MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstps Unicode version

Theorem prdstps 17339
Description: A structure product of topologies is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstopn.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdstopn.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdstopn.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdstps.r  |-  ( ph  ->  R : I --> TopSp )
Assertion
Ref Expression
prdstps  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopSp )

Proof of Theorem prdstps
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstopn.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
2 prdstps.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R : I --> TopSp )
3 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( R : I --> TopSp  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  TopSp )
42, 3sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  TopSp )
5 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( R `  x
) )  =  (
Base `  ( R `  x ) )
6 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  ( R `  x ) )  =  ( TopOpen `  ( R `  x ) )
75, 6istps 16690 . . . . . 6  |-  ( ( R `  x )  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  ( R `  x ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )
84, 7sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  ( R `  x ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )
98ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( TopOpen `  ( R `  x ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )
10 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  ( TopOpen `  ( R `  x ) ) ) )  =  ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  ( TopOpen `  ( R `  x ) ) ) )
1110pttopon 17307 . . . 4  |-  ( ( I  e.  W  /\  A. x  e.  I  (
TopOpen `  ( R `  x ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
TopOpen `  ( R `  x ) ) ) )  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I  (
Base `  ( R `  x ) ) ) )
121, 9, 11syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
TopOpen `  ( R `  x ) ) ) )  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I  (
Base `  ( R `  x ) ) ) )
13 prdstopn.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
14 prdstopn.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
15 fex 5765 . . . . . . 7  |-  ( ( R : I --> TopSp  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
162, 1, 15syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
17 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
18 fdm 5409 . . . . . . 7  |-  ( R : I --> TopSp  ->  dom  R  =  I )
192, 18syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
20 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (TopSet `  Y )  =  (TopSet `  Y )
2113, 14, 16, 17, 19, 20prdstset 13381 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
22 topnfn 13346 . . . . . . . 8  |-  TopOpen  Fn  _V
23 dffn2 5406 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen  Fn 
_V 
<-> 
TopOpen : _V --> _V )
2422, 23mpbi 199 . . . . . . 7  |-  TopOpen : _V --> _V
25 ssv 3211 . . . . . . . 8  |-  TopSp  C_  _V
26 fss 5413 . . . . . . . 8  |-  ( ( R : I --> TopSp  /\  TopSp  C_ 
_V )  ->  R : I --> _V )
272, 25, 26sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R : I --> _V )
28 fcompt 5710 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen : _V --> _V  /\  R : I --> _V )  ->  ( TopOpen  o.  R )  =  ( x  e.  I  |->  ( TopOpen `  ( R `  x )
) ) )
2924, 27, 28sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R )  =  ( x  e.  I  |->  ( TopOpen `  ( R `  x )
) ) )
3029fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
TopOpen `  ( R `  x ) ) ) ) )
3121, 30eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
TopOpen `  ( R `  x ) ) ) ) )
3213, 14, 16, 17, 19prdsbas 13373 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
3332fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ph  ->  (TopOn `  ( Base `  Y ) )  =  (TopOn `  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x )
) ) )
3431, 33eleq12d 2364 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (TopSet `  Y
)  e.  (TopOn `  ( Base `  Y )
)  <->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
TopOpen `  ( R `  x ) ) ) )  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I  (
Base `  ( R `  x ) ) ) ) )
3512, 34mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )
3617, 20tsettps 16697 . 2  |-  ( (TopSet `  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y
) )  ->  Y  e.  TopSp )
3735, 36syl 15 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopSp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165    e. cmpt 4093   dom cdm 4705    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   X_cixp 6833   Basecbs 13164  TopSetcts 13230   TopOpenctopn 13342   Xt_cpt 13359   X_scprds 13362  TopOnctopon 16648   TopSpctps 16650
This theorem is referenced by:  pwstps  17340  xpstps  17517  prdstmdd  17822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656
  Copyright terms: Public domain W3C validator