Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstmdd Structured version   Unicode version

Theorem prdstmdd 18155
 Description: The product of a family of topological monoids is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstmdd.y s
prdstmdd.i
prdstmdd.s
prdstmdd.r TopMnd
Assertion
Ref Expression
prdstmdd TopMnd

Proof of Theorem prdstmdd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstmdd.y . . 3 s
2 prdstmdd.i . . 3
3 prdstmdd.s . . 3
4 prdstmdd.r . . . 4 TopMnd
5 tmdmnd 18107 . . . . 5 TopMnd
65ssriv 3354 . . . 4 TopMnd
7 fss 5601 . . . 4 TopMnd TopMnd
84, 6, 7sylancl 645 . . 3
91, 2, 3, 8prdsmndd 14730 . 2
10 tmdtps 18108 . . . . 5 TopMnd
1110ssriv 3354 . . . 4 TopMnd
12 fss 5601 . . . 4 TopMnd TopMnd
134, 11, 12sylancl 645 . . 3
141, 3, 2, 13prdstps 17663 . 2
15 eqid 2438 . . . . . . 7
1633ad2ant1 979 . . . . . . 7
1723ad2ant1 979 . . . . . . 7
18 ffn 5593 . . . . . . . . 9 TopMnd
194, 18syl 16 . . . . . . . 8
20193ad2ant1 979 . . . . . . 7
21 simp2 959 . . . . . . 7
22 simp3 960 . . . . . . 7
23 eqid 2438 . . . . . . 7
241, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 23prdsplusgval 13697 . . . . . 6
2524mpt2eq3dva 6140 . . . . 5
26 eqid 2438 . . . . . 6
2715, 23, 26plusffval 14704 . . . . 5
28 vex 2961 . . . . . . . . . 10
29 vex 2961 . . . . . . . . . 10
3028, 29op1std 6359 . . . . . . . . 9
3130fveq1d 5732 . . . . . . . 8
3228, 29op2ndd 6360 . . . . . . . . 9
3332fveq1d 5732 . . . . . . . 8
3431, 33oveq12d 6101 . . . . . . 7
3534mpteq2dv 4298 . . . . . 6
3635mpt2mpt 6167 . . . . 5
3725, 27, 363eqtr4g 2495 . . . 4
38 eqid 2438 . . . . 5
39 eqid 2438 . . . . . . . 8
4015, 39istps 17003 . . . . . . 7 TopOn
4114, 40sylib 190 . . . . . 6 TopOn
42 txtopon 17625 . . . . . 6 TopOn TopOn TopOn
4341, 41, 42syl2anc 644 . . . . 5 TopOn
44 topnfn 13655 . . . . . . . 8
45 ssv 3370 . . . . . . . 8
46 fnssres 5560 . . . . . . . 8
4744, 45, 46mp2an 655 . . . . . . 7
48 fvres 5747 . . . . . . . . 9
49 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
5049tpstop 17006 . . . . . . . . 9
5148, 50eqeltrd 2512 . . . . . . . 8
5251rgen 2773 . . . . . . 7
53 ffnfv 5896 . . . . . . 7
5447, 52, 53mpbir2an 888 . . . . . 6
55 fco2 5603 . . . . . 6
5654, 13, 55sylancr 646 . . . . 5
5734mpt2mpt 6167 . . . . . 6
58 eqid 2438 . . . . . . . 8
59 eqid 2438 . . . . . . . 8
604ffvelrnda 5872 . . . . . . . 8 TopMnd
6141adantr 453 . . . . . . . 8 TopOn
6261, 61cnmpt1st 17702 . . . . . . . . 9
631, 3, 2, 19, 39prdstopn 17662 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
6564, 61eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
66 toponuni 16994 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . 12
6867mpteq1d 4292 . . . . . . . . . . 11
692adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
7056adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
71 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12
72 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13
7372, 38ptpjcn 17645 . . . . . . . . . . . 12
7469, 70, 71, 73syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11
7568, 74eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10
7664eqcomd 2443 . . . . . . . . . . 11
77 fvco3 5802 . . . . . . . . . . . 12 TopMnd
784, 77sylan 459 . . . . . . . . . . 11
7976, 78oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10
8075, 79eleqtrd 2514 . . . . . . . . 9
81 fveq1 5729 . . . . . . . . 9
8261, 61, 62, 61, 80, 81cnmpt21 17705 . . . . . . . 8
8361, 61cnmpt2nd 17703 . . . . . . . . 9
84 fveq1 5729 . . . . . . . . 9
8561, 61, 83, 61, 80, 84cnmpt21 17705 . . . . . . . 8
8658, 59, 60, 61, 61, 82, 85cnmpt2plusg 18120 . . . . . . 7
8778oveq2d 6099 . . . . . . 7
8886, 87eleqtrrd 2515 . . . . . 6
8957, 88syl5eqel 2522 . . . . 5
9038, 43, 2, 56, 89ptcn 17661 . . . 4
9137, 90eqeltrd 2512 . . 3
9263oveq2d 6099 . . 3
9391, 92eleqtrrd 2515 . 2
9426, 39istmd 18106 . 2 TopMnd
959, 14, 93, 94syl3anbrc 1139 1 TopMnd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958   wss 3322  cop 3819  cuni 4017   cmpt 4268   cxp 4878   cres 4882   ccom 4884   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  c1st 6349  c2nd 6350  cbs 13471   cplusg 13531  ctopn 13651  cpt 13668  scprds 13671  cmnd 14686  cplusf 14689  ctop 16960  TopOnctopon 16961  ctps 16963   ccn 17290   ctx 17594  TopMndctmd 18102 This theorem is referenced by:  prdstgpd  18156 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-plusf 14693  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-tmd 18104
 Copyright terms: Public domain W3C validator