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Theorem prdstotbnd 26195
Description: The product metric over finite index set is totally bounded if all the factors are totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbnd.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbnd.v  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
prdsbnd.e  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsbnd.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsbnd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsbnd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsbnd.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdstotbnd.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( TotBnd `  V )
)
Assertion
Ref Expression
prdstotbnd  |-  ( ph  ->  D  e.  ( TotBnd `  B ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, B    ph, x    x, I    x, S    x, Y
Allowed substitution hints:    D( x)    E( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem prdstotbnd
Dummy variables  z 
r  f  g  v  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . . . 4  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
2 eqid 2388 . . . 4  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
3 prdsbnd.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
4 prdsbnd.e . . . 4  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
5 eqid 2388 . . . 4  |-  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
6 prdsbnd.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
7 prdsbnd.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
8 fvex 5683 . . . . 5  |-  ( R `
 x )  e. 
_V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  _V )
10 prdstotbnd.m . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( TotBnd `  V )
)
11 totbndmet 26173 . . . . 5  |-  ( E  e.  ( TotBnd `  V
)  ->  E  e.  ( Met `  V ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12prdsmet 18309 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) ) ) )
14 prdsbnd.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  Y
)
15 prdsbnd.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
16 prdsbnd.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
17 dffn5 5712 . . . . . . . 8  |-  ( R  Fn  I  <->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
1816, 17sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `
 x ) ) )
1918oveq2d 6037 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2015, 19syl5eq 2432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2120fveq2d 5673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2214, 21syl5eq 2432 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
23 prdsbnd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2420fveq2d 5673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2523, 24syl5eq 2432 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2625fveq2d 5673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Met `  B
)  =  ( Met `  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) ) )
2713, 22, 263eltr4d 2469 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
287adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  I  e.  Fin )
29 istotbnd3 26172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  ( TotBnd `  V
)  <->  ( E  e.  ( Met `  V
)  /\  A. r  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
3029simprbi 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ( TotBnd `  V
)  ->  A. r  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )
3110, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  A. r  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )
3231r19.21bi 2748 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )
33 df-rex 2656 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V  <->  E. w
( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
34 rexv 2914 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  _V  (
w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  <->  E. w
( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
3533, 34bitr4i 244 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V  <->  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
3632, 35sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
3736an32s 780 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  I )  ->  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
3837ralrimiva 2733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  I  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
39 eleq1 2448 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ) )
40 iuneq1 4049 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r ) )
4140eqeq1d 2396 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  ( U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V  <->  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
4239, 41anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )  <->  ( ( f `
 x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )
4342ac6sfi 7288 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  E. w  e.  _V  (
w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) )  ->  E. f ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )
4428, 38, 43syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. f
( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )
45 elfpw 7344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( (
f `  x )  C_  V  /\  ( f `
 x )  e. 
Fin ) )
4645simplbi 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
f `  x )  C_  V )
4746adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( f `  x
)  C_  V )
4847ralimi 2725 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  C_  V )
4948ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( f `  x )  C_  V
)
50 ss2ixp 7012 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  (
f `  x )  C_  V  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  X_ x  e.  I  V )
5149, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  X_ x  e.  I  V )
52 fnfi 7321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  R  e.  Fin )
5316, 7, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
54 fndm 5485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  Fn  I  ->  dom  R  =  I )
5516, 54syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
5615, 6, 53, 23, 55prdsbas 13608 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
573rgenw 2717 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  I  V  =  ( Base `  ( R `  x ) )
58 ixpeq2 7013 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  I  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)  ->  X_ x  e.  I  V  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x ) ) )
5957, 58ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  X_ x  e.  I  V  =  X_ x  e.  I  (
Base `  ( R `  x ) )
6056, 59syl6eqr 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
6160ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
6251, 61sseqtr4d 3329 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  B
)
6328adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  I  e.  Fin )
6445simprbi 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
f `  x )  e.  Fin )
6564adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( f `  x
)  e.  Fin )
6665ralimi 2725 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  Fin )
6766ad2antll 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )
68 ixpfi 7340 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )
6963, 67, 68syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )
70 elfpw 7344 . . . . . 6  |-  ( X_ x  e.  I  (
f `  x )  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  B  /\  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  e.  Fin )
)
7162, 69, 70sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
72 metxmet 18274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  ->  D  e.  ( * Met `  B
) )
7327, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
74 rpxr 10552 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
75 blssm 18343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  y  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
76753expa 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  B
)  /\  y  e.  B )  /\  r  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  C_  B )
7776an32s 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  B
)  /\  r  e.  RR* )  /\  y  e.  B )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  C_  B )
7877ralrimiva 2733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  r  e.  RR* )  ->  A. y  e.  B  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
7973, 74, 78syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. y  e.  B  ( y
( ball `  D )
r )  C_  B
)
8079adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. y  e.  B  ( y
( ball `  D )
r )  C_  B
)
81 ssralv 3351 . . . . . . . 8  |-  ( X_ x  e.  I  (
f `  x )  C_  B  ->  ( A. y  e.  B  (
y ( ball `  D
) r )  C_  B  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B ) )
8262, 80, 81sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  C_  B
)
83 iunss 4074 . . . . . . 7  |-  ( U_ y  e.  X_  x  e.  I  ( f `  x ) ( y ( ball `  D
) r )  C_  B 
<-> 
A. y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
8482, 83sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  C_  B
)
8563adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  I  e.  Fin )
8661eleq2d 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  <->  g  e.  X_ x  e.  I  V
) )
87 vex 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  g  e. 
_V
8887elixp 7006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I  V 
<->  ( g  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V ) )
8988simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I  V  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
90 df-rex 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. z  e.  ( f `
 x ) ( g `  x )  e.  ( z (
ball `  E )
r )  <->  E. z
( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
91 eliun 4040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g `  x )  e.  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  <->  E. z  e.  ( f `  x
) ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )
92 rexv 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. z  e.  _V  (
z  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )  <->  E. z ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
9390, 91, 923bitr4i 269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g `  x )  e.  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  <->  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
94 eleq2 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r )  =  V  ->  ( (
g `  x )  e.  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  <-> 
( g `  x
)  e.  V ) )
9593, 94syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r )  =  V  ->  ( E. z  e.  _V  (
z  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )  <-> 
( g `  x
)  e.  V ) )
9695biimprd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r )  =  V  ->  ( (
g `  x )  e.  V  ->  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
9796adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( ( g `  x )  e.  V  ->  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
9897ral2imi 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( A. x  e.  I  ( g `  x )  e.  V  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
9998ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( A. x  e.  I  (
g `  x )  e.  V  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
10089, 99syl5 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  X_ x  e.  I  V  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
10186, 100sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
102101imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
103 eleq1 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
z  e.  ( f `
 x )  <->  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
104 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
z ( ball `  E
) r )  =  ( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
105104eleq2d 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r )  <->  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
106103, 105anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )  <-> 
( ( y `  x )  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
107106ac6sfi 7288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  (
z  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )  ->  E. y
( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
10885, 102, 107syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  E. y ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) ) )
109 ffn 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y : I --> _V  ->  y  Fn  I )
110 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) )
111110ralimi 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  I  (
( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  A. x  e.  I 
( y `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
112109, 111anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  ( y  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
113 vex 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
114113elixp 7006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  <->  ( y  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
115112, 114sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  y  e.  X_ x  e.  I  ( f `  x ) )
116115adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
) )
11786biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  g  e.  X_ x  e.  I  V )
118 ixpfn 7005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I  V  ->  g  Fn  I
)
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  g  Fn  I )
120119adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  g  Fn  I )
121 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) )
122121ralimi 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  I  (
( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )
123122ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) )
12487elixp 7006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r )  <-> 
( g  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )
125120, 123, 124sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  g  e.  X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
126 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  ph )
12751ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  X_ x  e.  I  V )
128127, 116sseldd 3293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  y  e.  X_ x  e.  I  V )
129126, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
130128, 129eleqtrrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  y  e.  B )
131 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
132 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  x  ->  ( R `  y )  =  ( R `  x ) )
133132cbvmptv 4242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  I  |->  ( R `
 y ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x ) )
134133oveq2i 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
13520, 134syl6eqr 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
136135fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
13714, 136syl5eq 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
138137fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ball `  D
)  =  ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) )
139138proplem3 13844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y ( ball `  D ) r )  =  ( y (
ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) )
140 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
141 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
1426adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  S  e.  W )
1437adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  Fin )
1448a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( R `  x )  e.  _V )
145 metxmet 18274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
14612, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
147146adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
148 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  B )
149135fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
15023, 149syl5eq 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
151150adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
152148, 151eleqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
15374ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
r  e.  RR* )
154 rpgt0 10556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
155154ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
0  <  r )
156134, 140, 3, 4, 141, 142, 143, 144, 147, 152, 153, 155prdsbl 18412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r )  = 
X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
157139, 156eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y ( ball `  D ) r )  =  X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
158126, 130, 131, 157syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  = 
X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
159125, 158eleqtrrd 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) )
160116, 159jca 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  (
y  e.  X_ x  e.  I  ( f `  x )  /\  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
161160ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  ( ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  /\  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) ) )
162161eximdv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  ( E. y ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  E. y
( y  e.  X_ x  e.  I  (
f `  x )  /\  g  e.  (
y ( ball `  D
) r ) ) ) )
163 df-rex 2656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  X_  x  e.  I  ( f `  x ) g  e.  ( y ( ball `  D ) r )  <->  E. y ( y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  /\  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
164162, 163syl6ibr 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  ( E. y ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  E. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) ) )
165108, 164mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  E. y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) )
166165ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  ->  E. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) ) )
167 eliun 4040 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  <->  E. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) )
168166, 167syl6ibr 219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  ->  g  e. 
U_ y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r ) ) )
169168ssrdv 3298 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  B  C_  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r ) )
17084, 169eqssd 3309 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  =  B )
171 iuneq1 4049 . . . . . . 7  |-  ( v  =  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  ->  U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  U_ y  e.  X_  x  e.  I  ( f `  x ) ( y ( ball `  D
) r ) )
172171eqeq1d 2396 . . . . . 6  |-  ( v  =  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  ->  ( U_ y  e.  v  (
y ( ball `  D
) r )  =  B  <->  U_ y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r )  =  B ) )
173172rspcev 2996 . . . . 5  |-  ( (
X_ x  e.  I 
( f `  x
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  U_ y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r )  =  B )  ->  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v 
( y ( ball `  D ) r )  =  B )
17471, 170, 173syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  B )
17544, 174exlimddv 1645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  B )
176175ralrimiva 2733 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v 
( y ( ball `  D ) r )  =  B )
177 istotbnd3 26172 . 2  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  B
)  <->  ( D  e.  ( Met `  B
)  /\  A. r  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  B ) )
17827, 176, 177sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( TotBnd `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    i^i cin 3263    C_ wss 3264   ~Pcpw 3743   U_ciun 4036   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208    X. cxp 4817   dom cdm 4819    |` cres 4821    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   X_cixp 7000   Fincfn 7046   0cc0 8924   RR*cxr 9053    < clt 9054   RR+crp 10545   Basecbs 13397   distcds 13466   X_scprds 13597   * Metcxmt 16613   Metcme 16614   ballcbl 16615   TotBndctotbnd 26167
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  26196
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-icc 10856  df-fz 10977  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-hom 13481  df-cco 13482  df-prds 13599  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-totbnd 26169
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