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Theorem prdstotbnd 26621
Description: The product metric over finite index set is totally bounded if all the factors are totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbnd.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbnd.v  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
prdsbnd.e  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsbnd.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsbnd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsbnd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsbnd.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdstotbnd.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( TotBnd `  V )
)
Assertion
Ref Expression
prdstotbnd  |-  ( ph  ->  D  e.  ( TotBnd `  B ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, B    ph, x    x, I    x, S    x, Y
Allowed substitution hints:    D( x)    E( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem prdstotbnd
Dummy variables  z 
r  f  g  v  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
3 prdsbnd.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
4 prdsbnd.e . . . 4  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
5 eqid 2296 . . . 4  |-  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
6 prdsbnd.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
7 prdsbnd.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
8 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( R `
 x )  e. 
_V
98a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  _V )
10 prdstotbnd.m . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( TotBnd `  V )
)
11 totbndmet 26599 . . . . 5  |-  ( E  e.  ( TotBnd `  V
)  ->  E  e.  ( Met `  V ) )
1210, 11syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12prdsmet 17950 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) ) ) )
14 prdsbnd.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  Y
)
15 prdsbnd.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( S X_s R )
16 prdsbnd.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
17 dffn5 5584 . . . . . . . . 9  |-  ( R  Fn  I  <->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
1816, 17sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `
 x ) ) )
1918oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2015, 19syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2120fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2214, 21syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
23 prdsbnd.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2420fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2523, 24syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2625fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Met `  B
)  =  ( Met `  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) ) )
2722, 26eleq12d 2364 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( Met `  B )  <-> 
( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) ) ) ) )
2813, 27mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
297adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  I  e.  Fin )
30 istotbnd3 26598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  ( TotBnd `  V
)  <->  ( E  e.  ( Met `  V
)  /\  A. r  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
3130simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ( TotBnd `  V
)  ->  A. r  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )
3210, 31syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  A. r  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )
3332r19.21bi 2654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )
34 df-rex 2562 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V  <->  E. w
( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
35 rexv 2815 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  _V  (
w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  <->  E. w
( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
3634, 35bitr4i 243 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V  <->  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
3733, 36sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
3837an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  I )  ->  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
3938ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  I  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
40 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ) )
41 iuneq1 3934 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r ) )
4241eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  ( U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V  <->  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
4340, 42anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )  <->  ( ( f `
 x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )
4443ac6sfi 7117 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  E. w  e.  _V  (
w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) )  ->  E. f ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )
4529, 39, 44syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. f
( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )
46 elfpw 7173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( (
f `  x )  C_  V  /\  ( f `
 x )  e. 
Fin ) )
4746simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
f `  x )  C_  V )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( f `  x
)  C_  V )
4948ralimi 2631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  C_  V )
5049ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( f `  x )  C_  V
)
51 ss2ixp 6845 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  I  (
f `  x )  C_  V  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  X_ x  e.  I  V )
5250, 51syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  X_ x  e.  I  V )
53 fnfi 7150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  R  e.  Fin )
5416, 7, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
55 fndm 5359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  Fn  I  ->  dom  R  =  I )
5616, 55syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
5715, 6, 54, 23, 56prdsbas 13373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
583rgenw 2623 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. x  e.  I  V  =  ( Base `  ( R `  x ) )
59 ixpeq2 6846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  I  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)  ->  X_ x  e.  I  V  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x ) ) )
6058, 59ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  X_ x  e.  I  V  =  X_ x  e.  I  (
Base `  ( R `  x ) )
6157, 60syl6eqr 2346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
6261ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
6352, 62sseqtr4d 3228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  B
)
6429adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  I  e.  Fin )
6546simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
f `  x )  e.  Fin )
6665adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( f `  x
)  e.  Fin )
6766ralimi 2631 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  Fin )
6867ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )
69 ixpfi 7169 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )
7064, 68, 69syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )
71 elfpw 7173 . . . . . . . 8  |-  ( X_ x  e.  I  (
f `  x )  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  B  /\  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  e.  Fin )
)
7263, 70, 71sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
73 metxmet 17915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  ->  D  e.  ( * Met `  B
) )
7428, 73syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
75 rpxr 10377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
76 blssm 17984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  y  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
77763expa 1151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  B
)  /\  y  e.  B )  /\  r  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  C_  B )
7877an32s 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  B
)  /\  r  e.  RR* )  /\  y  e.  B )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  C_  B )
7978ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  r  e.  RR* )  ->  A. y  e.  B  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
8074, 75, 79syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. y  e.  B  ( y
( ball `  D )
r )  C_  B
)
8180adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. y  e.  B  ( y
( ball `  D )
r )  C_  B
)
82 ssralv 3250 . . . . . . . . . 10  |-  ( X_ x  e.  I  (
f `  x )  C_  B  ->  ( A. y  e.  B  (
y ( ball `  D
) r )  C_  B  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B ) )
8363, 81, 82sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  C_  B
)
84 iunss 3959 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ y  e.  X_  x  e.  I  ( f `  x ) ( y ( ball `  D
) r )  C_  B 
<-> 
A. y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
8583, 84sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  C_  B
)
8664adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  I  e.  Fin )
8762eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  <->  g  e.  X_ x  e.  I  V
) )
88 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  g  e. 
_V
8988elixp 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I  V 
<->  ( g  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V ) )
9089simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I  V  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
91 df-rex 2562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E. z  e.  ( f `
 x ) ( g `  x )  e.  ( z (
ball `  E )
r )  <->  E. z
( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
92 eliun 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g `  x )  e.  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  <->  E. z  e.  ( f `  x
) ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )
93 rexv 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E. z  e.  _V  (
z  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )  <->  E. z ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
9491, 92, 933bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g `  x )  e.  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  <->  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
95 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r )  =  V  ->  ( (
g `  x )  e.  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  <-> 
( g `  x
)  e.  V ) )
9694, 95syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r )  =  V  ->  ( E. z  e.  _V  (
z  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )  <-> 
( g `  x
)  e.  V ) )
9796biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r )  =  V  ->  ( (
g `  x )  e.  V  ->  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
9897adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( ( g `  x )  e.  V  ->  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
9998ral2imi 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( A. x  e.  I  ( g `  x )  e.  V  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
10099ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( A. x  e.  I  (
g `  x )  e.  V  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
10190, 100syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  X_ x  e.  I  V  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
10287, 101sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
103102imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
104 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
z  e.  ( f `
 x )  <->  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
105 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
z ( ball `  E
) r )  =  ( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
106105eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r )  <->  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
107104, 106anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )  <-> 
( ( y `  x )  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
108107ac6sfi 7117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  (
z  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )  ->  E. y
( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
10986, 103, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  E. y ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) ) )
110 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y : I --> _V  ->  y  Fn  I )
111 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) )
112111ralimi 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  I  (
( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  A. x  e.  I 
( y `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
113110, 112anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  ( y  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
114 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  y  e. 
_V
115114elixp 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  <->  ( y  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
116113, 115sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  y  e.  X_ x  e.  I  ( f `  x ) )
117116adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
) )
11887biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  g  e.  X_ x  e.  I  V )
119 ixpfn 6838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I  V  ->  g  Fn  I
)
120118, 119syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  g  Fn  I )
121120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  g  Fn  I )
122 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) )
123122ralimi 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  I  (
( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )
124123ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) )
12588elixp 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r )  <-> 
( g  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )
126121, 124, 125sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  g  e.  X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
127 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ph )
128127ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  ph )
12952ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  X_ x  e.  I  V )
130129, 117sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  y  e.  X_ x  e.  I  V )
131128, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
132130, 131eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  y  e.  B )
133 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
134133ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
135 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  x  ->  ( R `  y )  =  ( R `  x ) )
136135cbvmptv 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  I  |->  ( R `
 y ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x ) )
137136oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
13820, 137syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
139138fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
14014, 139syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
141140fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ball `  D
)  =  ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) )
142141proplem3 13609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y ( ball `  D ) r )  =  ( y (
ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) )
143 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
144 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
1456adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  S  e.  W )
1467adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  Fin )
1478a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( R `  x )  e.  _V )
148 metxmet 17915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
14912, 148syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
150149adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
151 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  B )
152138fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
15323, 152syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
154153adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
155151, 154eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
15675ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
r  e.  RR* )
157 rpgt0 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
158157ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
0  <  r )
159137, 143, 3, 4, 144, 145, 146, 147, 150, 155, 156, 158prdsbl 18053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r )  = 
X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
160142, 159eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y ( ball `  D ) r )  =  X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
161128, 132, 134, 160syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  = 
X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
162126, 161eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) )
163117, 162jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  (
y  e.  X_ x  e.  I  ( f `  x )  /\  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
164163ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  ( ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  /\  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) ) )
165164eximdv 1612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  ( E. y ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  E. y
( y  e.  X_ x  e.  I  (
f `  x )  /\  g  e.  (
y ( ball `  D
) r ) ) ) )
166 df-rex 2562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  X_  x  e.  I  ( f `  x ) g  e.  ( y ( ball `  D ) r )  <->  E. y ( y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  /\  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
167165, 166syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  ( E. y ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  E. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) ) )
168109, 167mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  E. y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) )
169168ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  ->  E. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) ) )
170 eliun 3925 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  <->  E. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) )
171169, 170syl6ibr 218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  ->  g  e. 
U_ y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r ) ) )
172171ssrdv 3198 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  B  C_  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r ) )
17385, 172eqssd 3209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  =  B )
174 iuneq1 3934 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  ->  U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  U_ y  e.  X_  x  e.  I  ( f `  x ) ( y ( ball `  D
) r ) )
175174eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  ->  ( U_ y  e.  v  (
y ( ball `  D
) r )  =  B  <->  U_ y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r )  =  B ) )
176175rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( (
X_ x  e.  I 
( f `  x
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  U_ y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r )  =  B )  ->  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v 
( y ( ball `  D ) r )  =  B )
17772, 173, 176syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  B )
178177ex 423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) )  ->  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v  ( y ( ball `  D ) r )  =  B ) )
179178exlimdv 1626 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. f ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )  ->  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  B ) )
18045, 179mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  B )
181180ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v 
( y ( ball `  D ) r )  =  B )
182 istotbnd3 26598 . 2  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  B
)  <->  ( D  e.  ( Met `  B
)  /\  A. r  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  B ) )
18328, 181, 182sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( TotBnd `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U_ciun 3921   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   X_cixp 6833   Fincfn 6879   0cc0 8753   RR*cxr 8882    < clt 8883   RR+crp 10370   Basecbs 13164   distcds 13233   X_scprds 13362   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   ballcbl 16387   TotBndctotbnd 26593
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  26622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-totbnd 26595
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