Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  predfz Structured version   Unicode version

Theorem predfz 25483
Description: Calculate the predecessor of an integer under a finite set of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
predfz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  Pred (  <  ,  ( M ... N ) ,  K
)  =  ( M ... ( K  - 
1 ) ) )

Proof of Theorem predfz
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11064 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
2 elfzelz 11064 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
3 zltlem1 10333 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( x  <  K  <->  x  <_  ( K  - 
1 ) ) )
41, 2, 3syl2anr 466 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  <  K  <->  x  <_  ( K  - 
1 ) ) )
5 elfzuz 11060 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 peano2zm 10325 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
72, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
8 elfz5 11056 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  <-> 
x  <_  ( K  -  1 ) ) )
95, 7, 8syl2anr 466 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  <-> 
x  <_  ( K  -  1 ) ) )
104, 9bitr4d 249 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  <  K  <->  x  e.  ( M ... ( K  -  1
) ) ) )
1110pm5.32da 624 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  /\  x  <  K
)  <->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) ) ) )
12 vex 2961 . . . 4  |-  x  e. 
_V
1312elpred 25457 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
x  e.  Pred (  <  ,  ( M ... N ) ,  K
)  <->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  x  <  K ) ) )
14 elfzuz3 11061 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
152zcnd 10381 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  CC )
16 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
17 npcan 9319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
1815, 16, 17sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( K  -  1 )  +  1 )  =  K )
1918fveq2d 5735 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( ZZ>=
`  ( ( K  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  K )
)
2014, 19eleqtrrd 2515 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) )
21 peano2uzr 10537 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  - 
1 )  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1
) ) )
227, 20, 21syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) ) )
23 fzss2 11097 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) )  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... ( K  - 
1 ) )  C_  ( M ... N ) )
2524sseld 3349 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
x  e.  ( M ... ( K  - 
1 ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) ) )
2625pm4.71rd 618 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
x  e.  ( M ... ( K  - 
1 ) )  <->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) ) ) )
2711, 13, 263bitr4d 278 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
x  e.  Pred (  <  ,  ( M ... N ) ,  K
)  <->  x  e.  ( M ... ( K  - 
1 ) ) ) )
2827eqrdv 2436 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  Pred (  <  ,  ( M ... N ) ,  K
)  =  ( M ... ( K  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   1c1 8996    + caddc 8998    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048   Predcpred 25443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-pred 25444
  Copyright terms: Public domain W3C validator