Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmetlem Unicode version

Theorem prdsxmetlem 17948
 Description: The product metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y s
prdsdsf.b
prdsdsf.v
prdsdsf.e
prdsdsf.d
prdsdsf.s
prdsdsf.i
prdsdsf.r
prdsdsf.m
Assertion
Ref Expression
prdsxmetlem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdsxmetlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsdsf.b . . . 4
2 fvex 5555 . . . 4
31, 2eqeltri 2366 . . 3
43a1i 10 . 2
5 prdsdsf.y . . . 4 s
6 prdsdsf.v . . . 4
7 prdsdsf.e . . . 4
8 prdsdsf.d . . . 4
9 prdsdsf.s . . . 4
10 prdsdsf.i . . . 4
11 prdsdsf.r . . . 4
12 prdsdsf.m . . . 4
135, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12prdsdsf 17947 . . 3
14 iccssxr 10748 . . 3
15 fss 5413 . . 3
1613, 14, 15sylancl 643 . 2
1713adantr 451 . . . 4
18 simprl 732 . . . 4
19 simprr 733 . . . 4
20 fovrn 6006 . . . 4
2117, 18, 19, 20syl3anc 1182 . . 3
22 elxrge0 10763 . . . 4
2322simprbi 450 . . 3
2421, 23syl 15 . 2
259adantr 451 . . . . 5
2610adantr 451 . . . . 5
2711ralrimiva 2639 . . . . . 6
2827adantr 451 . . . . 5
295, 1, 25, 26, 28, 18, 19, 6, 7, 8prdsdsval3 13400 . . . 4
3029breq1d 4049 . . 3
3112adantlr 695 . . . . . . . 8
325, 1, 25, 26, 28, 6, 18prdsbascl 13398 . . . . . . . . 9
3332r19.21bi 2654 . . . . . . . 8
345, 1, 25, 26, 28, 6, 19prdsbascl 13398 . . . . . . . . 9
3534r19.21bi 2654 . . . . . . . 8
36 xmetcl 17912 . . . . . . . 8
3731, 33, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . 7
38 eqid 2296 . . . . . . 7
3937, 38fmptd 5700 . . . . . 6
40 frn 5411 . . . . . 6
4139, 40syl 15 . . . . 5
42 0xr 8894 . . . . . . 7
4342a1i 10 . . . . . 6
4443snssd 3776 . . . . 5
4541, 44unssd 3364 . . . 4
46 supxrleub 10661 . . . 4
4745, 42, 46sylancl 643 . . 3
48 0le0 9843 . . . . . . 7
49 c0ex 8848 . . . . . . . 8
50 breq1 4042 . . . . . . . 8
5149, 50ralsn 3687 . . . . . . 7
5248, 51mpbir 200 . . . . . 6
53 ralunb 3369 . . . . . 6
5452, 53mpbiran2 885 . . . . 5
55 ovex 5899 . . . . . . 7
5655rgenw 2623 . . . . . 6
57 breq1 4042 . . . . . . 7
5838, 57ralrnmpt 5685 . . . . . 6
5956, 58ax-mp 8 . . . . 5
6054, 59bitri 240 . . . 4
61 xmetge0 17925 . . . . . . . . 9
6231, 33, 35, 61syl3anc 1182 . . . . . . . 8
6362biantrud 493 . . . . . . 7
64 xrletri3 10502 . . . . . . . 8
6537, 42, 64sylancl 643 . . . . . . 7
66 xmeteq0 17919 . . . . . . . 8
6731, 33, 35, 66syl3anc 1182 . . . . . . 7
6863, 65, 673bitr2d 272 . . . . . 6
6968ralbidva 2572 . . . . 5
70 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
7170fnmpt 5386 . . . . . . . . 9
7227, 71syl 15 . . . . . . . 8
7372adantr 451 . . . . . . 7
745, 1, 25, 26, 73, 18prdsbasfn 13386 . . . . . 6
755, 1, 25, 26, 73, 19prdsbasfn 13386 . . . . . 6
76 eqfnfv 5638 . . . . . 6
7774, 75, 76syl2anc 642 . . . . 5
7869, 77bitr4d 247 . . . 4
7960, 78syl5bb 248 . . 3
8030, 47, 793bitrd 270 . 2
81293adantr3 1116 . . . 4
83123ad2antl1 1117 . . . . . . . . . 10
84323adantr3 1116 . . . . . . . . . . . 12
85843adant3 975 . . . . . . . . . . 11
8685r19.21bi 2654 . . . . . . . . . 10
87343adantr3 1116 . . . . . . . . . . . 12
88873adant3 975 . . . . . . . . . . 11
8988r19.21bi 2654 . . . . . . . . . 10
9083, 86, 89, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
9193ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14
92103ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14
93273ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14
94 simp23 990 . . . . . . . . . . . . . 14
955, 1, 91, 92, 93, 6, 94prdsbascl 13398 . . . . . . . . . . . . 13
9695r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . 12
97 xmetcl 17912 . . . . . . . . . . . 12
9883, 96, 86, 97syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
99 simp3l 983 . . . . . . . . . . . 12
10099adantr 451 . . . . . . . . . . 11
101 xmetge0 17925 . . . . . . . . . . . 12
10283, 96, 86, 101syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
103 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10498, 103fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106104, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
10742a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108107snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . 15
109106, 108unssd 3364 . . . . . . . . . . . . . 14
110109adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
111 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . . 14
112 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
113112elabrex 5781 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114113adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
115103rnmpt 4941 . . . . . . . . . . . . . . 15
116114, 115syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . . . 14
117111, 116sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13
118 supxrub 10659 . . . . . . . . . . . . 13
119110, 117, 118syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
120 simp21 988 . . . . . . . . . . . . . 14
1215, 1, 91, 92, 93, 94, 120, 6, 7, 8prdsdsval3 13400 . . . . . . . . . . . . 13
122121adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
123119, 122breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . 11
124 xrrege0 10519 . . . . . . . . . . 11
12598, 100, 102, 123, 124syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10
126 xmetcl 17912 . . . . . . . . . . . 12
12783, 96, 89, 126syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
128 simp3r 984 . . . . . . . . . . . 12
129128adantr 451 . . . . . . . . . . 11
130 xmetge0 17925 . . . . . . . . . . . 12
13183, 96, 89, 130syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
132 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
133127, 132fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . . . . 16
134 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . 16
135133, 134syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
136135, 108unssd 3364 . . . . . . . . . . . . . 14
137136adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
138 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . . 14
139 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
140139elabrex 5781 . . . . . . . . . . . . . . . 16
141140adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
142132rnmpt 4941 . . . . . . . . . . . . . . 15
143141, 142syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . . . 14
144138, 143sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13
145 supxrub 10659 . . . . . . . . . . . . 13
146137, 144, 145syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
147 simp22 989 . . . . . . . . . . . . . 14
1485, 1, 91, 92, 93, 94, 147, 6, 7, 8prdsdsval3 13400 . . . . . . . . . . . . 13
149148adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
150146, 149breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . 11
151 xrrege0 10519 . . . . . . . . . . 11
152127, 129, 131, 150, 151syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10
153125, 152readdcld 8878 . . . . . . . . 9
15483, 86, 89, 61syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
155 xmettri2 17921 . . . . . . . . . . 11
15683, 96, 86, 89, 155syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10
157 rexadd 10575 . . . . . . . . . . 11
158125, 152, 157syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
159156, 158breqtrd 4063 . . . . . . . . 9
160 xrrege0 10519 . . . . . . . . 9
16190, 153, 154, 159, 160syl22anc 1183 . . . . . . . 8
162 readdcl 8836 . . . . . . . . . 10
1631623ad2ant3 978 . . . . . . . . 9
164163adantr 451 . . . . . . . 8
165125, 152, 100, 129, 123, 150le2addd 9406 . . . . . . . 8
166161, 153, 164, 159, 165letrd 8989 . . . . . . 7
167166ralrimiva 2639 . . . . . 6
16890ralrimiva 2639 . . . . . . 7
169 breq1 4042 . . . . . . . 8
17038, 169ralrnmpt 5685 . . . . . . 7
171168, 170syl 15 . . . . . 6
172167, 171mpbird 223 . . . . 5
173133ad2ant1 976 . . . . . . . . 9
174 fovrn 6006 . . . . . . . . 9
175173, 94, 120, 174syl3anc 1182 . . . . . . . 8
176 elxrge0 10763 . . . . . . . . 9
177176simprbi 450 . . . . . . . 8
178175, 177syl 15 . . . . . . 7
179 fovrn 6006 . . . . . . . . 9
180173, 94, 147, 179syl3anc 1182 . . . . . . . 8
181 elxrge0 10763 . . . . . . . . 9
182181simprbi 450 . . . . . . . 8
183180, 182syl 15 . . . . . . 7
18499, 128, 178, 183addge0d 9364 . . . . . 6
185 breq1 4042 . . . . . . 7
18649, 185ralsn 3687 . . . . . 6
187184, 186sylibr 203 . . . . 5
188 ralunb 3369 . . . . 5
189172, 187, 188sylanbrc 645 . . . 4
190453adantr3 1116 . . . . . 6
1911903adant3 975 . . . . 5
192163rexrd 8897 . . . . 5
193 supxrleub 10661 . . . . 5
194191, 192, 193syl2anc 642 . . . 4
195189, 194mpbird 223 . . 3
19682, 195eqbrtrd 4059 . 2
1974, 16, 24, 80, 196isxmet2d 17908 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  cab 2282  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   cun 3163   wss 3165  csn 3653   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cxp 4703   crn 4706   cres 4707   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  csup 7209  cr 8752  cc0 8753   caddc 8756   cpnf 8880  cxr 8882   clt 8883   cle 8884  cxad 10466  cicc 10675  cbs 13164  cds 13233  scprds 13362  cxmt 16385 This theorem is referenced by:  prdsxmet  17949 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-xmet 16389
 Copyright terms: Public domain W3C validator