Theorem pre-axmulgt0 5290

Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 24 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axmulgt0 5506.

Assertion

Ref	Expression
pre-axmulgt0	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 <R A /\ 0 <R B) -> 0 <R (A x. B)))

Proof of Theorem pre-axmulgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5250	. 2 |- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
2		elreal 5250	. 2 |- (B e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = B))
3		breq2 2623	. . . 4 |- (<.x, 0R>. = A -> (0 <R <.x, 0R>. <-> 0 <R A))
4	3	anbi1d 617	. . 3 |- (<.x, 0R>. = A -> ((0 <R <.x, 0R>. /\ 0 <R <.y, 0R>.) <-> (0 <R A /\ 0 <R <.y, 0R>.)))
5		opreq1 3968	. . . 4 |- (<.x, 0R>. = A -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) = (A x. <.y, 0R>.))
6	5	breq2d 2630	. . 3 |- (<.x, 0R>. = A -> (0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) <-> 0 <R (A x. <.y, 0R>.)))
7	4, 6	imbi12d 626	. 2 |- (<.x, 0R>. = A -> (((0 <R <.x, 0R>. /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.)) <-> ((0 <R A /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0 <R (A x. <.y, 0R>.))))
8		breq2 2623	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = B -> (0 <R <.y, 0R>. <-> 0 <R B))
9	8	anbi2d 616	. . 3 |- (<.y, 0R>. = B -> ((0 <R A /\ 0 <R <.y, 0R>.) <-> (0 <R A /\ 0 <R B)))
10		opreq2 3969	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = B -> (A x. <.y, 0R>.) = (A x. B))
11	10	breq2d 2630	. . 3 |- (<.y, 0R>. = B -> (0 <R (A x. <.y, 0R>.) <-> 0 <R (A x. B)))
12	9, 11	imbi12d 626	. 2 |- (<.y, 0R>. = B -> (((0 <R A /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0 <R (A x. <.y, 0R>.)) <-> ((0 <R A /\ 0 <R B) -> 0 <R (A x. B))))
13		df-0 5241	. . . . . 6 |- 0 = <.0R, 0R>.
14	13	a1i 8	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> 0 = <.0R, 0R>.)
15		visset 1813	. . . . . 6 |- y e. V
16	15	mulresr 5257	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) = <.(x .R y), 0R>.)
17	14, 16	breq12d 2631	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) <-> <.0R, 0R>. <R <.(x .R y), 0R>.))
18		0r 5189	. . . . . 6 |- 0R e. R.
19	18	elisseti 1818	. . . . 5 |- 0R e. V
20		oprex 3983	. . . . 5 |- (x .R y) e. V
21	19, 20	ltresr 5258	. . . 4 |- (<.0R, 0R>. <R <.(x .R y), 0R>. <-> 0R <R (x .R y))
22	17, 21	syl6bb 536	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) <-> 0R <R (x .R y)))
23		visset 1813	. . . . 5 |- x e. V
24	23, 15	mulgt0sr 5214	. . . 4 |- ((0R <R x /\ 0R <R y) -> 0R <R (x .R y))
25	13	breq1i 2626	. . . . 5 |- (0 <R <.x, 0R>. <-> <.0R, 0R>. <R <.x, 0R>.)
26	19, 23	ltresr 5258	. . . . 5 |- (<.0R, 0R>. <R <.x, 0R>. <-> 0R <R x)
27	25, 26	bitr 173	. . . 4 |- (0 <R <.x, 0R>. <-> 0R <R x)
28	13	breq1i 2626	. . . . 5 |- (0 <R <.y, 0R>. <-> <.0R, 0R>. <R <.y, 0R>.)
29	19, 15	ltresr 5258	. . . . 5 |- (<.0R, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> 0R <R y)
30	28, 29	bitr 173	. . . 4 |- (0 <R <.y, 0R>. <-> 0R <R y)
31	24, 27, 30	syl2anb 455	. . 3 |- ((0 <R <.x, 0R>. /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0R <R (x .R y))
32	22, 31	syl5bir 210	. 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> ((0 <R <.x, 0R>. /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.)))
33	1, 2, 7, 12, 32	2gencl 1829	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 <R A /\ 0 <R B) -> 0 <R (A x. B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  R.cnr 4993  0Rc0r 4994   .R cmr 4998   <R cltr 4999  RRcr 5233  0cc0 5234   <R cltrr 5238   x. cmul 5239

This theorem is referenced by:  axmulgt0 5506

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-r 5244  df-mul 5246  df-lt 5247

Copyright terms: Public domain