MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmet Unicode version

Theorem prdsxmet 17933
Description: The product metric is an extended metric. Eliminate disjoint variable conditions from prdsxmetlem 17932. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsdsf.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsdsf.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsdsf.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsdsf.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsdsf.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsdsf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
prdsdsf.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsdsf.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
Assertion
Ref Expression
prdsxmet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
Distinct variable groups:    x, I    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsxmet
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsdsf.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ y R
3 nfcsb1v 3113 . . . . 5  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ R
4 csbeq1a 3089 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  R  =  [_ y  /  x ]_ R )
52, 3, 4cbvmpt 4110 . . . 4  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( y  e.  I  |->  [_ y  /  x ]_ R )
65oveq2i 5869 . . 3  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  R ) )  =  ( S X_s ( y  e.  I  |-> 
[_ y  /  x ]_ R ) )
71, 6eqtri 2303 . 2  |-  Y  =  ( S X_s ( y  e.  I  |-> 
[_ y  /  x ]_ R ) )
8 prdsdsf.b . 2  |-  B  =  ( Base `  Y
)
9 eqid 2283 . 2  |-  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  =  (
Base `  [_ y  /  x ]_ R )
10 eqid 2283 . 2  |-  ( (
dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
11 prdsdsf.d . 2  |-  D  =  ( dist `  Y
)
12 prdsdsf.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
13 prdsdsf.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
14 prdsdsf.r . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
15 elex 2796 . . . . 5  |-  ( R  e.  Z  ->  R  e.  _V )
1614, 15syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  _V )
1716ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  _V )
183nfel1 2429 . . . 4  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ R  e.  _V
194eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( R  e.  _V  <->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V ) )
2018, 19rspc 2878 . . 3  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  R  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V )
)
2117, 20mpan9 455 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  [_ y  /  x ]_ R  e. 
_V )
22 prdsdsf.m . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
2322ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  E  e.  ( * Met `  V ) )
24 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ x dist
2524, 3nffv 5532 . . . . . 6  |-  F/_ x
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )
26 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ x Base
2726, 3nffv 5532 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( Base `  [_ y  /  x ]_ R )
2827, 27nfxp 4715 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
2925, 28nfres 4957 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
30 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ x * Met
3130, 27nffv 5532 . . . . 5  |-  F/_ x
( * Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
3229, 31nfel 2427 . . . 4  |-  F/ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
33 prdsdsf.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
344fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( dist `  R )  =  ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) )
35 prdsdsf.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  R
)
364fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
3735, 36syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  V  =  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
3837, 37xpeq12d 4714 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( V  X.  V )  =  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
3934, 38reseq12d 4956 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( dist `  R )  |`  ( V  X.  V
) )  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) ) )
4033, 39syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  E  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  (
( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) ) )
4137fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( * Met `  V )  =  ( * Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
4240, 41eleq12d 2351 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E  e.  ( * Met `  V )  <->  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) ) )
4332, 42rspc 2878 . . 3  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  E  e.  ( * Met `  V )  -> 
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) ) )
4423, 43mpan9 455 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
457, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 21, 44prdsxmetlem 17932 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   [_csb 3081    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    |` cres 4691   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   distcds 13217   X_scprds 13346   * Metcxmt 16369
This theorem is referenced by:  prdsmet  17934  xpsxmetlem  17943  prdsbl  18037  prdsxmslem1  18074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-xmet 16373
  Copyright terms: Public domain W3C validator