Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxms Structured version   Unicode version

Theorem prdsxms 18552
 Description: The indexed product structure is an extended metric space when the index set is finite. (Although the extended metric is still valid when the index set is infinite, it no longer agrees with the product topology, which is not metrizable in any case.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prdsxms.y s
Assertion
Ref Expression
prdsxms

Proof of Theorem prdsxms
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsxms.y . . . 4 s
2 simp1 957 . . . 4
3 simp2 958 . . . 4
4 eqid 2435 . . . 4
5 eqid 2435 . . . 4
6 simp3 959 . . . 4
71, 2, 3, 4, 5, 6prdsxmslem1 18550 . . 3
8 ssid 3359 . . 3
9 xmetres2 18383 . . 3
107, 8, 9sylancl 644 . 2
11 eqid 2435 . . . 4
12 eqid 2435 . . . 4
13 eqid 2435 . . . 4
14 eqid 2435 . . . 4
15 eqid 2435 . . . 4
161, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 15prdsxmslem2 18551 . . 3
17 xmetf 18351 . . . . . 6
187, 17syl 16 . . . . 5
19 ffn 5583 . . . . 5
20 fnresdm 5546 . . . . 5
2118, 19, 203syl 19 . . . 4
2221fveq2d 5724 . . 3
2316, 22eqtr4d 2470 . 2
24 eqid 2435 . . 3
2511, 5, 24isxms2 18470 . 2
2610, 23, 25sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cab 2421  wral 2697  wrex 2698   cdif 3309   wss 3312  cuni 4007   cxp 4868   cres 4872   ccom 4874   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cixp 7055  cfn 7101  cxr 9111  cbs 13461  cds 13530  ctopn 13641  scprds 13661  cxmt 16678  cmopn 16683  cxme 18339 This theorem is referenced by:  prdsms  18553  pwsxms  18554  xpsxms  18556 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-icc 10915  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-xms 18342
 Copyright terms: Public domain W3C validator