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Theorem prdstotbnd 26517
Description: The product metric over finite index set is totally bounded if all the factors are totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbnd.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbnd.v  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
prdsbnd.e  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsbnd.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsbnd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsbnd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsbnd.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdstotbnd.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( TotBnd `  V )
)
Assertion
Ref Expression
prdstotbnd  |-  ( ph  ->  D  e.  ( TotBnd `  B ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, B    ph, x    x, I    x, S    x, Y
Allowed substitution hints:    D( x)    E( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem prdstotbnd
Dummy variables  z 
r  f  g  v  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
3 prdsbnd.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
4 prdsbnd.e . . . 4  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
5 eqid 2438 . . . 4  |-  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
6 prdsbnd.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
7 prdsbnd.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
8 fvex 5745 . . . . 5  |-  ( R `
 x )  e. 
_V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  _V )
10 prdstotbnd.m . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( TotBnd `  V )
)
11 totbndmet 26495 . . . . 5  |-  ( E  e.  ( TotBnd `  V
)  ->  E  e.  ( Met `  V ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12prdsmet 18405 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) ) ) )
14 prdsbnd.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  Y
)
15 prdsbnd.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
16 prdsbnd.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
17 dffn5 5775 . . . . . . . 8  |-  ( R  Fn  I  <->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
1816, 17sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `
 x ) ) )
1918oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2015, 19syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2120fveq2d 5735 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2214, 21syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
23 prdsbnd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2420fveq2d 5735 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2523, 24syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2625fveq2d 5735 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Met `  B
)  =  ( Met `  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) ) )
2713, 22, 263eltr4d 2519 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
287adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  I  e.  Fin )
29 istotbnd3 26494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  ( TotBnd `  V
)  <->  ( E  e.  ( Met `  V
)  /\  A. r  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
3029simprbi 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ( TotBnd `  V
)  ->  A. r  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )
3110, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  A. r  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )
3231r19.21bi 2806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )
33 df-rex 2713 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V  <->  E. w
( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
34 rexv 2972 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  _V  (
w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  <->  E. w
( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
3533, 34bitr4i 245 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V  <->  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
3632, 35sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
3736an32s 781 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  I )  ->  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
3837ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  I  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
39 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ) )
40 iuneq1 4108 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r ) )
4140eqeq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  ( U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V  <->  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
4239, 41anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )  <->  ( ( f `
 x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )
4342ac6sfi 7354 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  E. w  e.  _V  (
w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) )  ->  E. f ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )
4428, 38, 43syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. f
( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )
45 elfpw 7411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( (
f `  x )  C_  V  /\  ( f `
 x )  e. 
Fin ) )
4645simplbi 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
f `  x )  C_  V )
4746adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( f `  x
)  C_  V )
4847ralimi 2783 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  C_  V )
4948ad2antll 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( f `  x )  C_  V
)
50 ss2ixp 7078 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  (
f `  x )  C_  V  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  X_ x  e.  I  V )
5149, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  X_ x  e.  I  V )
52 fnfi 7387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  R  e.  Fin )
5316, 7, 52syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
54 fndm 5547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  Fn  I  ->  dom  R  =  I )
5516, 54syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
5615, 6, 53, 23, 55prdsbas 13685 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
573rgenw 2775 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  I  V  =  ( Base `  ( R `  x ) )
58 ixpeq2 7079 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  I  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)  ->  X_ x  e.  I  V  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x ) ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  X_ x  e.  I  V  =  X_ x  e.  I  (
Base `  ( R `  x ) )
6056, 59syl6eqr 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
6160ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
6251, 61sseqtr4d 3387 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  B
)
6328adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  I  e.  Fin )
6445simprbi 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
f `  x )  e.  Fin )
6564adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( f `  x
)  e.  Fin )
6665ralimi 2783 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  Fin )
6766ad2antll 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )
68 ixpfi 7407 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )
6963, 67, 68syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )
70 elfpw 7411 . . . . . 6  |-  ( X_ x  e.  I  (
f `  x )  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  B  /\  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  e.  Fin )
)
7162, 69, 70sylanbrc 647 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
72 metxmet 18369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  ->  D  e.  ( * Met `  B
) )
7327, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
74 rpxr 10624 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
75 blssm 18453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  y  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
76753expa 1154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  B
)  /\  y  e.  B )  /\  r  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  C_  B )
7776an32s 781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  B
)  /\  r  e.  RR* )  /\  y  e.  B )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  C_  B )
7877ralrimiva 2791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  r  e.  RR* )  ->  A. y  e.  B  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
7973, 74, 78syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. y  e.  B  ( y
( ball `  D )
r )  C_  B
)
8079adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. y  e.  B  ( y
( ball `  D )
r )  C_  B
)
81 ssralv 3409 . . . . . . . 8  |-  ( X_ x  e.  I  (
f `  x )  C_  B  ->  ( A. y  e.  B  (
y ( ball `  D
) r )  C_  B  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B ) )
8262, 80, 81sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  C_  B
)
83 iunss 4134 . . . . . . 7  |-  ( U_ y  e.  X_  x  e.  I  ( f `  x ) ( y ( ball `  D
) r )  C_  B 
<-> 
A. y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
8482, 83sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  C_  B
)
8563adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  I  e.  Fin )
8661eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  <->  g  e.  X_ x  e.  I  V
) )
87 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  g  e. 
_V
8887elixp 7072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I  V 
<->  ( g  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V ) )
8988simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I  V  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
90 df-rex 2713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. z  e.  ( f `
 x ) ( g `  x )  e.  ( z (
ball `  E )
r )  <->  E. z
( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
91 eliun 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g `  x )  e.  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  <->  E. z  e.  ( f `  x
) ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )
92 rexv 2972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. z  e.  _V  (
z  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )  <->  E. z ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
9390, 91, 923bitr4i 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g `  x )  e.  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  <->  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
94 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r )  =  V  ->  ( (
g `  x )  e.  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  <-> 
( g `  x
)  e.  V ) )
9593, 94syl5bbr 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r )  =  V  ->  ( E. z  e.  _V  (
z  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )  <-> 
( g `  x
)  e.  V ) )
9695biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r )  =  V  ->  ( (
g `  x )  e.  V  ->  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
9796adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( ( g `  x )  e.  V  ->  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
9897ral2imi 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( A. x  e.  I  ( g `  x )  e.  V  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
9998ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( A. x  e.  I  (
g `  x )  e.  V  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
10089, 99syl5 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  X_ x  e.  I  V  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
10186, 100sylbid 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
102101imp 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
103 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
z  e.  ( f `
 x )  <->  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
104 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
z ( ball `  E
) r )  =  ( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
105104eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r )  <->  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
106103, 105anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )  <-> 
( ( y `  x )  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
107106ac6sfi 7354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  (
z  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )  ->  E. y
( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
10885, 102, 107syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  E. y ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) ) )
109 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y : I --> _V  ->  y  Fn  I )
110 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) )
111110ralimi 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  I  (
( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  A. x  e.  I 
( y `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
112109, 111anim12i 551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  ( y  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
113 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
114113elixp 7072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  <->  ( y  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
115112, 114sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  y  e.  X_ x  e.  I  ( f `  x ) )
116115adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
) )
11786biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  g  e.  X_ x  e.  I  V )
118 ixpfn 7071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I  V  ->  g  Fn  I
)
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  g  Fn  I )
120119adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  g  Fn  I )
121 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) )
122121ralimi 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  I  (
( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )
123122ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) )
12487elixp 7072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r )  <-> 
( g  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )
125120, 123, 124sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  g  e.  X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
126 simp-4l 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  ph )
12751ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  X_ x  e.  I  V )
128127, 116sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  y  e.  X_ x  e.  I  V )
129126, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
130128, 129eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  y  e.  B )
131 simp-4r 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
132 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  x  ->  ( R `  y )  =  ( R `  x ) )
133132cbvmptv 4303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  I  |->  ( R `
 y ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x ) )
134133oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
13520, 134syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
136135fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
13714, 136syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
138137fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ball `  D
)  =  ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) )
139138proplem3 13921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y ( ball `  D ) r )  =  ( y (
ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) )
140 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
141 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
1426adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  S  e.  W )
1437adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  Fin )
1448a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( R `  x )  e.  _V )
145 metxmet 18369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
14612, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
147146adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
148 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  B )
149135fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
15023, 149syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
151150adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
152148, 151eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
15374ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
r  e.  RR* )
154 rpgt0 10628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
155154ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
0  <  r )
156134, 140, 3, 4, 141, 142, 143, 144, 147, 152, 153, 155prdsbl 18526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r )  = 
X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
157139, 156eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y ( ball `  D ) r )  =  X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
158126, 130, 131, 157syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  = 
X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
159125, 158eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) )
160116, 159jca 520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  (
y  e.  X_ x  e.  I  ( f `  x )  /\  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
161160ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  ( ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  /\  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) ) )
162161eximdv 1633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  ( E. y ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  E. y
( y  e.  X_ x  e.  I  (
f `  x )  /\  g  e.  (
y ( ball `  D
) r ) ) ) )
163 df-rex 2713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  X_  x  e.  I  ( f `  x ) g  e.  ( y ( ball `  D ) r )  <->  E. y ( y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  /\  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
164162, 163syl6ibr 220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  ( E. y ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  E. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) ) )
165108, 164mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  E. y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) )
166165ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  ->  E. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) ) )
167 eliun 4099 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  <->  E. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) )
168166, 167syl6ibr 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  ->  g  e. 
U_ y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r ) ) )
169168ssrdv 3356 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  B  C_  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r ) )
17084, 169eqssd 3367 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  =  B )
171 iuneq1 4108 . . . . . . 7  |-  ( v  =  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  ->  U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  U_ y  e.  X_  x  e.  I  ( f `  x ) ( y ( ball `  D
) r ) )
172171eqeq1d 2446 . . . . . 6  |-  ( v  =  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  ->  ( U_ y  e.  v  (
y ( ball `  D
) r )  =  B  <->  U_ y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r )  =  B ) )
173172rspcev 3054 . . . . 5  |-  ( (
X_ x  e.  I 
( f `  x
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  U_ y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r )  =  B )  ->  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v 
( y ( ball `  D ) r )  =  B )
17471, 170, 173syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  B )
17544, 174exlimddv 1649 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  B )
176175ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v 
( y ( ball `  D ) r )  =  B )
177 istotbnd3 26494 . 2  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  B
)  <->  ( D  e.  ( Met `  B
)  /\  A. r  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  B ) )
17827, 176, 177sylanbrc 647 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( TotBnd `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   U_ciun 4095   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269    X. cxp 4879   dom cdm 4881    |` cres 4883    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   X_cixp 7066   Fincfn 7112   0cc0 8995   RR*cxr 9124    < clt 9125   RR+crp 10617   Basecbs 13474   distcds 13543   X_scprds 13674   * Metcxmt 16691   Metcme 16692   ballcbl 16693   TotBndctotbnd 26489
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  26518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-icc 10928  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-hom 13558  df-cco 13559  df-prds 13676  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-totbnd 26491
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