Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prdstotbnd Unicode version

Theorem prdstotbnd 26518
 Description: The product metric over finite index set is totally bounded if all the factors are totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y s
prdsbnd.b
prdsbnd.v
prdsbnd.e
prdsbnd.d
prdsbnd.s
prdsbnd.i
prdsbnd.r
prdstotbnd.m
Assertion
Ref Expression
prdstotbnd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdstotbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4 s s
2 eqid 2283 . . . 4 s s
3 prdsbnd.v . . . 4
4 prdsbnd.e . . . 4
5 eqid 2283 . . . 4 s s
6 prdsbnd.s . . . 4
7 prdsbnd.i . . . 4
8 fvex 5539 . . . . 5
98a1i 10 . . . 4
10 prdstotbnd.m . . . . 5
11 totbndmet 26496 . . . . 5
1210, 11syl 15 . . . 4
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12prdsmet 17934 . . 3 s s
14 prdsbnd.d . . . . 5
15 prdsbnd.y . . . . . . 7 s
16 prdsbnd.r . . . . . . . . 9
17 dffn5 5568 . . . . . . . . 9
1816, 17sylib 188 . . . . . . . 8
1918oveq2d 5874 . . . . . . 7 s s
2015, 19syl5eq 2327 . . . . . 6 s
2120fveq2d 5529 . . . . 5 s
2214, 21syl5eq 2327 . . . 4 s
23 prdsbnd.b . . . . . 6
2420fveq2d 5529 . . . . . 6 s
2523, 24syl5eq 2327 . . . . 5 s
2625fveq2d 5529 . . . 4 s
2722, 26eleq12d 2351 . . 3 s s
2813, 27mpbird 223 . 2
297adantr 451 . . . . 5
30 istotbnd3 26495 . . . . . . . . . . 11
3130simprbi 450 . . . . . . . . . 10
3210, 31syl 15 . . . . . . . . 9
3332r19.21bi 2641 . . . . . . . 8
34 df-rex 2549 . . . . . . . . 9
35 rexv 2802 . . . . . . . . 9
3634, 35bitr4i 243 . . . . . . . 8
3733, 36sylib 188 . . . . . . 7
3837an32s 779 . . . . . 6
3938ralrimiva 2626 . . . . 5
40 eleq1 2343 . . . . . . 7
41 iuneq1 3918 . . . . . . . 8
4241eqeq1d 2291 . . . . . . 7
4340, 42anbi12d 691 . . . . . 6
4443ac6sfi 7101 . . . . 5
4529, 39, 44syl2anc 642 . . . 4
46 elfpw 7157 . . . . . . . . . . . . . 14
4746simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
4948ralimi 2618 . . . . . . . . . . 11
5049ad2antll 709 . . . . . . . . . 10
51 ss2ixp 6829 . . . . . . . . . 10
5250, 51syl 15 . . . . . . . . 9
53 fnfi 7134 . . . . . . . . . . . . 13
5416, 7, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
55 fndm 5343 . . . . . . . . . . . . 13
5616, 55syl 15 . . . . . . . . . . . 12
5715, 6, 54, 23, 56prdsbas 13357 . . . . . . . . . . 11
583rgenw 2610 . . . . . . . . . . . 12
59 ixpeq2 6830 . . . . . . . . . . . 12
6058, 59ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
6157, 60syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10
6261ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
6352, 62sseqtr4d 3215 . . . . . . . 8
6429adantr 451 . . . . . . . . 9
6546simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12
6665adantr 451 . . . . . . . . . . 11
6766ralimi 2618 . . . . . . . . . 10
6867ad2antll 709 . . . . . . . . 9
69 ixpfi 7153 . . . . . . . . 9
7064, 68, 69syl2anc 642 . . . . . . . 8
71 elfpw 7157 . . . . . . . 8
7263, 70, 71sylanbrc 645 . . . . . . 7
73 metxmet 17899 . . . . . . . . . . . . 13
7428, 73syl 15 . . . . . . . . . . . 12
75 rpxr 10361 . . . . . . . . . . . 12
76 blssm 17968 . . . . . . . . . . . . . . 15
77763expa 1151 . . . . . . . . . . . . . 14
7877an32s 779 . . . . . . . . . . . . 13
7978ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12
8074, 75, 79syl2an 463 . . . . . . . . . . 11
8180adantr 451 . . . . . . . . . 10
82 ssralv 3237 . . . . . . . . . 10
8363, 81, 82sylc 56 . . . . . . . . 9
84 iunss 3943 . . . . . . . . 9
8583, 84sylibr 203 . . . . . . . 8
8664adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
8762eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . 15
88 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8988elixp 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9089simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16
91 df-rex 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
92 eliun 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
93 rexv 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9491, 92, 933bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
95 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9694, 95syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9796biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9897adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9998ral2imi 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10099ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10190, 100syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . 15
10287, 101sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . 14
103102imp 418 . . . . . . . . . . . . 13
104 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . 15
105 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106105eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . 15
107104, 106anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14
108107ac6sfi 7101 . . . . . . . . . . . . 13
10986, 103, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
110 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112111ralimi 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113110, 112anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115114elixp 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116113, 115sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117116adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11887biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
119 ixpfn 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
120118, 119syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
123122ralimi 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124123ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12588elixp 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126121, 124, 125sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
127 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128127ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12952ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
130129, 117sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
131128, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
132130, 131eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
133 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134133ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
136135cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
137136oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 s s
13820, 137syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 s
139138fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 s
14014, 139syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 s
141140fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 s
142141proplem3 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 s
143 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 s s
144 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 s s
1456adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1467adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1478a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
148 metxmet 17899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14912, 148syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
150149adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
152138fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 s
15323, 152syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 s
154153adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 s
155151, 154eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 s
15675ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
157 rpgt0 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
158157ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
159137, 143, 3, 4, 144, 145, 146, 147, 150, 155, 156, 158prdsbl 18037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 s
160142, 159eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
161128, 132, 134, 160syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
162126, 161eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163117, 162jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
164163ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14
165164eximdv 1608 . . . . . . . . . . . . 13
166 df-rex 2549 . . . . . . . . . . . . 13
167165, 166syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . 12
168109, 167mpd 14 . . . . . . . . . . 11
169168ex 423 . . . . . . . . . 10
170 eliun 3909 . . . . . . . . . 10
171169, 170syl6ibr 218 . . . . . . . . 9
172171ssrdv 3185 . . . . . . . 8
17385, 172eqssd 3196 . . . . . . 7
174 iuneq1 3918 . . . . . . . . 9
175174eqeq1d 2291 . . . . . . . 8
176175rspcev 2884 . . . . . . 7
17772, 173, 176syl2anc 642 . . . . . 6
178177ex 423 . . . . 5
179178exlimdv 1664 . . . 4
18045, 179mpd 14 . . 3
181180ralrimiva 2626 . 2
182 istotbnd3 26495 . 2
18328, 181, 182sylanbrc 645 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788   cin 3151   wss 3152  cpw 3625  ciun 3905   class class class wbr 4023   cmpt 4077   cxp 4687   cdm 4689   cres 4691   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cixp 6817  cfn 6863  cc0 8737  cxr 8866   clt 8867  crp 10354  cbs 13148  cds 13217  scprds 13346  cxmt 16369  cme 16370  cbl 16371  ctotbnd 26490 This theorem is referenced by:  prdsbnd2  26519 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-totbnd 26492
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