Theorem pre-axltadd 5289

Description: Ordering property of addition on reals. Axiom 23 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axltadd 5505.

Assertion

Ref	Expression
pre-axltadd	|- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A <R B -> (C + A) <R (C + B)))

Proof of Theorem pre-axltadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5250	. . 3 |- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
2		elreal 5250	. . 3 |- (B e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = B))
3		elreal 5250	. . 3 |- (C e. RR <-> E.z(z e. R. /\ <.z, 0R>. = C))
4		breq1 2622	. . . 4 |- (<.x, 0R>. = A -> (<.x, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> A <R <.y, 0R>.))
5		opreq2 3969	. . . . 5 |- (<.x, 0R>. = A -> (<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) = (<.z, 0R>. + A))
6	5	breq1d 2629	. . . 4 |- (<.x, 0R>. = A -> ((<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.) <-> (<.z, 0R>. + A) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.)))
7	4, 6	bibi12d 629	. . 3 |- (<.x, 0R>. = A -> ((<.x, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> (<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.)) <-> (A <R <.y, 0R>. <-> (<.z, 0R>. + A) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.))))
8		breq2 2623	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = B -> (A <R <.y, 0R>. <-> A <R B))
9		opreq2 3969	. . . . 5 |- (<.y, 0R>. = B -> (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.) = (<.z, 0R>. + B))
10	9	breq2d 2630	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = B -> ((<.z, 0R>. + A) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.) <-> (<.z, 0R>. + A) <R (<.z, 0R>. + B)))
11	8, 10	bibi12d 629	. . 3 |- (<.y, 0R>. = B -> ((A <R <.y, 0R>. <-> (<.z, 0R>. + A) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.)) <-> (A <R B <-> (<.z, 0R>. + A) <R (<.z, 0R>. + B))))
12		opreq1 3968	. . . . 5 |- (<.z, 0R>. = C -> (<.z, 0R>. + A) = (C + A))
13		opreq1 3968	. . . . 5 |- (<.z, 0R>. = C -> (<.z, 0R>. + B) = (C + B))
14	12, 13	breq12d 2631	. . . 4 |- (<.z, 0R>. = C -> ((<.z, 0R>. + A) <R (<.z, 0R>. + B) <-> (C + A) <R (C + B)))
15	14	bibi2d 618	. . 3 |- (<.z, 0R>. = C -> ((A <R B <-> (<.z, 0R>. + A) <R (<.z, 0R>. + B)) <-> (A <R B <-> (C + A) <R (C + B))))
16		visset 1813	. . . . . . . 8 |- x e. V
17		visset 1813	. . . . . . . 8 |- y e. V
18	16, 17	ltasr 5209	. . . . . . 7 |- (z e. R. -> (x <R y <-> (z +R x) <R (z +R y)))
19	18	adantr 389	. . . . . 6 |- ((z e. R. /\ (x e. R. /\ y e. R.)) -> (x <R y <-> (z +R x) <R (z +R y)))
20	16, 17	ltresr 5258	. . . . . . 7 |- (<.x, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> x <R y)
21	20	a1i 8	. . . . . 6 |- ((z e. R. /\ (x e. R. /\ y e. R.)) -> (<.x, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> x <R y))
22		addresr 5256	. . . . . . . . 9 |- ((z e. R. /\ x e. R.) -> (<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) = <.(z +R x), 0R>.)
23		addresr 5256	. . . . . . . . 9 |- ((z e. R. /\ y e. R.) -> (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.) = <.(z +R y), 0R>.)
24	22, 23	breqan12d 2632	. . . . . . . 8 |- (((z e. R. /\ x e. R.) /\ (z e. R. /\ y e. R.)) -> ((<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.) <-> <.(z +R x), 0R>. <R <.(z +R y), 0R>.))
25	24	anandis 512	. . . . . . 7 |- ((z e. R. /\ (x e. R. /\ y e. R.)) -> ((<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.) <-> <.(z +R x), 0R>. <R <.(z +R y), 0R>.))
26		oprex 3983	. . . . . . . 8 |- (z +R x) e. V
27		oprex 3983	. . . . . . . 8 |- (z +R y) e. V
28	26, 27	ltresr 5258	. . . . . . 7 |- (<.(z +R x), 0R>. <R <.(z +R y), 0R>. <-> (z +R x) <R (z +R y))
29	25, 28	syl6bb 536	. . . . . 6 |- ((z e. R. /\ (x e. R. /\ y e. R.)) -> ((<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.) <-> (z +R x) <R (z +R y)))
30	19, 21, 29	3bitr4d 550	. . . . 5 |- ((z e. R. /\ (x e. R. /\ y e. R.)) -> (<.x, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> (<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.)))
31	30	ancoms 436	. . . 4 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ z e. R.) -> (<.x, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> (<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.)))
32	31	3impa 828	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R.) -> (<.x, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> (<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.)))
33	1, 2, 3, 7, 11, 15, 32	3gencl 1830	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A <R B <-> (C + A) <R (C + B)))
34	33	biimpd 153	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A <R B -> (C + A) <R (C + B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  R.cnr 4993  0Rc0r 4994   +R cplr 4997   <R cltr 4999  RRcr 5233   + caddc 5237   <R cltrr 5238

This theorem is referenced by:  axltadd 5505

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-plus 5245  df-lt 5247

Copyright terms: Public domain