MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmslem1 Unicode version

Theorem prdsxmslem1 18441
Description: Lemma for prdsms 18444. The distance function of a product structure is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsxms.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsxms.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsxms.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsxms.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsxms.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsxms.r  |-  ( ph  ->  R : I --> * MetSp )
Assertion
Ref Expression
prdsxmslem1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )

Proof of Theorem prdsxmslem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2380 . . 3  |-  ( S
X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) )  =  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) )
2 eqid 2380 . . 3  |-  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) )
3 eqid 2380 . . 3  |-  ( Base `  ( R `  k
) )  =  (
Base `  ( R `  k ) )
4 eqid 2380 . . 3  |-  ( (
dist `  ( R `  k ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  k )
)  X.  ( Base `  ( R `  k
) ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  k
) )  |`  (
( Base `  ( R `  k ) )  X.  ( Base `  ( R `  k )
) ) )
5 eqid 2380 . . 3  |-  ( dist `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) )
6 prdsxms.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
7 prdsxms.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
8 prdsxms.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> * MetSp )
98ffvelrnda 5802 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( R `  k )  e.  * MetSp )
103, 4xmsxmet 18369 . . . 4  |-  ( ( R `  k )  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  ( R `  k ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  k )
)  X.  ( Base `  ( R `  k
) ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  ( R `  k )
) ) )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
( dist `  ( R `  k ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  k )
)  X.  ( Base `  ( R `  k
) ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  ( R `  k )
) ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11prdsxmet 18300 . 2  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) ) ) )
13 prdsxms.d . . 3  |-  D  =  ( dist `  Y
)
14 prdsxms.y . . . . 5  |-  Y  =  ( S X_s R )
158feqmptd 5711 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  =  ( k  e.  I  |->  ( R `
 k ) ) )
1615oveq2d 6029 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) )
1714, 16syl5eq 2424 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) )
1817fveq2d 5665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) ) )
1913, 18syl5eq 2424 . 2  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) ) )
20 prdsxms.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2117fveq2d 5665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) ) )
2220, 21syl5eq 2424 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) ) )
2322fveq2d 5665 . 2  |-  ( ph  ->  ( * Met `  B
)  =  ( * Met `  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) ) ) )
2412, 19, 233eltr4d 2461 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    e. cmpt 4200    X. cxp 4809    |` cres 4813   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Fincfn 7038   Basecbs 13389   distcds 13458   X_scprds 13589   * Metcxmt 16605   *
MetSpcxme 18249
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  18442  prdsxms  18443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-icc 10848  df-fz 10969  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-hom 13473  df-cco 13474  df-topgen 13587  df-prds 13591  df-xmet 16612  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-xms 18252
  Copyright terms: Public domain W3C validator