MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstps Unicode version

Theorem prdstps 17575
Description: A structure product of topologies is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstopn.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdstopn.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdstopn.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdstps.r  |-  ( ph  ->  R : I --> TopSp )
Assertion
Ref Expression
prdstps  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopSp )

Proof of Theorem prdstps
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstopn.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
2 prdstps.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R : I --> TopSp )
32ffvelrnda 5802 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  TopSp )
4 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( R `  x
) )  =  (
Base `  ( R `  x ) )
5 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  ( R `  x ) )  =  ( TopOpen `  ( R `  x ) )
64, 5istps 16917 . . . . . 6  |-  ( ( R `  x )  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  ( R `  x ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )
73, 6sylib 189 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  ( R `  x ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )
87ralrimiva 2725 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( TopOpen `  ( R `  x ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )
9 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  ( TopOpen `  ( R `  x ) ) ) )  =  ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  ( TopOpen `  ( R `  x ) ) ) )
109pttopon 17542 . . . 4  |-  ( ( I  e.  W  /\  A. x  e.  I  (
TopOpen `  ( R `  x ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
TopOpen `  ( R `  x ) ) ) )  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I  (
Base `  ( R `  x ) ) ) )
111, 8, 10syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
TopOpen `  ( R `  x ) ) ) )  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I  (
Base `  ( R `  x ) ) ) )
12 prdstopn.y . . . . 5  |-  Y  =  ( S X_s R )
13 prdstopn.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
14 fex 5901 . . . . . 6  |-  ( ( R : I --> TopSp  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
152, 1, 14syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
16 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
17 fdm 5528 . . . . . 6  |-  ( R : I --> TopSp  ->  dom  R  =  I )
182, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
19 eqid 2380 . . . . 5  |-  (TopSet `  Y )  =  (TopSet `  Y )
2012, 13, 15, 16, 18, 19prdstset 13608 . . . 4  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
21 topnfn 13573 . . . . . . 7  |-  TopOpen  Fn  _V
22 dffn2 5525 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen  Fn 
_V 
<-> 
TopOpen : _V --> _V )
2321, 22mpbi 200 . . . . . 6  |-  TopOpen : _V --> _V
24 ssv 3304 . . . . . . 7  |-  TopSp  C_  _V
25 fss 5532 . . . . . . 7  |-  ( ( R : I --> TopSp  /\  TopSp  C_ 
_V )  ->  R : I --> _V )
262, 24, 25sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R : I --> _V )
27 fcompt 5836 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen : _V --> _V  /\  R : I --> _V )  ->  ( TopOpen  o.  R )  =  ( x  e.  I  |->  ( TopOpen `  ( R `  x )
) ) )
2823, 26, 27sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R )  =  ( x  e.  I  |->  ( TopOpen `  ( R `  x )
) ) )
2928fveq2d 5665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
TopOpen `  ( R `  x ) ) ) ) )
3020, 29eqtrd 2412 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
TopOpen `  ( R `  x ) ) ) ) )
3112, 13, 15, 16, 18prdsbas 13600 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
3231fveq2d 5665 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopOn `  ( Base `  Y ) )  =  (TopOn `  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x )
) ) )
3311, 30, 323eltr4d 2461 . 2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )
3416, 19tsettps 16924 . 2  |-  ( (TopSet `  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y
) )  ->  Y  e.  TopSp )
3533, 34syl 16 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopSp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   _Vcvv 2892    C_ wss 3256    e. cmpt 4200   dom cdm 4811    o. ccom 4815    Fn wfn 5382   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   X_cixp 6992   Basecbs 13389  TopSetcts 13455   TopOpenctopn 13569   Xt_cpt 13586   X_scprds 13589  TopOnctopon 16875   TopSpctps 16877
This theorem is referenced by:  pwstps  17576  xpstps  17756  prdstmdd  18067
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-fz 10969  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883
  Copyright terms: Public domain W3C validator