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Theorem prdstmdd 17806
Description: The product of a family of topological monoids is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstmdd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdstmdd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdstmdd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdstmdd.r  |-  ( ph  ->  R : I -->TopMnd )
Assertion
Ref Expression
prdstmdd  |-  ( ph  ->  Y  e. TopMnd )

Proof of Theorem prdstmdd
Dummy variables  f 
g  k  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstmdd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdstmdd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 prdstmdd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdstmdd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I -->TopMnd )
5 tmdmnd 17758 . . . . 5  |-  ( x  e. TopMnd  ->  x  e.  Mnd )
65ssriv 3184 . . . 4  |- TopMnd  C_  Mnd
7 fss 5397 . . . 4  |-  ( ( R : I -->TopMnd  /\ TopMnd  C_  Mnd )  ->  R : I --> Mnd )
84, 6, 7sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
91, 2, 3, 8prdsmndd 14405 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
10 tmdtps 17759 . . . . 5  |-  ( x  e. TopMnd  ->  x  e.  TopSp )
1110ssriv 3184 . . . 4  |- TopMnd  C_  TopSp
12 fss 5397 . . . 4  |-  ( ( R : I -->TopMnd  /\ TopMnd  C_  TopSp )  ->  R : I --> TopSp )
134, 11, 12sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> TopSp )
141, 3, 2, 13prdstps 17323 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopSp )
15 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
1633ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( Base `  Y )  /\  g  e.  ( Base `  Y ) )  ->  S  e.  V
)
1723ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( Base `  Y )  /\  g  e.  ( Base `  Y ) )  ->  I  e.  W
)
18 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( R : I -->TopMnd  ->  R  Fn  I )
194, 18syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
20193ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( Base `  Y )  /\  g  e.  ( Base `  Y ) )  ->  R  Fn  I
)
21 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( Base `  Y )  /\  g  e.  ( Base `  Y ) )  ->  f  e.  (
Base `  Y )
)
22 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( Base `  Y )  /\  g  e.  ( Base `  Y ) )  ->  g  e.  (
Base `  Y )
)
23 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
241, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 23prdsplusgval 13372 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( Base `  Y )  /\  g  e.  ( Base `  Y ) )  ->  ( f ( +g  `  Y ) g )  =  ( k  e.  I  |->  ( ( f `  k
) ( +g  `  ( R `  k )
) ( g `  k ) ) ) )
2524mpt2eq3dva 5912 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f  e.  (
Base `  Y ) ,  g  e.  ( Base `  Y )  |->  ( f ( +g  `  Y
) g ) )  =  ( f  e.  ( Base `  Y
) ,  g  e.  ( Base `  Y
)  |->  ( k  e.  I  |->  ( ( f `
 k ) ( +g  `  ( R `
 k ) ) ( g `  k
) ) ) ) )
26 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( + f `  Y )  =  ( + f `  Y )
2715, 23, 26plusffval 14379 . . . . 5  |-  ( + f `  Y )  =  ( f  e.  ( Base `  Y
) ,  g  e.  ( Base `  Y
)  |->  ( f ( +g  `  Y ) g ) )
28 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
29 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  g  e. 
_V
3028, 29op1std 6130 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. f ,  g
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  f )
3130fveq1d 5527 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. f ,  g
>.  ->  ( ( 1st `  z ) `  k
)  =  ( f `
 k ) )
3228, 29op2ndd 6131 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. f ,  g
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  g )
3332fveq1d 5527 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. f ,  g
>.  ->  ( ( 2nd `  z ) `  k
)  =  ( g `
 k ) )
3431, 33oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. f ,  g
>.  ->  ( ( ( 1st `  z ) `
 k ) ( +g  `  ( R `
 k ) ) ( ( 2nd `  z
) `  k )
)  =  ( ( f `  k ) ( +g  `  ( R `  k )
) ( g `  k ) ) )
3534mpteq2dv 4107 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. f ,  g
>.  ->  ( k  e.  I  |->  ( ( ( 1st `  z ) `
 k ) ( +g  `  ( R `
 k ) ) ( ( 2nd `  z
) `  k )
) )  =  ( k  e.  I  |->  ( ( f `  k
) ( +g  `  ( R `  k )
) ( g `  k ) ) ) )
3635mpt2mpt 5939 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( Base `  Y )  X.  ( Base `  Y ) ) 
|->  ( k  e.  I  |->  ( ( ( 1st `  z ) `  k
) ( +g  `  ( R `  k )
) ( ( 2nd `  z ) `  k
) ) ) )  =  ( f  e.  ( Base `  Y
) ,  g  e.  ( Base `  Y
)  |->  ( k  e.  I  |->  ( ( f `
 k ) ( +g  `  ( R `
 k ) ) ( g `  k
) ) ) )
3725, 27, 363eqtr4g 2340 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( + f `  Y )  =  ( z  e.  ( (
Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) )  |->  ( k  e.  I  |->  ( ( ( 1st `  z
) `  k )
( +g  `  ( R `
 k ) ) ( ( 2nd `  z
) `  k )
) ) ) )
38 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)
39 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen `  Y )  =  (
TopOpen `  Y )
4015, 39istps 16674 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )
4114, 40sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )
42 txtopon 17286 . . . . . 6  |-  ( ( ( TopOpen `  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) )  /\  ( TopOpen `  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( ( TopOpen `  Y )  tX  ( TopOpen
`  Y ) )  e.  (TopOn `  (
( Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) ) ) )
4341, 41, 42syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen `  Y
)  tX  ( TopOpen `  Y ) )  e.  (TopOn `  ( ( Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) ) ) )
44 topnfn 13330 . . . . . . . 8  |-  TopOpen  Fn  _V
45 ssv 3198 . . . . . . . 8  |-  TopSp  C_  _V
46 fnssres 5357 . . . . . . . 8  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  TopSp  C_ 
_V )  ->  ( TopOpen  |`  TopSp )  Fn  TopSp )
4744, 45, 46mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen  |`  TopSp
)  Fn  TopSp
48 fvres 5542 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  TopSp  ->  ( ( TopOpen  |`  TopSp ) `  x
)  =  ( TopOpen `  x ) )
49 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen `  x )  =  (
TopOpen `  x )
5049tpstop 16677 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  TopSp  ->  ( TopOpen `  x )  e.  Top )
5148, 50eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  TopSp  ->  ( ( TopOpen  |`  TopSp ) `  x
)  e.  Top )
5251rgen 2608 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  TopSp  ( ( TopOpen  |`  TopSp
) `  x )  e.  Top
53 ffnfv 5685 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen 
|`  TopSp ) : TopSp --> Top  <->  ( ( TopOpen  |`  TopSp )  Fn  TopSp  /\ 
A. x  e.  TopSp  ( ( TopOpen  |`  TopSp ) `  x
)  e.  Top )
)
5447, 52, 53mpbir2an 886 . . . . . 6  |-  ( TopOpen  |`  TopSp
) : TopSp --> Top
55 fco2 5399 . . . . . 6  |-  ( ( ( TopOpen  |`  TopSp ) : TopSp --> Top 
/\  R : I -->
TopSp )  ->  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
5654, 13, 55sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
5734mpt2mpt 5939 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ( Base `  Y )  X.  ( Base `  Y ) ) 
|->  ( ( ( 1st `  z ) `  k
) ( +g  `  ( R `  k )
) ( ( 2nd `  z ) `  k
) ) )  =  ( f  e.  (
Base `  Y ) ,  g  e.  ( Base `  Y )  |->  ( ( f `  k
) ( +g  `  ( R `  k )
) ( g `  k ) ) )
58 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen `  ( R `  k ) )  =  ( TopOpen `  ( R `  k ) )
59 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  ( R `  k
) )  =  ( +g  `  ( R `
 k ) )
60 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R : I -->TopMnd  /\  k  e.  I )  ->  ( R `  k )  e. TopMnd )
614, 60sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( R `  k )  e. TopMnd )
6241adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )
6362, 62cnmpt1st 17362 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
f  e.  ( Base `  Y ) ,  g  e.  ( Base `  Y
)  |->  f )  e.  ( ( ( TopOpen `  Y )  tX  ( TopOpen
`  Y ) )  Cn  ( TopOpen `  Y
) ) )
641, 3, 2, 19, 39prdstopn 17322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
6564adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
6665, 62eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y
) ) )
67 toponuni 16665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y
) )  ->  ( Base `  Y )  = 
U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( Base `  Y )  = 
U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
69 mpteq1 4100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
Base `  Y )  =  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  Y
)  |->  ( x `  k ) )  =  ( x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  |->  ( x `  k ) ) )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 k ) )  =  ( x  e. 
U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
|->  ( x `  k
) ) )
712adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  I  e.  W )
7256adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
73 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  k  e.  I )
74 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )
7574, 38ptpjcn 17305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top  /\  k  e.  I )  ->  ( x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  |->  ( x `  k ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  Cn  (
( TopOpen  o.  R ) `  k ) ) )
7671, 72, 73, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  |->  ( x `
 k ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  Cn  ( (
TopOpen  o.  R ) `  k ) ) )
7770, 76eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 k ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  Cn  ( (
TopOpen  o.  R ) `  k ) ) )
7865eqcomd 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  (
TopOpen `  Y ) )
79 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R : I -->TopMnd  /\  k  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  =  (
TopOpen `  ( R `  k ) ) )
804, 79sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  =  (
TopOpen `  ( R `  k ) ) )
8178, 80oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  Cn  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  =  ( (
TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  k ) ) ) )
8277, 81eleqtrd 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 k ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen
`  ( R `  k ) ) ) )
83 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  f  ->  (
x `  k )  =  ( f `  k ) )
8462, 62, 63, 62, 82, 83cnmpt21 17365 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
f  e.  ( Base `  Y ) ,  g  e.  ( Base `  Y
)  |->  ( f `  k ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  Y )  tX  ( TopOpen
`  Y ) )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  k )
) ) )
8562, 62cnmpt2nd 17363 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
f  e.  ( Base `  Y ) ,  g  e.  ( Base `  Y
)  |->  g )  e.  ( ( ( TopOpen `  Y )  tX  ( TopOpen
`  Y ) )  Cn  ( TopOpen `  Y
) ) )
86 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  g  ->  (
x `  k )  =  ( g `  k ) )
8762, 62, 85, 62, 82, 86cnmpt21 17365 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
f  e.  ( Base `  Y ) ,  g  e.  ( Base `  Y
)  |->  ( g `  k ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  Y )  tX  ( TopOpen
`  Y ) )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  k )
) ) )
8858, 59, 61, 62, 62, 84, 87cnmpt2plusg 17771 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
f  e.  ( Base `  Y ) ,  g  e.  ( Base `  Y
)  |->  ( ( f `
 k ) ( +g  `  ( R `
 k ) ) ( g `  k
) ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  Y )  tX  ( TopOpen
`  Y ) )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  k )
) ) )
8980oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( TopOpen `  Y
)  tX  ( TopOpen `  Y ) )  Cn  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  =  ( ( ( TopOpen `  Y )  tX  ( TopOpen `  Y )
)  Cn  ( TopOpen `  ( R `  k ) ) ) )
9088, 89eleqtrrd 2360 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
f  e.  ( Base `  Y ) ,  g  e.  ( Base `  Y
)  |->  ( ( f `
 k ) ( +g  `  ( R `
 k ) ) ( g `  k
) ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  Y )  tX  ( TopOpen
`  Y ) )  Cn  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) ) )
9157, 90syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
z  e.  ( (
Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) )  |->  ( ( ( 1st `  z
) `  k )
( +g  `  ( R `
 k ) ) ( ( 2nd `  z
) `  k )
) )  e.  ( ( ( TopOpen `  Y
)  tX  ( TopOpen `  Y ) )  Cn  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
) )
9238, 43, 2, 56, 91ptcn 17321 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( Base `  Y
)  X.  ( Base `  Y ) )  |->  ( k  e.  I  |->  ( ( ( 1st `  z
) `  k )
( +g  `  ( R `
 k ) ) ( ( 2nd `  z
) `  k )
) ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  Y )  tX  ( TopOpen
`  Y ) )  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) ) )
9337, 92eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ph  ->  ( + f `  Y )  e.  ( ( ( TopOpen `  Y
)  tX  ( TopOpen `  Y ) )  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) ) )
9464oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen `  Y )  tX  ( TopOpen
`  Y ) )  Cn  ( TopOpen `  Y
) )  =  ( ( ( TopOpen `  Y
)  tX  ( TopOpen `  Y ) )  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) ) )
9593, 94eleqtrrd 2360 . 2  |-  ( ph  ->  ( + f `  Y )  e.  ( ( ( TopOpen `  Y
)  tX  ( TopOpen `  Y ) )  Cn  ( TopOpen `  Y )
) )
9626, 39istmd 17757 . 2  |-  ( Y  e. TopMnd 
<->  ( Y  e.  Mnd  /\  Y  e.  TopSp  /\  ( + f `  Y )  e.  ( ( (
TopOpen `  Y )  tX  ( TopOpen `  Y )
)  Cn  ( TopOpen `  Y ) ) ) )
979, 14, 95, 96syl3anbrc 1136 1  |-  ( ph  ->  Y  e. TopMnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   <.cop 3643   U.cuni 3827    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    |` cres 4691    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   TopOpenctopn 13326   Xt_cpt 13343   X_scprds 13346   Mndcmnd 14361   + fcplusf 14364   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   TopSpctps 16634    Cn ccn 16954    tX ctx 17255  TopMndctmd 17753
This theorem is referenced by:  prdstgpd  17807
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-plusf 14368  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-tmd 17755
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