Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  predfz Unicode version

Theorem predfz 25421
Description: Calculate the predecessor of an integer under a finite set of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
predfz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  Pred (  <  ,  ( M ... N ) ,  K
)  =  ( M ... ( K  - 
1 ) ) )

Proof of Theorem predfz
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11019 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
2 elfzelz 11019 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
3 zltlem1 10288 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( x  <  K  <->  x  <_  ( K  - 
1 ) ) )
41, 2, 3syl2anr 465 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  <  K  <->  x  <_  ( K  - 
1 ) ) )
5 elfzuz 11015 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 peano2zm 10280 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
72, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
8 elfz5 11011 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  <-> 
x  <_  ( K  -  1 ) ) )
95, 7, 8syl2anr 465 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  <-> 
x  <_  ( K  -  1 ) ) )
104, 9bitr4d 248 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  <  K  <->  x  e.  ( M ... ( K  -  1
) ) ) )
1110pm5.32da 623 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  /\  x  <  K
)  <->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) ) ) )
12 vex 2923 . . . 4  |-  x  e. 
_V
1312elpred 25395 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
x  e.  Pred (  <  ,  ( M ... N ) ,  K
)  <->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  x  <  K ) ) )
14 elfzuz3 11016 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
152zcnd 10336 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  CC )
16 ax-1cn 9008 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
17 npcan 9274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
1815, 16, 17sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( K  -  1 )  +  1 )  =  K )
1918fveq2d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( ZZ>=
`  ( ( K  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  K )
)
2014, 19eleqtrrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) )
21 peano2uzr 10492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  - 
1 )  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1
) ) )
227, 20, 21syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) ) )
23 fzss2 11052 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) )  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... ( K  - 
1 ) )  C_  ( M ... N ) )
2524sseld 3311 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
x  e.  ( M ... ( K  - 
1 ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) ) )
2625pm4.71rd 617 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
x  e.  ( M ... ( K  - 
1 ) )  <->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) ) ) )
2711, 13, 263bitr4d 277 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
x  e.  Pred (  <  ,  ( M ... N ) ,  K
)  <->  x  e.  ( M ... ( K  - 
1 ) ) ) )
2827eqrdv 2406 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  Pred (  <  ,  ( M ... N ) ,  K
)  =  ( M ... ( K  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3284   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   1c1 8951    + caddc 8953    < clt 9080    <_ cle 9081    - cmin 9251   ZZcz 10242   ZZ>=cuz 10448   ...cfz 11003   Predcpred 25385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-pred 25386
  Copyright terms: Public domain W3C validator