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Theorem prdsvsca 13603
Description: Scalar multiplication in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p  |-  P  =  ( S X_s R )
prdsbas.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbas.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
prdsbas.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
prdsbas.i  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
prdsvsca.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
prdsvsca.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
Assertion
Ref Expression
prdsvsca  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, B    f, K, g    ph, f, g, x    f, I, g, x    P, f, g, x    R, f, g, x    S, f, g, x
Allowed substitution hints:    .x. ( x, f, g)    K( x)    V( x, f, g)    W( x, f, g)

Proof of Theorem prdsvsca
Dummy variables  a 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3  |-  P  =  ( S X_s R )
2 prdsvsca.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  S
)
3 prdsbas.i . . 3  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
4 prdsbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
5 prdsbas.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
6 prdsbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 13600 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
8 eqid 2380 . . . 4  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
91, 4, 5, 6, 3, 8prdsplusg 13601 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +g  `  P
)  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
10 eqid 2380 . . . 4  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
111, 4, 5, 6, 3, 10prdsmulr 13602 . . 3  |-  ( ph  ->  ( .r `  P
)  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
12 eqidd 2381 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
13 eqidd 2381 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
14 eqidd 2381 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  B  /\  A. x  e.  I  (
f `  x )
( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) } )
15 eqidd 2381 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
16 eqidd 2381 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
17 eqidd 2381 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )  =  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) )
181, 2, 3, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 4, 5prdsval 13598 . 2  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( .r `  P ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  B  /\  A. x  e.  I  (
f `  x )
( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
19 prdsvsca.m . 2  |-  .x.  =  ( .s `  P )
20 vscaid 13512 . 2  |-  .s  = Slot  ( .s `  ndx )
21 ovssunirn 6039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  ( .s `  ( R `  x ) )
2220strfvss 13407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .s
`  ( R `  x ) )  C_  U.
ran  ( R `  x )
23 fvssunirn 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R `
 x )  C_  U.
ran  R
24 rnss 5031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R `  x ) 
C_  U. ran  R  ->  ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R )
25 uniss 3971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R  ->  U. ran  ( R `
 x )  C_  U.
ran  U. ran  R )
2623, 24, 25mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  ( R `  x ) 
C_  U. ran  U. ran  R
2722, 26sstri 3293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
`  ( R `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  R
28 rnss 5031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( .s `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  R  ->  ran  ( .s `  ( R `  x
) )  C_  ran  U.
ran  U. ran  R )
29 uniss 3971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( .s `  ( R `  x )
)  C_  ran  U. ran  U.
ran  R  ->  U. ran  ( .s `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  U.
ran  R )
3027, 28, 29mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ran  ( .s `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  U.
ran  R
3121, 30sstri 3293 . . . . . . . . . 10  |-  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  U. ran  R
32 ovex 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
_V
3332elpw 3741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R  <->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) )  C_  U. ran  U.
ran  U. ran  R )
3431, 33mpbir 201 . . . . . . . . 9  |-  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R
3534a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R )
36 eqid 2380 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) )
3735, 36fmptd 5825 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R )
38 rnexg 5064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  W  ->  ran  R  e.  _V )
39 uniexg 4639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
R  e.  _V  ->  U.
ran  R  e.  _V )
405, 38, 393syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ran  R  e. 
_V )
41 rnexg 5064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  R  e.  _V  ->  ran  U. ran  R  e.  _V )
42 uniexg 4639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
4340, 41, 423syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
44 rnexg 5064 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  U. ran  R  e. 
_V  ->  ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
45 uniexg 4639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V )
4643, 44, 453syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. ran  U. ran  U.
ran  R  e.  _V )
47 pwexg 4317 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V  ->  ~P U.
ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V )
49 dmexg 5063 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  W  ->  dom  R  e.  _V )
505, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  R  e.  _V )
513, 50eqeltrrd 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
52 elmapg 6960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V  /\  I  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R ) )
5348, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) )  e.  ( ~P U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R ) )
5437, 53mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5554ralrimivw 2726 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. g  e.  B  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5655ralrimivw 2726 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  K  A. g  e.  B  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
57 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )
5857fmpt2 6350 . . . 4  |-  ( A. f  e.  K  A. g  e.  B  (
x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) ) : ( K  X.  B ) --> ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5956, 58sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) : ( K  X.  B
) --> ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
60 fvex 5675 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  e.  _V
612, 60eqeltri 2450 . . . . 5  |-  K  e. 
_V
62 fvex 5675 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  e.  _V
636, 62eqeltri 2450 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
6461, 63xpex 4923 . . . 4  |-  ( K  X.  B )  e. 
_V
65 ovex 6038 . . . 4  |-  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e.  _V
66 fex2 5536 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) : ( K  X.  B
) --> ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  /\  ( K  X.  B
)  e.  _V  /\  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e.  _V )  ->  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )  e.  _V )
6764, 65, 66mp3an23 1271 . . 3  |-  ( ( f  e.  K , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) : ( K  X.  B ) --> ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  ->  (
f  e.  K , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  e.  _V )
6859, 67syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  e. 
_V )
69 snsspr2 3884 . . . 4  |-  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }  C_  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }
70 ssun2 3447 . . . 4  |-  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( .r `  P ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. } )
7169, 70sstri 3293 . . 3  |-  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( .r `  P ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. } )
72 ssun1 3446 . . 3  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( .r `  P ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. } )  C_  (
( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   _Vcvv 2892    u. cun 3254    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735   {csn 3750   {cpr 3751   {ctp 3752   <.cop 3753   U.cuni 3950   class class class wbr 4146   {copab 4199    e. cmpt 4200    X. cxp 4809   dom cdm 4811   ran crn 4812    o. ccom 4815   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    e. cmpt2 6015   1stc1st 6279   2ndc2nd 6280    ^m cmap 6947   X_cixp 6992   supcsup 7373   0cc0 8916   RR*cxr 9045    < clt 9046   ndxcnx 13386   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   .rcmulr 13450  Scalarcsca 13452   .scvsca 13453  TopSetcts 13455   lecple 13456   distcds 13458    Hom chom 13460  compcco 13461   TopOpenctopn 13569   Xt_cpt 13586   X_scprds 13589
This theorem is referenced by:  prdsle  13604  prdsds  13606  prdstset  13608  prdshom  13609  prdsco  13610  prdsvscaval  13621
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-fz 10969  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-hom 13473  df-cco 13474  df-prds 13591
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