms: Public domain W3C validator