Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsvsca Structured version   Unicode version

Theorem prdsvsca 13675
 Description: Scalar multiplication in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p s
prdsbas.s
prdsbas.r
prdsbas.b
prdsbas.i
prdsvsca.k
prdsvsca.m
Assertion
Ref Expression
prdsvsca
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,,)   (,,)

Proof of Theorem prdsvsca
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3 s
2 prdsvsca.k . . 3
3 prdsbas.i . . 3
4 prdsbas.s . . . 4
5 prdsbas.r . . . 4
6 prdsbas.b . . . 4
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 13672 . . 3
8 eqid 2435 . . . 4
91, 4, 5, 6, 3, 8prdsplusg 13673 . . 3
10 eqid 2435 . . . 4
111, 4, 5, 6, 3, 10prdsmulr 13674 . . 3
12 eqidd 2436 . . 3
13 eqidd 2436 . . 3
14 eqidd 2436 . . 3
15 eqidd 2436 . . 3
16 eqidd 2436 . . 3
17 eqidd 2436 . . 3 comp comp
181, 2, 3, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 4, 5prdsval 13670 . 2 Scalar TopSet comp comp
19 prdsvsca.m . 2
20 vscaid 13584 . 2 Slot
21 ovssunirn 6099 . . . . . . . . . . 11
2220strfvss 13479 . . . . . . . . . . . . 13
23 fvssunirn 5746 . . . . . . . . . . . . . 14
24 rnss 5090 . . . . . . . . . . . . . 14
25 uniss 4028 . . . . . . . . . . . . . 14
2623, 24, 25mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13
2722, 26sstri 3349 . . . . . . . . . . . 12
28 rnss 5090 . . . . . . . . . . . 12
29 uniss 4028 . . . . . . . . . . . 12
3027, 28, 29mp2b 10 . . . . . . . . . . 11
3121, 30sstri 3349 . . . . . . . . . 10
32 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11
3332elpw 3797 . . . . . . . . . 10
3431, 33mpbir 201 . . . . . . . . 9
3534a1i 11 . . . . . . . 8
36 eqid 2435 . . . . . . . 8
3735, 36fmptd 5885 . . . . . . 7
38 rnexg 5123 . . . . . . . . . . . 12
39 uniexg 4698 . . . . . . . . . . . 12
405, 38, 393syl 19 . . . . . . . . . . 11
41 rnexg 5123 . . . . . . . . . . 11
42 uniexg 4698 . . . . . . . . . . 11
4340, 41, 423syl 19 . . . . . . . . . 10
44 rnexg 5123 . . . . . . . . . 10
45 uniexg 4698 . . . . . . . . . 10
4643, 44, 453syl 19 . . . . . . . . 9
47 pwexg 4375 . . . . . . . . 9
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8
49 dmexg 5122 . . . . . . . . . 10
505, 49syl 16 . . . . . . . . 9
513, 50eqeltrrd 2510 . . . . . . . 8
52 elmapg 7023 . . . . . . . 8
5348, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . 7
5437, 53mpbird 224 . . . . . 6
5554ralrimivw 2782 . . . . 5
5655ralrimivw 2782 . . . 4
57 eqid 2435 . . . . 5
5857fmpt2 6410 . . . 4
5956, 58sylib 189 . . 3
60 fvex 5734 . . . . . 6
612, 60eqeltri 2505 . . . . 5
62 fvex 5734 . . . . . 6
636, 62eqeltri 2505 . . . . 5
6461, 63xpex 4982 . . . 4
65 ovex 6098 . . . 4
66 fex2 5595 . . . 4
6764, 65, 66mp3an23 1271 . . 3
6859, 67syl 16 . 2
69 snsspr2 3940 . . . 4 Scalar
70 ssun2 3503 . . . 4 Scalar Scalar
7169, 70sstri 3349 . . 3 Scalar
72 ssun1 3502 . . 3 Scalar Scalar TopSet comp comp
7371, 72sstri 3349 . 2 Scalar TopSet comp comp
7418, 19, 20, 68, 73prdsvallem 13669 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cvv 2948   cun 3310   wss 3312  cpw 3791  csn 3806  cpr 3807  ctp 3808  cop 3809  cuni 4007   class class class wbr 4204  copab 4257   cmpt 4258   cxp 4868   cdm 4870   crn 4871   ccom 4874  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  c1st 6339  c2nd 6340   cmap 7010  cixp 7055  csup 7437  cc0 8982  cxr 9111   clt 9112  cnx 13458  cbs 13461   cplusg 13521  cmulr 13522  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  TopSetcts 13527  cple 13528  cds 13530   chom 13532  compcco 13533  ctopn 13641  cpt 13658  scprds 13661 This theorem is referenced by:  prdsle  13676  prdsds  13678  prdstset  13680  prdshom  13681  prdsco  13682  prdsvscaval  13693 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663
 Copyright terms: Public domain W3C validator