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Theorem prdstotbnd 26517
 Description: The product metric over finite index set is totally bounded if all the factors are totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y s
prdsbnd.b
prdsbnd.v
prdsbnd.e
prdsbnd.d
prdsbnd.s
prdsbnd.i
prdsbnd.r
prdstotbnd.m
Assertion
Ref Expression
prdstotbnd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdstotbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4 s s
2 eqid 2438 . . . 4 s s
3 prdsbnd.v . . . 4
4 prdsbnd.e . . . 4
5 eqid 2438 . . . 4 s s
6 prdsbnd.s . . . 4
7 prdsbnd.i . . . 4
8 fvex 5745 . . . . 5
98a1i 11 . . . 4
10 prdstotbnd.m . . . . 5
11 totbndmet 26495 . . . . 5
1210, 11syl 16 . . . 4
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12prdsmet 18405 . . 3 s s
14 prdsbnd.d . . . 4
15 prdsbnd.y . . . . . 6 s
16 prdsbnd.r . . . . . . . 8
17 dffn5 5775 . . . . . . . 8
1816, 17sylib 190 . . . . . . 7
1918oveq2d 6100 . . . . . 6 s s
2015, 19syl5eq 2482 . . . . 5 s
2120fveq2d 5735 . . . 4 s
2214, 21syl5eq 2482 . . 3 s
23 prdsbnd.b . . . . 5
2420fveq2d 5735 . . . . 5 s
2523, 24syl5eq 2482 . . . 4 s
2625fveq2d 5735 . . 3 s
2713, 22, 263eltr4d 2519 . 2
287adantr 453 . . . . 5
29 istotbnd3 26494 . . . . . . . . . . 11
3029simprbi 452 . . . . . . . . . 10
3110, 30syl 16 . . . . . . . . 9
3231r19.21bi 2806 . . . . . . . 8
33 df-rex 2713 . . . . . . . . 9
34 rexv 2972 . . . . . . . . 9
3533, 34bitr4i 245 . . . . . . . 8
3632, 35sylib 190 . . . . . . 7
3736an32s 781 . . . . . 6
3837ralrimiva 2791 . . . . 5
39 eleq1 2498 . . . . . . 7
40 iuneq1 4108 . . . . . . . 8
4140eqeq1d 2446 . . . . . . 7
4239, 41anbi12d 693 . . . . . 6
4342ac6sfi 7354 . . . . 5
4428, 38, 43syl2anc 644 . . . 4
45 elfpw 7411 . . . . . . . . . . . 12
4645simplbi 448 . . . . . . . . . . 11
4746adantr 453 . . . . . . . . . 10
4847ralimi 2783 . . . . . . . . 9
4948ad2antll 711 . . . . . . . 8
50 ss2ixp 7078 . . . . . . . 8
5149, 50syl 16 . . . . . . 7
52 fnfi 7387 . . . . . . . . . . 11
5316, 7, 52syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
54 fndm 5547 . . . . . . . . . . 11
5516, 54syl 16 . . . . . . . . . 10
5615, 6, 53, 23, 55prdsbas 13685 . . . . . . . . 9
573rgenw 2775 . . . . . . . . . 10
58 ixpeq2 7079 . . . . . . . . . 10
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . 9
6056, 59syl6eqr 2488 . . . . . . . 8
6160ad2antrr 708 . . . . . . 7
6251, 61sseqtr4d 3387 . . . . . 6
6328adantr 453 . . . . . . 7
6445simprbi 452 . . . . . . . . . 10
6564adantr 453 . . . . . . . . 9
6665ralimi 2783 . . . . . . . 8
6766ad2antll 711 . . . . . . 7
68 ixpfi 7407 . . . . . . 7
6963, 67, 68syl2anc 644 . . . . . 6
70 elfpw 7411 . . . . . 6
7162, 69, 70sylanbrc 647 . . . . 5
72 metxmet 18369 . . . . . . . . . . 11
7327, 72syl 16 . . . . . . . . . 10
74 rpxr 10624 . . . . . . . . . 10
75 blssm 18453 . . . . . . . . . . . . 13
76753expa 1154 . . . . . . . . . . . 12
7776an32s 781 . . . . . . . . . . 11
7877ralrimiva 2791 . . . . . . . . . 10
7973, 74, 78syl2an 465 . . . . . . . . 9
8079adantr 453 . . . . . . . 8
81 ssralv 3409 . . . . . . . 8
8262, 80, 81sylc 59 . . . . . . 7
83 iunss 4134 . . . . . . 7
8482, 83sylibr 205 . . . . . 6
8563adantr 453 . . . . . . . . . . 11
8661eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . 13
87 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8887elixp 7072 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . 14
90 df-rex 2713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
91 eliun 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
92 rexv 2972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9390, 91, 923bitr4i 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
94 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9593, 94syl5bbr 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9695biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9796adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9897ral2imi 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . 14
10089, 99syl5 31 . . . . . . . . . . . . 13
10186, 100sylbid 208 . . . . . . . . . . . 12
102101imp 420 . . . . . . . . . . 11
103 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . 13
104 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . 14
105104eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . 13
106103, 105anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12
107106ac6sfi 7354 . . . . . . . . . . 11
10885, 102, 107syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
109 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111110ralimi 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112109, 111anim12i 551 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114113elixp 7072 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115112, 114sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . 15
116115adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14
11786biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118 ixpfn 7071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120119adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122121ralimi 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123122ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12487elixp 7072 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125120, 123, 124sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . 15
126 simp-4l 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12751ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
128127, 116sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129126, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
130128, 129eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131 simp-4r 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
133132cbvmptv 4303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
134133oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 s s
13520, 134syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 s
136135fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 s
13714, 136syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 s
138137fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 s
139138proplem3 13921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 s
140 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 s s
141 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 s s
1426adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1437adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1448a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145 metxmet 18369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14612, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
147146adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
149135fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 s
15023, 149syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 s
151150adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 s
152148, 151eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 s
15374ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
154 rpgt0 10628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
155154ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
156134, 140, 3, 4, 141, 142, 143, 144, 147, 152, 153, 155prdsbl 18526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 s
157139, 156eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16
158126, 130, 131, 157syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15
159125, 158eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . . 14
160116, 159jca 520 . . . . . . . . . . . . 13
161160ex 425 . . . . . . . . . . . 12
162161eximdv 1633 . . . . . . . . . . 11
163 df-rex 2713 . . . . . . . . . . 11
164162, 163syl6ibr 220 . . . . . . . . . 10
165108, 164mpd 15 . . . . . . . . 9
166165ex 425 . . . . . . . 8
167 eliun 4099 . . . . . . . 8
168166, 167syl6ibr 220 . . . . . . 7
169168ssrdv 3356 . . . . . 6
17084, 169eqssd 3367 . . . . 5
171 iuneq1 4108 . . . . . . 7
172171eqeq1d 2446 . . . . . 6
173172rspcev 3054 . . . . 5
17471, 170, 173syl2anc 644 . . . 4
17544, 174exlimddv 1649 . . 3
176175ralrimiva 2791 . 2
177 istotbnd3 26494 . 2
17827, 176, 177sylanbrc 647 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  cpw 3801  ciun 4095   class class class wbr 4215   cmpt 4269   cxp 4879   cdm 4881   cres 4883   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cixp 7066  cfn 7112  cc0 8995  cxr 9124   clt 9125  crp 10617  cbs 13474  cds 13543  scprds 13674  cxmt 16691  cme 16692  cbl 16693  ctotbnd 26489 This theorem is referenced by:  prdsbnd2  26518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-icc 10928  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-hom 13558  df-cco 13559  df-prds 13676  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-totbnd 26491
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