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Theorem prdsxmslem2 18127
Description: Lemma for prdsxms 18128. The topology generated by the supremum metric is the same as the product topology, when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsxms.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsxms.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsxms.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsxms.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsxms.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsxms.r  |-  ( ph  ->  R : I --> * MetSp )
prdsxms.j  |-  J  =  ( TopOpen `  Y )
prdsxms.v  |-  V  =  ( Base `  ( R `  k )
)
prdsxms.e  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  k )
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsxms.k  |-  K  =  ( TopOpen `  ( R `  k ) )
prdsxms.c  |-  C  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I 
\  z ) ( g `  k )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) }
Assertion
Ref Expression
prdsxmslem2  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  D ) )
Distinct variable groups:    g, k, B    x, g, D, k   
z, g, I, k, x    g, E    S, g, k, x    g, W, k, x    g, Y, k, x    ph, g,
k, x    R, g,
k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( x, z)    C( x, z, g, k)    D( z)    S( z)    E( x, z, k)    J( x, z, g, k)    K( x, z, g, k)    V( x, z, g, k)    W( z)    Y( z)

Proof of Theorem prdsxmslem2
Dummy variables  p  r  w  y  m  u  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsxms.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
2 topnfn 13379 . . . . 5  |-  TopOpen  Fn  _V
3 prdsxms.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R : I --> * MetSp )
4 ffn 5427 . . . . . . 7  |-  ( R : I --> * MetSp  ->  R  Fn  I )
53, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
6 dffn2 5428 . . . . . 6  |-  ( R  Fn  I  <->  R :
I --> _V )
75, 6sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R : I --> _V )
8 fnfco 5445 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  R : I --> _V )  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
92, 7, 8sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
10 prdsxms.c . . . . 5  |-  C  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I 
\  z ) ( g `  k )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) }
1110ptval 17321 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  (
topGen `  C ) )
121, 9, 11syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( topGen `  C
) )
13 eldifsn 3783 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  ran  ( ball `  D
)  /\  x  =/=  (/) ) )
14 prdsxms.y . . . . . . . . . . . 12  |-  Y  =  ( S X_s R )
15 prdsxms.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
16 prdsxms.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( dist `  Y
)
17 prdsxms.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  Y
)
1814, 15, 1, 16, 17, 3prdsxmslem1 18126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
19 blrn 18014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met `  B )  ->  (
x  e.  ran  ( ball `  D )  <->  E. p  e.  B  E. r  e.  RR*  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) ) )
2018, 19syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  ( ball `  D )  <->  E. p  e.  B  E. r  e.  RR*  x  =  ( p ( ball `  D ) r ) ) )
2118adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
22 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  ->  p  e.  B )
23 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
r  e.  RR* )
24 xbln0 18017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( p (
ball `  D )
r )  =/=  (/)  <->  0  <  r ) )
2521, 22, 23, 24syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( ( p (
ball `  D )
r )  =/=  (/)  <->  0  <  r ) )
2613ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  I  e.  Fin )
27 mptexg 5786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  e.  _V )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  (
n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  e.  _V )
29 ovex 5925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p `  n ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r )  e. 
_V
3029rgenw 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A. n  e.  I  ( (
p `  n )
( ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r )  e. 
_V
31 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )
3231fnmpt 5407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  I  (
( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r )  e. 
_V  ->  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I )
3330, 32mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  (
n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I )
34 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  k  ->  ( R `  n )  =  ( R `  k ) )
3534fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  k  ->  ( dist `  ( R `  n ) )  =  ( dist `  ( R `  k )
) )
3634fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  k  ->  ( Base `  ( R `  n ) )  =  ( Base `  ( R `  k )
) )
37 prdsxms.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  V  =  ( Base `  ( R `  k )
)
3836, 37syl6eqr 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  k  ->  ( Base `  ( R `  n ) )  =  V )
3938, 38xpeq12d 4751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  k  ->  (
( Base `  ( R `  n ) )  X.  ( Base `  ( R `  n )
) )  =  ( V  X.  V ) )
4035, 39reseq12d 4993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  k  ->  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  k
) )  |`  ( V  X.  V ) ) )
41 prdsxms.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  k )
)  |`  ( V  X.  V ) )
4240, 41syl6eqr 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  k  ->  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) )  =  E )
4342fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  k  ->  ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n
) )  |`  (
( Base `  ( R `  n ) )  X.  ( Base `  ( R `  n )
) ) ) )  =  ( ball `  E
) )
44 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  k  ->  (
p `  n )  =  ( p `  k ) )
45 eqidd 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  k  ->  r  =  r )
4643, 44, 45oveq123d 5921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  k  ->  (
( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r )  =  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )
47 ovex 5925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p `  k ) ( ball `  E
) r )  e. 
_V
4846, 31, 47fvmpt 5640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  I  ->  (
( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  =  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r ) )
4948adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) ) `
 k )  =  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )
5033ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  R : I --> * MetSp )
51 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R : I --> * MetSp  /\  k  e.  I )  ->  ( R `  k )  e.  * MetSp )
5250, 51sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( R `  k
)  e.  * MetSp )
5337, 41xmsxmet 18054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R `  k )  e.  * MetSp  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V ) )
55 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( S
X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) )  =  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) )
56 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) )
57153ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  S  e.  W )
5852ralrimiva 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  A. k  e.  I  ( R `  k )  e.  * MetSp )
59 simp2l 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  p  e.  B )
6050feqmptd 5613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  R  =  ( k  e.  I  |->  ( R `  k ) ) )
6160oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) )
6214, 61syl5eq 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  Y  =  ( S X_s (
k  e.  I  |->  ( R `  k ) ) ) )
6362fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( Base `  Y )  =  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) ) )
6417, 63syl5eq 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) ) )
6559, 64eleqtrd 2392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  p  e.  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) ) )
6655, 56, 57, 26, 58, 37, 65prdsbascl 13431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  A. k  e.  I  ( p `  k )  e.  V
)
6766r19.21bi 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( p `  k
)  e.  V )
68 simp2r 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  r  e.  RR* )
6968adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  r  e.  RR* )
70 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( MetOpen `  E )  =  (
MetOpen `  E )
7170blopn 18098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( p `  k )  e.  V  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r )  e.  ( MetOpen `  E
) )
7254, 67, 69, 71syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r )  e.  ( MetOpen `  E
) )
73 fvco3 5634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R : I --> * MetSp  /\  k  e.  I )  ->  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  =  ( TopOpen `  ( R `  k ) ) )
74 prdsxms.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  K  =  ( TopOpen `  ( R `  k ) )
7573, 74syl6eqr 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R : I --> * MetSp  /\  k  e.  I )  ->  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  =  K )
7650, 75sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  =  K )
7774, 37, 41xmstopn 18049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R `  k )  e.  * MetSp  ->  K  =  ( MetOpen `  E
) )
7852, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  K  =  ( MetOpen `  E ) )
7976, 78eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  =  ( MetOpen `  E
) )
8072, 79eleqtrrd 2393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )
8149, 80eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) ) `
 k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)
8281ralrimiva 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  A. k  e.  I  ( (
n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) ) `
 k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)
8350feqmptd 5613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  R  =  ( n  e.  I  |->  ( R `  n ) ) )
8483oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) )
8514, 84syl5eq 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  Y  =  ( S X_s (
n  e.  I  |->  ( R `  n ) ) ) )
8685fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( dist `  Y )  =  ( dist `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) )
8716, 86syl5eq 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) )
8887fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( ball `  D )  =  ( ball `  ( dist `  ( S X_s (
n  e.  I  |->  ( R `  n ) ) ) ) ) )
8988oveqd 5917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  (
p ( ball `  D
) r )  =  ( p ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )
9034cbvmptv 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  I  |->  ( R `
 n ) )  =  ( k  e.  I  |->  ( R `  k ) )
9190oveq2i 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S
X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) )  =  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) )
92 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) )
93 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( dist `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) )
9485fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( Base `  Y )  =  ( Base `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) )
9517, 94syl5eq 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) )
9659, 95eleqtrd 2392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  p  e.  ( Base `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) )
97 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  0  <  r )
9891, 92, 37, 41, 93, 57, 26, 52, 54, 96, 68, 97prdsbl 18089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  (
p ( ball `  ( dist `  ( S X_s (
n  e.  I  |->  ( R `  n ) ) ) ) ) r )  =  X_ k  e.  I  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r ) )
9989, 98eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )
100 fneq1 5370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( g  Fn  I  <->  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I ) )
101 fveq1 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( g `  k )  =  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k ) )
102101eleq1d 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( ( g `
 k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  <->  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) ) )
103102ralbidv 2597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  <->  A. k  e.  I  ( (
n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) ) `
 k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
) )
104100, 103anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  <->  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) ) ) )
105101, 48sylan9eq 2368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( g `  k )  =  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) )
106105ralrimiva 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  A. k  e.  I 
( g `  k
)  =  ( ( p `  k ) ( ball `  E
) r ) )
107 ixpeq2 6873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. k  e.  I  (
g `  k )  =  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  ->  X_ k  e.  I  ( g `  k )  =  X_ k  e.  I  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r ) )
108106, 107syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  X_ k  e.  I 
( g `  k
)  =  X_ k  e.  I  ( (
p `  k )
( ball `  E )
r ) )
109108eqeq2d 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( ( p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( g `  k
)  <->  ( p (
ball `  D )
r )  =  X_ k  e.  I  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r ) ) )
110104, 109anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( g `  k
) )  <->  ( (
( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) )  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
111110spcegv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  e.  _V  ->  (
( ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  ( p ( ball `  D ) r )  =  X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) ) )
1121113impib 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) )  e.  _V  /\  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  ( p ( ball `  D ) r )  =  X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) )
11328, 33, 82, 99, 112syl121anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  ( p ( ball `  D ) r )  =  X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) )
1141133expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( 0  <  r  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) ) )
11525, 114sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( ( p (
ball `  D )
r )  =/=  (/)  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  ( p ( ball `  D ) r )  =  X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) ) )
116115adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  ( ( p ( ball `  D
) r )  =/=  (/)  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) ) )
117 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )
118117neeq1d 2492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  ( x  =/=  (/) 
<->  ( p ( ball `  D ) r )  =/=  (/) ) )
119 ral0 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A. k  e.  (/)  ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
120 difeq2 3322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  I  ->  (
I  \  z )  =  ( I  \  I ) )
121 difid 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( I 
\  I )  =  (/)
122120, 121syl6eq 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  I  ->  (
I  \  z )  =  (/) )
123122raleqdv 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  I  ->  ( A. k  e.  (
I  \  z )
( g `  k
)  =  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  <->  A. k  e.  (/)  ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
) )
124123rspcev 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. k  e.  (/)  ( g `
 k )  = 
U. ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  ->  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)
1251, 119, 124sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I 
\  z ) ( g `  k )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  k ) )
126125adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  ->  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I 
\  z ) ( g `  k )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  k ) )
127126biantrud 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) )  <->  ( (
g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
) ) )
128 df-3an 936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  <->  ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
) )
129127, 128syl6rbbr 255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  <->  ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) ) ) )
130 eqeq1 2322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( p (
ball `  D )
r )  ->  (
x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k )  <->  ( p
( ball `  D )
r )  =  X_ k  e.  I  (
g `  k )
) )
131129, 130bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  ( ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) )  <->  ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  ( p
( ball `  D )
r )  =  X_ k  e.  I  (
g `  k )
) ) )
132131exbidv 1617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  ( E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) )  <->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) ) )
133116, 118, 1323imtr4d 259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  ( x  =/=  (/)  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
134133ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( x  =  ( p ( ball `  D
) r )  -> 
( x  =/=  (/)  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) ) )
135134rexlimdvva 2708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. p  e.  B  E. r  e. 
RR*  x  =  ( p ( ball `  D
) r )  -> 
( x  =/=  (/)  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) ) )
13620, 135sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  ( ball `  D )  ->  ( x  =/=  (/)  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) ) )
137136imp3a 420 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
ran  ( ball `  D
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
13813, 137syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } )  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
139138alrimiv 1622 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/) } )  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I 
\  z ) ( g `  k )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
140 ssab 3277 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } ) 
C_  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) }  <->  A. x
( x  e.  ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } )  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
141139, 140sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/)
} )  C_  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) } )
142141, 10syl6sseqr 3259 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/)
} )  C_  C
)
143 ssv 3232 . . . . . . . . . 10  |-  * MetSp  C_ 
_V
144 fnssres 5394 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  * MetSp 
C_  _V )  ->  ( TopOpen  |`  * MetSp )  Fn  * MetSp )
1452, 143, 144mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen  |`  * MetSp )  Fn  * MetSp
146 fvres 5580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  * MetSp  ->  (
( TopOpen  |`  * MetSp ) `  x )  =  (
TopOpen `  x ) )
147 xmstps 18051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  * MetSp  ->  x  e.  TopSp )
148 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen `  x )  =  (
TopOpen `  x )
149148tpstop 16733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  TopSp  ->  ( TopOpen `  x )  e.  Top )
150147, 149syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  * MetSp  ->  ( TopOpen
`  x )  e. 
Top )
151146, 150eqeltrd 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  * MetSp  ->  (
( TopOpen  |`  * MetSp ) `  x )  e.  Top )
152151rgen 2642 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  * MetSp  ( ( TopOpen  |`  * MetSp ) `  x
)  e.  Top
153 ffnfv 5723 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TopOpen 
|`  * MetSp ) : * MetSp --> Top  <->  ( ( TopOpen  |`  * MetSp )  Fn  * MetSp  /\  A. x  e. 
* MetSp  ( ( TopOpen  |`  * MetSp ) `  x
)  e.  Top )
)
154145, 152, 153mpbir2an 886 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen  |`  * MetSp ) : * MetSp --> Top
155 fco2 5437 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen  |`  * MetSp ) : * MetSp --> Top  /\  R :
I --> * MetSp )  -> 
( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
156154, 3, 155sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
157 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  =  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )
15810, 157ptbasfi 17332 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )  ->  C  =  ( fi
`  ( { X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n ) }  u.  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) ) ) )
1591, 156, 158syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  =  ( fi
`  ( { X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n ) }  u.  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) ) ) )
160 eqid 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
161160mopntop 18038 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  B )  ->  ( MetOpen
`  D )  e. 
Top )
16218, 161syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  e.  Top )
16314, 17, 15, 1, 5prdsbas2 13417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  X_ k  e.  I  ( Base `  ( R `  k
) ) )
1643, 75sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  =  K )
1653, 51sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( R `  k )  e.  * MetSp )
166 xmstps 18051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R `  k )  e.  * MetSp  ->  ( R `  k )  e.  TopSp )
167165, 166syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( R `  k )  e.  TopSp )
16837, 74istps 16730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R `  k )  e.  TopSp 
<->  K  e.  (TopOn `  V ) )
169167, 168sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  K  e.  (TopOn `  V )
)
170164, 169eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  e.  (TopOn `  V ) )
171 toponuni 16721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  e.  (TopOn `  V )  ->  V  =  U. ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )
172170, 171syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  V  =  U. ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )
17337, 172syl5eqr 2362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( Base `  ( R `  k ) )  = 
U. ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )
174173ralrimiva 2660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  I 
( Base `  ( R `  k ) )  = 
U. ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )
175 ixpeq2 6873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  I  ( Base `  ( R `  k ) )  = 
U. ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  ->  X_ k  e.  I  ( Base `  ( R `  k )
)  =  X_ k  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  k ) )
176174, 175syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  I 
( Base `  ( R `  k ) )  = 
X_ k  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)
177163, 176eqtrd 2348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =  X_ k  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  k ) )
178 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  =  ( ( TopOpen  o.  R ) `  n ) )
179178unieqd 3875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )
)
180179cbvixpv 6877 . . . . . . . . . . 11  |-  X_ k  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  =  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )
181177, 180syl6eq 2364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  =  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n ) )
182160mopntopon 18037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( * Met `  B )  ->  ( MetOpen
`  D )  e.  (TopOn `  B )
)
18318, 182syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  e.  (TopOn `  B )
)
184 toponmax 16722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
MetOpen `  D )  e.  (TopOn `  B )  ->  B  e.  ( MetOpen `  D ) )
185183, 184syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ( MetOpen `  D ) )
186181, 185eqeltrrd 2391 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  e.  ( MetOpen `  D )
)
187186snssd 3797 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X_ n  e.  I  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  n ) }  C_  ( MetOpen `  D )
)
188 mpteq1 4137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  ->  ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) )  =  ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) ) )
189181, 188syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) )  =  ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) ) )
190189ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  (
w  e.  B  |->  ( w `  k ) )  =  ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) )
191190cnveqd 4894 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) )  =  `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) ) )
192191imaeq1d 5048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
) )
193 fveq1 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  p  ->  (
w `  k )  =  ( p `  k ) )
194193eleq1d 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  p  ->  (
( w `  k
)  e.  u  <->  ( p `  k )  e.  u
) )
195 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) )
196195mptpreima 5203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) ) " u
)  =  { w  e.  B  |  (
w `  k )  e.  u }
197194, 196elrab2 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) " u )  <-> 
( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) )
198165, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
199198adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
200 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  u  e.  K )
201165, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  K  =  ( MetOpen `  E
) )
202201adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  K  =  ( MetOpen `  E
) )
203200, 202eleqtrd 2392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  u  e.  ( MetOpen `  E )
)
204 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  (
p `  k )  e.  u )
20570mopni2 18091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  u  e.  (
MetOpen `  E )  /\  ( p `  k
)  e.  u )  ->  E. r  e.  RR+  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) 
C_  u )
206199, 203, 204, 205syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
)
20718ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
208 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  p  e.  B )
209208adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  ->  p  e.  B )
210 rpxr 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
211210ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
r  e.  RR* )
212160blopn 18098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( p ( ball `  D ) r )  e.  ( MetOpen `  D
) )
213207, 209, 211, 212syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( p ( ball `  D ) r )  e.  ( MetOpen `  D
) )
214 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
r  e.  RR+ )
215 blcntr 18016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  p  e.  B  /\  r  e.  RR+ )  ->  p  e.  ( p ( ball `  D
) r ) )
216207, 209, 214, 215syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  ->  p  e.  ( p
( ball `  D )
r ) )
217 blssm 18020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( p ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
218207, 209, 211, 217syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( p ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
219 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  ( (
p `  k )
( ball `  E )
r )  C_  u
)
220 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  ->  ph )
221 rpgt0 10412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
222221ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
0  <  r )
223220, 209, 211, 222, 99syl121anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( p ( ball `  D ) r )  =  X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )
224223eleq2d 2383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( w  e.  ( p ( ball `  D
) r )  <->  w  e.  X_ k  e.  I  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) ) )
225224biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  w  e.  X_ k  e.  I  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) )
226 vex 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  w  e. 
_V
227226elixp 6866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  e.  X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r )  <-> 
( w  Fn  I  /\  A. k  e.  I 
( w `  k
)  e.  ( ( p `  k ) ( ball `  E
) r ) ) )
228227simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r )  ->  A. k  e.  I 
( w `  k
)  e.  ( ( p `  k ) ( ball `  E
) r ) )
229225, 228syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  A. k  e.  I  ( w `  k )  e.  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) )
230 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  k  e.  I )
231230ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  k  e.  I )
232 rsp 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A. k  e.  I  (
w `  k )  e.  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r )  ->  ( k  e.  I  ->  ( w `  k )  e.  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) ) )
233229, 231, 232sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  ( w `  k )  e.  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) )
234219, 233sseldd 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  ( w `  k )  e.  u
)
235218, 234ssrabdv 3286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( p ( ball `  D ) r ) 
C_  { w  e.  B  |  ( w `
 k )  e.  u } )
236235, 196syl6sseqr 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( p ( ball `  D ) r ) 
C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) " u ) )
237 eleq2 2377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  ( p (
ball `  D )
r )  ->  (
p  e.  y  <->  p  e.  ( p ( ball `  D ) r ) ) )
238 sseq1 3233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  ( p (
ball `  D )
r )  ->  (
y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) ) " u
)  <->  ( p (
ball `  D )
r )  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )
239237, 238anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  ( p (
ball `  D )
r )  ->  (
( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  <->  ( p  e.  ( p ( ball `  D ) r )  /\  ( p (
ball `  D )
r )  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )
240239rspcev 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( p ( ball `  D ) r )  e.  ( MetOpen `  D
)  /\  ( p  e.  ( p ( ball `  D ) r )  /\  ( p (
ball `  D )
r )  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )  ->  E. y  e.  (
MetOpen `  D ) ( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )
241213, 216, 236, 240syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  ->  E. y  e.  ( MetOpen
`  D ) ( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )
242241expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) 
C_  u  ->  E. y  e.  ( MetOpen `  D )
( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )
243242rexlimdva 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u  ->  E. y  e.  (
MetOpen `  D ) ( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) ) )
244206, 243mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  E. y  e.  ( MetOpen `  D )
( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )
245244expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  (
( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u )  ->  E. y  e.  (
MetOpen `  D ) ( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) ) )
246197, 245syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  (
p  e.  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) ) " u
)  ->  E. y  e.  ( MetOpen `  D )
( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )
247246ralrimiv 2659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  A. p  e.  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )
" u ) E. y  e.  ( MetOpen `  D ) ( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
248162ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  ( MetOpen
`  D )  e. 
Top )
249 eltop2 16769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
MetOpen `  D )  e. 
Top  ->  ( ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D )  <->  A. p  e.  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )
" u ) E. y  e.  ( MetOpen `  D ) ( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )
250248, 249syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  (
( `' ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e.  ( MetOpen `  D )  <->  A. p  e.  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) ) " u
) E. y  e.  ( MetOpen `  D )
( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )
251247, 250mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u )  e.  (
MetOpen `  D ) )
252192, 251eqeltrrd 2391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D ) )
253252ralrimiva 2660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. u  e.  K  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e.  ( MetOpen `  D )
)
254164raleqdv 2776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( A. u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D )  <->  A. u  e.  K  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e.  ( MetOpen `  D )
) )
255253, 254mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D ) )
256255ralrimiva 2660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  I  A. u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D ) )
257 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  =  ( ( TopOpen  o.  R ) `  m ) )
258 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  m  ->  (
w `  k )  =  ( w `  m ) )
259258mpteq2dv 4144 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  (
w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) )
260259cnveqd 4894 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )  =  `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) )
261260imaeq1d 5048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  =  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) )
262261eleq1d 2382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D )  <->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 m ) )
" u )  e.  ( MetOpen `  D )
) )
263257, 262raleqbidv 2782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  ( A. u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D )  <->  A. u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )
( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D ) ) )
264263cbvralv 2798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  I  A. u  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D )  <->  A. m  e.  I  A. u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )
( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D ) )
265256, 264sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. m  e.  I  A. u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  m ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D ) )
266 eqid 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) )  =  ( m  e.  I ,  u  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) )
267266fmpt2x 6232 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  I  A. u  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  m ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D )  <->  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) : U_ m  e.  I  ( { m }  X.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )
) --> ( MetOpen `  D
) )
268265, 267sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( m  e.  I ,  u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) : U_ m  e.  I  ( { m }  X.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )
) --> ( MetOpen `  D
) )
269 frn 5433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  I ,  u  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) : U_ m  e.  I  ( { m }  X.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )
) --> ( MetOpen `  D
)  ->  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) )  C_  ( MetOpen
`  D ) )
270268, 269syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) )  C_  ( MetOpen
`  D ) )
271187, 270unssd 3385 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n ) }  u.  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) )  C_  ( MetOpen `  D )
)
272 fiss 7222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( MetOpen `  D )  e.  Top  /\  ( {
X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n ) }  u.  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) )  C_  ( MetOpen `  D )
)  ->  ( fi `  ( { X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n ) }  u.  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) ) ) 
C_  ( fi `  ( MetOpen `  D )
) )
273162, 271, 272syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( fi `  ( { X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n ) }  u.  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) ) ) 
C_  ( fi `  ( MetOpen `  D )
) )
274159, 273eqsstrd 3246 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  C_  ( fi `  ( MetOpen `  D )
) )
275 fitop 16702 . . . . . . 7  |-  ( (
MetOpen `  D )  e. 
Top  ->  ( fi `  ( MetOpen `  D )
)  =  ( MetOpen `  D ) )
276162, 275syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( fi `  ( MetOpen
`  D ) )  =  ( MetOpen `  D
) )
277160mopnval 18036 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  B )  ->  ( MetOpen
`  D )  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) ) )
27818, 277syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
279 tgdif0 16786 . . . . . . 7  |-  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/)
} ) )  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )
280278, 279syl6eqr 2366 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } ) ) )
281276, 280eqtrd 2348 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( fi `  ( MetOpen
`  D ) )  =  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } ) ) )
282274, 281sseqtrd 3248 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  C_  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/)
} ) ) )
283 2basgen 16784 . . . 4  |-  ( ( ( ran  ( ball `  D )  \  { (/)
} )  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } ) )  =  ( topGen `  C ) )
284142, 282, 283syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/) } ) )  =  ( topGen `  C
) )
28512, 284eqtr4d 2351 . 2  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } ) ) )
286 prdsxms.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  Y )
28714, 15, 1, 5, 286prdstopn 17378 . 2  |-  ( ph  ->  J  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) )
288285, 287, 2803eqtr4d 2358 1  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1531   E.wex 1532    = wceq 1633    e. wcel 1701   {cab 2302    =/= wne 2479   A.wral 2577   E.wrex 2578   {crab 2581   _Vcvv 2822    \ cdif 3183    u. cun 3184    C_ wss 3186   (/)c0 3489   {csn 3674   U.cuni 3864   U_ciun 3942   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114    X. cxp 4724   `'ccnv 4725   ran crn 4727    |` cres 4728   "cima 4729    o. ccom 4730    Fn wfn 5287   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    e. cmpt2 5902   X_cixp 6860   Fincfn 6906   ficfi 7209   0cc0 8782   RR*cxr 8911    < clt 8912   RR+crp 10401   Basecbs 13195   distcds 13264   TopOpenctopn 13375   topGenctg 13391   Xt_cpt 13392   X_scprds 13395   * Metcxmt 16418   ballcbl 16420   MetOpencmopn 16423   Topctop 16687  TopOnctopon 16688   TopSpctps 16690   *
MetSpcxme 17934
This theorem is referenced by:  prdsxms  18128
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-icc 10710  df-fz 10830  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-hom 13279  df-cco 13280  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-pt 13394  df-prds 13397  df-xmet 16425  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-xms 17937
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