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Theorem prdsxmetlem 18400
Description: The product metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsdsf.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsdsf.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsdsf.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsdsf.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsdsf.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsdsf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
prdsdsf.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsdsf.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
Assertion
Ref Expression
prdsxmetlem  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
Distinct variable groups:    x, I    ph, x    x, B    x, D
Allowed substitution hints:    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsxmetlem
Dummy variables  f 
g  h  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsdsf.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2 fvex 5744 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
31, 2eqeltri 2508 . . 3  |-  B  e. 
_V
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
5 prdsdsf.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
6 prdsdsf.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  R
)
7 prdsdsf.e . . . 4  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
8 prdsdsf.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  Y
)
9 prdsdsf.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
10 prdsdsf.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
11 prdsdsf.r . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
12 prdsdsf.m . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
135, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12prdsdsf 18399 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo )
)
14 iccssxr 10995 . . 3  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
15 fss 5601 . . 3  |-  ( ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR* )  ->  D : ( B  X.  B ) --> RR* )
1613, 14, 15sylancl 645 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> RR* )
1713fovrnda 6219 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
18 elxrge0 11010 . . . 4  |-  ( ( f D g )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( (
f D g )  e.  RR*  /\  0  <_  ( f D g ) ) )
1918simprbi 452 . . 3  |-  ( ( f D g )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  ( f D g ) )
2017, 19syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  <_  ( f D g ) )
219adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  W )
2210adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  X )
2311ralrimiva 2791 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
2423adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
25 simprl 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
26 simprr 735 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
275, 1, 21, 22, 24, 25, 26, 6, 7, 8prdsdsval3 13709 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
2827breq1d 4224 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ( f D g )  <_  0  <->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  0
) )
2912adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
305, 1, 21, 22, 24, 6, 25prdsbascl 13707 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
3130r19.21bi 2806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  e.  V )
325, 1, 21, 22, 24, 6, 26prdsbascl 13707 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
3332r19.21bi 2806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
g `  x )  e.  V )
34 xmetcl 18363 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( f `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR* )
3529, 31, 33, 34syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR* )
36 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )
3735, 36fmptd 5895 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I -->
RR* )
38 frn 5599 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR* )
3937, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR* )
40 0xr 9133 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
4140a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR* )
4241snssd 3945 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  { 0 }  C_  RR* )
4339, 42unssd 3525 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
44 supxrleub 10907 . . . 4  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  0 ) )
4543, 40, 44sylancl 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) z  <_  0 ) )
46 0le0 10083 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
47 c0ex 9087 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
48 breq1 4217 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  0  ->  (
z  <_  0  <->  0  <_  0 ) )
4947, 48ralsn 3851 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  { 0 } z  <_  0  <->  0  <_  0 )
5046, 49mpbir 202 . . . . . 6  |-  A. z  e.  { 0 } z  <_  0
51 ralunb 3530 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  0  <->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_  0  /\  A. z  e.  { 0 } z  <_  0
) )
5250, 51mpbiran2 887 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  0  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) ) z  <_  0 )
53 ovex 6108 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
_V
5453rgenw 2775 . . . . . 6  |-  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
_V
55 breq1 4217 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  ->  (
z  <_  0  <->  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
0 ) )
5636, 55ralrnmpt 5880 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_ 
0  <->  A. x  e.  I 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  0 ) )
5754, 56ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_  0  <->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
0 )
5852, 57bitri 242 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  0  <->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
0 )
59 xmetge0 18376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( f `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  0  <_  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )
6029, 31, 33, 59syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )
6160biantrud 495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  0  <->  ( (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  0  /\  0  <_  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) ) )
62 xrletri3 10747 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  =  0  <->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  0  /\  0  <_  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) ) ) )
6335, 40, 62sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  =  0  <->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  0  /\  0  <_  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) ) ) )
64 xmeteq0 18370 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( f `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  =  0  <->  ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
6529, 31, 33, 64syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  =  0  <->  (
f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
6661, 63, 653bitr2d 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  0  <->  ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
6766ralbidva 2723 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( A. x  e.  I  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  <_  0  <->  A. x  e.  I  ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
68 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( x  e.  I  |->  R )
6968fnmpt 5573 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  R  e.  Z  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I )
7023, 69syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I
)
7170adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( x  e.  I  |->  R )  Fn  I
)
725, 1, 21, 22, 71, 25prdsbasfn 13695 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  Fn  I )
735, 1, 21, 22, 71, 26prdsbasfn 13695 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  Fn  I )
74 eqfnfv 5829 . . . . . 6  |-  ( ( f  Fn  I  /\  g  Fn  I )  ->  ( f  =  g  <->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
7572, 73, 74syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f  =  g  <->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
7667, 75bitr4d 249 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( A. x  e.  I  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  <_  0  <->  f  =  g ) )
7758, 76syl5bb 250 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_  0  <->  f  =  g ) )
7828, 45, 773bitrd 272 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ( f D g )  <_  0  <->  f  =  g ) )
79273adantr3 1119 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
80793adant3 978 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( f D g )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
81123ad2antl1 1120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
82303adantr3 1119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
83823adant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  V
)
8483r19.21bi 2806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  e.  V )
85323adantr3 1119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
86853adant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  ( g `  x )  e.  V
)
8786r19.21bi 2806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
g `  x )  e.  V )
8881, 84, 87, 34syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR* )
8993ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  S  e.  W )
90103ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  I  e.  X )
91233ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
92 simp23 993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  h  e.  B )
935, 1, 89, 90, 91, 6, 92prdsbascl 13707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  ( h `  x )  e.  V
)
9493r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
h `  x )  e.  V )
95 xmetcl 18363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( h `  x )  e.  V  /\  ( f `  x
)  e.  V )  ->  ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) )  e.  RR* )
9681, 94, 84, 95syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  RR* )
97 simp3l 986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D f )  e.  RR )
9897adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
h D f )  e.  RR )
99 xmetge0 18376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( h `  x )  e.  V  /\  ( f `  x
)  e.  V )  ->  0  <_  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) ) )
10081, 94, 84, 99syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )
101 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) ) )
10296, 101fmptd 5895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) ) : I --> RR* )
103 frn 5599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  C_  RR* )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) ) 
C_  RR* )
10540a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  0  e.  RR* )
106105snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  { 0 }  C_  RR* )
107104, 106unssd 3525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
108107adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
109 ssun1 3512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) )  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )
110 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  e. 
_V
111110elabrex 5987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  I  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  { z  |  E. x  e.  I 
z  =  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) } )
112111adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  { z  |  E. x  e.  I 
z  =  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) } )
113101rnmpt 5118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) )  =  { z  |  E. x  e.  I  z  =  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) }
114112, 113syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) ) )
115109, 114sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
116 supxrub 10905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  <_  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
117108, 115, 116syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
118 simp21 991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  f  e.  B )
1195, 1, 89, 90, 91, 92, 118, 6, 7, 8prdsdsval3 13709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D f )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
120119adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
h D f )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
121117, 120breqtrrd 4240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  <_  ( h D f ) )
122 xrrege0 10764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) )  e.  RR*  /\  ( h D f )  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  /\  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  <_ 
( h D f ) ) )  -> 
( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  e.  RR )
12396, 98, 100, 121, 122syl22anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  RR )
124 xmetcl 18363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( h `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR* )
12581, 94, 87, 124syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR* )
126 simp3r 987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D g )  e.  RR )
127126adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
h D g )  e.  RR )
128 xmetge0 18376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( h `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  0  <_  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )
12981, 94, 87, 128syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )
130 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) ) )
131125, 130fmptd 5895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I --> RR* )
132 frn 5599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR* )
133131, 132syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) ) 
C_  RR* )
134133, 106unssd 3525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
135134adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
136 ssun1 3512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )
137 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
_V
138137elabrex 5987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  I  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  { z  |  E. x  e.  I 
z  =  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) } )
139138adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  { z  |  E. x  e.  I 
z  =  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) } )
140130rnmpt 5118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  =  { z  |  E. x  e.  I  z  =  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) }
141139, 140syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) ) )
142136, 141sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
143 supxrub 10905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
144135, 142, 143syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
145 simp22 992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  g  e.  B )
1465, 1, 89, 90, 91, 92, 145, 6, 7, 8prdsdsval3 13709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D g )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
147146adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
h D g )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
148144, 147breqtrrd 4240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  ( h D g ) )
149 xrrege0 10764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR*  /\  ( h D g )  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( h D g ) ) )  -> 
( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR )
150125, 127, 129, 148, 149syl22anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
151123, 150readdcld 9117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  +  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  e.  RR )
15281, 84, 87, 59syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )
153 xmettri2 18372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( ( h `
 x )  e.  V  /\  ( f `
 x )  e.  V  /\  ( g `
 x )  e.  V ) )  -> 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  ( (
( h `  x
) E ( f `
 x ) ) + e ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) ) )
15481, 94, 84, 87, 153syl13anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  ( ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) + e ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) ) ) )
155 rexadd 10820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  e.  RR  /\  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) + e ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) ) )  =  ( ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) )  +  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) ) )
156123, 150, 155syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) + e ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  =  ( ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) )  +  ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) ) ) )
157154, 156breqtrd 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  ( ( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  +  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) ) )
158 xrrege0 10764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR*  /\  ( ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) )  +  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) )  +  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) ) ) )  -> 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR )
15988, 151, 152, 157, 158syl22anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
160 readdcl 9075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR )  ->  ( ( h D f )  +  ( h D g ) )  e.  RR )
1611603ad2ant3 981 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  e.  RR )
162161adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h D f )  +  ( h D g ) )  e.  RR )
163123, 150, 98, 127, 121, 148le2addd 9646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  +  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
164159, 151, 162, 157, 163letrd 9229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
165164ralrimiva 2791 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
16688ralrimiva 2791 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
RR* )
167 breq1 4217 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  ->  (
z  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  <->  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
16836, 167ralrnmpt 5880 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR*  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  <->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
169166, 168syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  <->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
170165, 169mpbird 225 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) ) z  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
171133ad2ant1 979 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  D :
( B  X.  B
) --> ( 0 [,] 
+oo ) )
172171, 92, 118fovrnd 6220 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D f )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
173 elxrge0 11010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h D f )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( (
h D f )  e.  RR*  /\  0  <_  ( h D f ) ) )
174173simprbi 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( h D f )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  ( h D f ) )
175172, 174syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  0  <_  ( h D f ) )
176171, 92, 145fovrnd 6220 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D g )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
177 elxrge0 11010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h D g )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( (
h D g )  e.  RR*  /\  0  <_  ( h D g ) ) )
178177simprbi 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( h D g )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  ( h D g ) )
179176, 178syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  0  <_  ( h D g ) )
18097, 126, 175, 179addge0d 9604 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  0  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
181 breq1 4217 . . . . . . 7  |-  ( z  =  0  ->  (
z  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  <->  0  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
18247, 181ralsn 3851 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  { 0 } z  <_  (
( h D f )  +  ( h D g ) )  <->  0  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) ) )
183180, 182sylibr 205 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. z  e.  { 0 } z  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
184 ralunb 3530 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) )  <->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  /\  A. z  e.  { 0 } z  <_  (
( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
185170, 183, 184sylanbrc 647 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_  (
( h D f )  +  ( h D g ) ) )
186433adantr3 1119 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
1871863adant3 978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
188161rexrd 9136 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  e. 
RR* )
189 supxrleub 10907 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  (
( h D f )  +  ( h D g ) )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( h D f )  +  ( h D g ) )  <->  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
190187, 188, 189syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( h D f )  +  ( h D g ) )  <->  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
191185, 190mpbird 225 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
19280, 191eqbrtrd 4234 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( f D g )  <_ 
( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
1934, 16, 20, 78, 192isxmet2d 18359 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    X. cxp 4878   ran crn 4881    |` cres 4882    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   supcsup 7447   RRcr 8991   0cc0 8992    + caddc 8995    +oocpnf 9119   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   + ecxad 10710   [,]cicc 10921   Basecbs 13471   distcds 13540   X_scprds 13671   * Metcxmt 16688
This theorem is referenced by:  prdsxmet  18401
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-xmet 16697
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