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Theorem prdsxmetlem 17948
Description: The product metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsdsf.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsdsf.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsdsf.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsdsf.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsdsf.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsdsf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
prdsdsf.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsdsf.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
Assertion
Ref Expression
prdsxmetlem  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
Distinct variable groups:    x, I    ph, x    x, B    x, D
Allowed substitution hints:    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsxmetlem
Dummy variables  f 
g  h  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsdsf.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2 fvex 5555 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
31, 2eqeltri 2366 . . 3  |-  B  e. 
_V
43a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
5 prdsdsf.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
6 prdsdsf.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  R
)
7 prdsdsf.e . . . 4  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
8 prdsdsf.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  Y
)
9 prdsdsf.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
10 prdsdsf.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
11 prdsdsf.r . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
12 prdsdsf.m . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
135, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12prdsdsf 17947 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo )
)
14 iccssxr 10748 . . 3  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
15 fss 5413 . . 3  |-  ( ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR* )  ->  D : ( B  X.  B ) --> RR* )
1613, 14, 15sylancl 643 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> RR* )
1713adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo ) )
18 simprl 732 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
19 simprr 733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
20 fovrn 6006 . . . 4  |-  ( ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo )  /\  f  e.  B  /\  g  e.  B
)  ->  ( f D g )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2117, 18, 19, 20syl3anc 1182 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
22 elxrge0 10763 . . . 4  |-  ( ( f D g )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( (
f D g )  e.  RR*  /\  0  <_  ( f D g ) ) )
2322simprbi 450 . . 3  |-  ( ( f D g )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  ( f D g ) )
2421, 23syl 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  <_  ( f D g ) )
259adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  W )
2610adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  X )
2711ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
2827adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
295, 1, 25, 26, 28, 18, 19, 6, 7, 8prdsdsval3 13400 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
3029breq1d 4049 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ( f D g )  <_  0  <->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  0
) )
3112adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
325, 1, 25, 26, 28, 6, 18prdsbascl 13398 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
3332r19.21bi 2654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  e.  V )
345, 1, 25, 26, 28, 6, 19prdsbascl 13398 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
3534r19.21bi 2654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
g `  x )  e.  V )
36 xmetcl 17912 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( f `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR* )
3731, 33, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR* )
38 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )
3937, 38fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I -->
RR* )
40 frn 5411 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR* )
4139, 40syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR* )
42 0xr 8894 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
4342a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR* )
4443snssd 3776 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  { 0 }  C_  RR* )
4541, 44unssd 3364 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
46 supxrleub 10661 . . . 4  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  0 ) )
4745, 42, 46sylancl 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) z  <_  0 ) )
48 0le0 9843 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
49 c0ex 8848 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
50 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  0  ->  (
z  <_  0  <->  0  <_  0 ) )
5149, 50ralsn 3687 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  { 0 } z  <_  0  <->  0  <_  0 )
5248, 51mpbir 200 . . . . . 6  |-  A. z  e.  { 0 } z  <_  0
53 ralunb 3369 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  0  <->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_  0  /\  A. z  e.  { 0 } z  <_  0
) )
5452, 53mpbiran2 885 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  0  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) ) z  <_  0 )
55 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
_V
5655rgenw 2623 . . . . . 6  |-  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
_V
57 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  ->  (
z  <_  0  <->  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
0 ) )
5838, 57ralrnmpt 5685 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_ 
0  <->  A. x  e.  I 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  0 ) )
5956, 58ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_  0  <->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
0 )
6054, 59bitri 240 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  0  <->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
0 )
61 xmetge0 17925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( f `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  0  <_  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )
6231, 33, 35, 61syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )
6362biantrud 493 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  0  <->  ( (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  0  /\  0  <_  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) ) )
64 xrletri3 10502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  =  0  <->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  0  /\  0  <_  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) ) ) )
6537, 42, 64sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  =  0  <->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  0  /\  0  <_  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) ) ) )
66 xmeteq0 17919 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( f `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  =  0  <->  ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
6731, 33, 35, 66syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  =  0  <->  (
f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
6863, 65, 673bitr2d 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  0  <->  ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
6968ralbidva 2572 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( A. x  e.  I  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  <_  0  <->  A. x  e.  I  ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
70 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( x  e.  I  |->  R )
7170fnmpt 5386 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  R  e.  Z  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I )
7227, 71syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I
)
7372adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( x  e.  I  |->  R )  Fn  I
)
745, 1, 25, 26, 73, 18prdsbasfn 13386 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  Fn  I )
755, 1, 25, 26, 73, 19prdsbasfn 13386 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  Fn  I )
76 eqfnfv 5638 . . . . . 6  |-  ( ( f  Fn  I  /\  g  Fn  I )  ->  ( f  =  g  <->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
7774, 75, 76syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f  =  g  <->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
7869, 77bitr4d 247 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( A. x  e.  I  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  <_  0  <->  f  =  g ) )
7960, 78syl5bb 248 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_  0  <->  f  =  g ) )
8030, 47, 793bitrd 270 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ( f D g )  <_  0  <->  f  =  g ) )
81293adantr3 1116 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
82813adant3 975 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( f D g )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
83123ad2antl1 1117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
84323adantr3 1116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
85843adant3 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  V
)
8685r19.21bi 2654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  e.  V )
87343adantr3 1116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
88873adant3 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  ( g `  x )  e.  V
)
8988r19.21bi 2654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
g `  x )  e.  V )
9083, 86, 89, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR* )
9193ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  S  e.  W )
92103ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  I  e.  X )
93273ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
94 simp23 990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  h  e.  B )
955, 1, 91, 92, 93, 6, 94prdsbascl 13398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  ( h `  x )  e.  V
)
9695r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
h `  x )  e.  V )
97 xmetcl 17912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( h `  x )  e.  V  /\  ( f `  x
)  e.  V )  ->  ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) )  e.  RR* )
9883, 96, 86, 97syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  RR* )
99 simp3l 983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D f )  e.  RR )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
h D f )  e.  RR )
101 xmetge0 17925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( h `  x )  e.  V  /\  ( f `  x
)  e.  V )  ->  0  <_  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) ) )
10283, 96, 86, 101syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )
103 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) ) )
10498, 103fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) ) : I --> RR* )
105 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  C_  RR* )
106104, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) ) 
C_  RR* )
10742a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  0  e.  RR* )
108107snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  { 0 }  C_  RR* )
109106, 108unssd 3364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
110109adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
111 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) )  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )
112 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  e. 
_V
113112elabrex 5781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  I  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  { z  |  E. x  e.  I 
z  =  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) } )
114113adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  { z  |  E. x  e.  I 
z  =  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) } )
115103rnmpt 4941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) )  =  { z  |  E. x  e.  I  z  =  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) }
116114, 115syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) ) )
117111, 116sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
118 supxrub 10659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  <_  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
119110, 117, 118syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
120 simp21 988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  f  e.  B )
1215, 1, 91, 92, 93, 94, 120, 6, 7, 8prdsdsval3 13400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D f )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
122121adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
h D f )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
123119, 122breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  <_  ( h D f ) )
124 xrrege0 10519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) )  e.  RR*  /\  ( h D f )  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  /\  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  <_ 
( h D f ) ) )  -> 
( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  e.  RR )
12598, 100, 102, 123, 124syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  RR )
126 xmetcl 17912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( h `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR* )
12783, 96, 89, 126syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR* )
128 simp3r 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D g )  e.  RR )
129128adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
h D g )  e.  RR )
130 xmetge0 17925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( h `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  0  <_  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )
13183, 96, 89, 130syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )
132 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) ) )
133127, 132fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I --> RR* )
134 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR* )
135133, 134syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) ) 
C_  RR* )
136135, 108unssd 3364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
137136adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
138 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )
139 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
_V
140139elabrex 5781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  I  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  { z  |  E. x  e.  I 
z  =  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) } )
141140adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  { z  |  E. x  e.  I 
z  =  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) } )
142132rnmpt 4941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  =  { z  |  E. x  e.  I  z  =  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) }
143141, 142syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) ) )
144138, 143sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
145 supxrub 10659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
146137, 144, 145syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
147 simp22 989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  g  e.  B )
1485, 1, 91, 92, 93, 94, 147, 6, 7, 8prdsdsval3 13400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D g )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
149148adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
h D g )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
150146, 149breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  ( h D g ) )
151 xrrege0 10519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR*  /\  ( h D g )  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( h D g ) ) )  -> 
( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR )
152127, 129, 131, 150, 151syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
153125, 152readdcld 8878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  +  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  e.  RR )
15483, 86, 89, 61syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )
155 xmettri2 17921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( ( h `
 x )  e.  V  /\  ( f `
 x )  e.  V  /\  ( g `
 x )  e.  V ) )  -> 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  ( (
( h `  x
) E ( f `
 x ) ) + e ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) ) )
15683, 96, 86, 89, 155syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  ( ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) + e ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) ) ) )
157 rexadd 10575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  e.  RR  /\  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) + e ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) ) )  =  ( ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) )  +  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) ) )
158125, 152, 157syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) + e ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  =  ( ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) )  +  ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) ) ) )
159156, 158breqtrd 4063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  ( ( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  +  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) ) )
160 xrrege0 10519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR*  /\  ( ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) )  +  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) )  +  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) ) ) )  -> 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR )
16190, 153, 154, 159, 160syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
162 readdcl 8836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR )  ->  ( ( h D f )  +  ( h D g ) )  e.  RR )
1631623ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  e.  RR )
164163adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h D f )  +  ( h D g ) )  e.  RR )
165125, 152, 100, 129, 123, 150le2addd 9406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  +  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
166161, 153, 164, 159, 165letrd 8989 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
167166ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
16890ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
RR* )
169 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  ->  (
z  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  <->  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
17038, 169ralrnmpt 5685 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR*  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  <->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
171168, 170syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  <->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
172167, 171mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) ) z  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
173133ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  D :
( B  X.  B
) --> ( 0 [,] 
+oo ) )
174 fovrn 6006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo )  /\  h  e.  B  /\  f  e.  B
)  ->  ( h D f )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
175173, 94, 120, 174syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D f )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
176 elxrge0 10763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h D f )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( (
h D f )  e.  RR*  /\  0  <_  ( h D f ) ) )
177176simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( h D f )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  ( h D f ) )
178175, 177syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  0  <_  ( h D f ) )
179 fovrn 6006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo )  /\  h  e.  B  /\  g  e.  B
)  ->  ( h D g )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
180173, 94, 147, 179syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D g )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
181 elxrge0 10763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h D g )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( (
h D g )  e.  RR*  /\  0  <_  ( h D g ) ) )
182181simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( h D g )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  ( h D g ) )
183180, 182syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  0  <_  ( h D g ) )
18499, 128, 178, 183addge0d 9364 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  0  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
185 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( z  =  0  ->  (
z  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  <->  0  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
18649, 185ralsn 3687 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  { 0 } z  <_  (
( h D f )  +  ( h D g ) )  <->  0  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) ) )
187184, 186sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. z  e.  { 0 } z  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
188 ralunb 3369 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) )  <->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  /\  A. z  e.  { 0 } z  <_  (
( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
189172, 187, 188sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_  (
( h D f )  +  ( h D g ) ) )
190453adantr3 1116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
1911903adant3 975 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
192163rexrd 8897 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  e. 
RR* )
193 supxrleub 10661 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  (
( h D f )  +  ( h D g ) )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( h D f )  +  ( h D g ) )  <->  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
194191, 192, 193syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( h D f )  +  ( h D g ) )  <->  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
195189, 194mpbird 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
19682, 195eqbrtrd 4059 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( f D g )  <_ 
( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
1974, 16, 24, 80, 196isxmet2d 17908 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   ran crn 4706    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   + ecxad 10466   [,]cicc 10675   Basecbs 13164   distcds 13233   X_scprds 13362   * Metcxmt 16385
This theorem is referenced by:  prdsxmet  17949
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-xmet 16389
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