Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmetlem Structured version   Unicode version

Theorem prdsxmetlem 18400
 Description: The product metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y s
prdsdsf.b
prdsdsf.v
prdsdsf.e
prdsdsf.d
prdsdsf.s
prdsdsf.i
prdsdsf.r
prdsdsf.m
Assertion
Ref Expression
prdsxmetlem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdsxmetlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsdsf.b . . . 4
2 fvex 5744 . . . 4
31, 2eqeltri 2508 . . 3
43a1i 11 . 2
5 prdsdsf.y . . . 4 s
6 prdsdsf.v . . . 4
7 prdsdsf.e . . . 4
8 prdsdsf.d . . . 4
9 prdsdsf.s . . . 4
10 prdsdsf.i . . . 4
11 prdsdsf.r . . . 4
12 prdsdsf.m . . . 4
135, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12prdsdsf 18399 . . 3
14 iccssxr 10995 . . 3
15 fss 5601 . . 3
1613, 14, 15sylancl 645 . 2
1713fovrnda 6219 . . 3
18 elxrge0 11010 . . . 4
1918simprbi 452 . . 3
2017, 19syl 16 . 2
219adantr 453 . . . . 5
2210adantr 453 . . . . 5
2311ralrimiva 2791 . . . . . 6
2423adantr 453 . . . . 5
25 simprl 734 . . . . 5
26 simprr 735 . . . . 5
275, 1, 21, 22, 24, 25, 26, 6, 7, 8prdsdsval3 13709 . . . 4
2827breq1d 4224 . . 3
2912adantlr 697 . . . . . . . 8
305, 1, 21, 22, 24, 6, 25prdsbascl 13707 . . . . . . . . 9
3130r19.21bi 2806 . . . . . . . 8
325, 1, 21, 22, 24, 6, 26prdsbascl 13707 . . . . . . . . 9
3332r19.21bi 2806 . . . . . . . 8
34 xmetcl 18363 . . . . . . . 8
3529, 31, 33, 34syl3anc 1185 . . . . . . 7
36 eqid 2438 . . . . . . 7
3735, 36fmptd 5895 . . . . . 6
38 frn 5599 . . . . . 6
3937, 38syl 16 . . . . 5
40 0xr 9133 . . . . . . 7
4140a1i 11 . . . . . 6
4241snssd 3945 . . . . 5
4339, 42unssd 3525 . . . 4
44 supxrleub 10907 . . . 4
4543, 40, 44sylancl 645 . . 3
46 0le0 10083 . . . . . . 7
47 c0ex 9087 . . . . . . . 8
48 breq1 4217 . . . . . . . 8
4947, 48ralsn 3851 . . . . . . 7
5046, 49mpbir 202 . . . . . 6
51 ralunb 3530 . . . . . 6
5250, 51mpbiran2 887 . . . . 5
53 ovex 6108 . . . . . . 7
5453rgenw 2775 . . . . . 6
55 breq1 4217 . . . . . . 7
5636, 55ralrnmpt 5880 . . . . . 6
5754, 56ax-mp 8 . . . . 5
5852, 57bitri 242 . . . 4
59 xmetge0 18376 . . . . . . . . 9
6029, 31, 33, 59syl3anc 1185 . . . . . . . 8
6160biantrud 495 . . . . . . 7
62 xrletri3 10747 . . . . . . . 8
6335, 40, 62sylancl 645 . . . . . . 7
64 xmeteq0 18370 . . . . . . . 8
6529, 31, 33, 64syl3anc 1185 . . . . . . 7
6661, 63, 653bitr2d 274 . . . . . 6
6766ralbidva 2723 . . . . 5
68 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
6968fnmpt 5573 . . . . . . . . 9
7023, 69syl 16 . . . . . . . 8
7170adantr 453 . . . . . . 7
725, 1, 21, 22, 71, 25prdsbasfn 13695 . . . . . 6
735, 1, 21, 22, 71, 26prdsbasfn 13695 . . . . . 6
74 eqfnfv 5829 . . . . . 6
7572, 73, 74syl2anc 644 . . . . 5
7667, 75bitr4d 249 . . . 4
7758, 76syl5bb 250 . . 3
7828, 45, 773bitrd 272 . 2
79273adantr3 1119 . . . 4
81123ad2antl1 1120 . . . . . . . . . 10
82303adantr3 1119 . . . . . . . . . . . 12
83823adant3 978 . . . . . . . . . . 11
8483r19.21bi 2806 . . . . . . . . . 10
85323adantr3 1119 . . . . . . . . . . . 12
86853adant3 978 . . . . . . . . . . 11
8786r19.21bi 2806 . . . . . . . . . 10
8881, 84, 87, 34syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
8993ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . 14
90103ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . 14
91233ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . 14
92 simp23 993 . . . . . . . . . . . . . 14
935, 1, 89, 90, 91, 6, 92prdsbascl 13707 . . . . . . . . . . . . 13
9493r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . 12
95 xmetcl 18363 . . . . . . . . . . . 12
9681, 94, 84, 95syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11
97 simp3l 986 . . . . . . . . . . . 12
9897adantr 453 . . . . . . . . . . 11
99 xmetge0 18376 . . . . . . . . . . . 12
10081, 94, 84, 99syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11
101 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10296, 101fmptd 5895 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103 frn 5599 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
10540a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106105snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15
107104, 106unssd 3525 . . . . . . . . . . . . . 14
108107adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
109 ssun1 3512 . . . . . . . . . . . . . 14
110 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111110elabrex 5987 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112111adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15
113101rnmpt 5118 . . . . . . . . . . . . . . 15
114112, 113syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . . . . 14
115109, 114sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . 13
116 supxrub 10905 . . . . . . . . . . . . 13
117108, 115, 116syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
118 simp21 991 . . . . . . . . . . . . . 14
1195, 1, 89, 90, 91, 92, 118, 6, 7, 8prdsdsval3 13709 . . . . . . . . . . . . 13
120119adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
121117, 120breqtrrd 4240 . . . . . . . . . . 11
122 xrrege0 10764 . . . . . . . . . . 11
12396, 98, 100, 121, 122syl22anc 1186 . . . . . . . . . 10
124 xmetcl 18363 . . . . . . . . . . . 12
12581, 94, 87, 124syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11
126 simp3r 987 . . . . . . . . . . . 12
127126adantr 453 . . . . . . . . . . 11
128 xmetge0 18376 . . . . . . . . . . . 12
12981, 94, 87, 128syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11
130 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131125, 130fmptd 5895 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132 frn 5599 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133131, 132syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
134133, 106unssd 3525 . . . . . . . . . . . . . 14
135134adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
136 ssun1 3512 . . . . . . . . . . . . . 14
137 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
138137elabrex 5987 . . . . . . . . . . . . . . . 16
139138adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15
140130rnmpt 5118 . . . . . . . . . . . . . . 15
141139, 140syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . . . . 14
142136, 141sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . 13
143 supxrub 10905 . . . . . . . . . . . . 13
144135, 142, 143syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
145 simp22 992 . . . . . . . . . . . . . 14
1465, 1, 89, 90, 91, 92, 145, 6, 7, 8prdsdsval3 13709 . . . . . . . . . . . . 13
147146adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
148144, 147breqtrrd 4240 . . . . . . . . . . 11
149 xrrege0 10764 . . . . . . . . . . 11
150125, 127, 129, 148, 149syl22anc 1186 . . . . . . . . . 10
151123, 150readdcld 9117 . . . . . . . . 9
15281, 84, 87, 59syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
153 xmettri2 18372 . . . . . . . . . . 11
15481, 94, 84, 87, 153syl13anc 1187 . . . . . . . . . 10
155 rexadd 10820 . . . . . . . . . . 11
156123, 150, 155syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
157154, 156breqtrd 4238 . . . . . . . . 9
158 xrrege0 10764 . . . . . . . . 9
15988, 151, 152, 157, 158syl22anc 1186 . . . . . . . 8
160 readdcl 9075 . . . . . . . . . 10
1611603ad2ant3 981 . . . . . . . . 9
162161adantr 453 . . . . . . . 8
163123, 150, 98, 127, 121, 148le2addd 9646 . . . . . . . 8
164159, 151, 162, 157, 163letrd 9229 . . . . . . 7
165164ralrimiva 2791 . . . . . 6
16688ralrimiva 2791 . . . . . . 7
167 breq1 4217 . . . . . . . 8
16836, 167ralrnmpt 5880 . . . . . . 7
169166, 168syl 16 . . . . . 6
170165, 169mpbird 225 . . . . 5
171133ad2ant1 979 . . . . . . . . 9
172171, 92, 118fovrnd 6220 . . . . . . . 8
173 elxrge0 11010 . . . . . . . . 9
174173simprbi 452 . . . . . . . 8
175172, 174syl 16 . . . . . . 7
176171, 92, 145fovrnd 6220 . . . . . . . 8
177 elxrge0 11010 . . . . . . . . 9
178177simprbi 452 . . . . . . . 8
179176, 178syl 16 . . . . . . 7
18097, 126, 175, 179addge0d 9604 . . . . . 6
181 breq1 4217 . . . . . . 7
18247, 181ralsn 3851 . . . . . 6
183180, 182sylibr 205 . . . . 5
184 ralunb 3530 . . . . 5
185170, 183, 184sylanbrc 647 . . . 4
186433adantr3 1119 . . . . . 6
1871863adant3 978 . . . . 5
188161rexrd 9136 . . . . 5
189 supxrleub 10907 . . . . 5
190187, 188, 189syl2anc 644 . . . 4
191185, 190mpbird 225 . . 3
19280, 191eqbrtrd 4234 . 2
1934, 16, 20, 78, 192isxmet2d 18359 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   cun 3320   wss 3322  csn 3816   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cxp 4878   crn 4881   cres 4882   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  csup 7447  cr 8991  cc0 8992   caddc 8995   cpnf 9119  cxr 9121   clt 9122   cle 9123  cxad 10710  cicc 10921  cbs 13471  cds 13540  scprds 13671  cxmt 16688 This theorem is referenced by:  prdsxmet  18401 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-xmet 16697
 Copyright terms: Public domain W3C validator