MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsvalstr Structured version   Unicode version

Theorem prdsvalstr 13668
Description: Structure product value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
prdsvalstr  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) ) Struct  <. 1 , ; 1 5 >.

Proof of Theorem prdsvalstr
StepHypRef Expression
1 unass 3496 . 2  |-  ( ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } )  u.  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } )  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) )
2 eqid 2435 . . . 4  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } )  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } )
32imasvalstr 13667 . . 3  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } ) Struct  <. 1 , ; 1 2 >.
4 1nn0 10229 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
5 4nn 10127 . . . . 5  |-  4  e.  NN
64, 5decnncl 10387 . . . 4  |- ; 1 4  e.  NN
7 homndx 13634 . . . 4  |-  (  Hom  `  ndx )  = ; 1 4
8 4nn0 10232 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
9 5nn 10128 . . . . 5  |-  5  e.  NN
10 4lt5 10140 . . . . 5  |-  4  <  5
114, 8, 9, 10declt 10395 . . . 4  |- ; 1 4  < ; 1 5
124, 9decnncl 10387 . . . 4  |- ; 1 5  e.  NN
13 ccondx 13636 . . . 4  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
146, 7, 11, 12, 13strle2 13553 . . 3  |-  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } Struct  <.; 1 4 , ; 1 5 >.
15 2nn0 10230 . . . 4  |-  2  e.  NN0
16 2lt4 10138 . . . 4  |-  2  <  4
174, 15, 5, 16declt 10395 . . 3  |- ; 1 2  < ; 1 4
183, 14, 17strleun 13551 . 2  |-  ( ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } )  u.  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) Struct  <. 1 , ; 1
5 >.
191, 18eqbrtrri 4225 1  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) ) Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    u. cun 3310   {cpr 3807   {ctp 3808   <.cop 3809   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   1c1 8983   2c2 10041   4c4 10043   5c5 10044  ;cdc 10374   Struct cstr 13457   ndxcnx 13458   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525  TopSetcts 13527   lecple 13528   distcds 13530    Hom chom 13532  compcco 13533
This theorem is referenced by:  prdsvallem  13669
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546
  Copyright terms: Public domain W3C validator