Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  predreseq Structured version   Unicode version

Theorem predreseq 25459
Description: Equality of restriction to predecessor classes. (Contributed by Scott Fenton, 8-Feb-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
predreseq.1  |-  X  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
predreseq  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  <->  A. y  e.  A  ( y R X  ->  ( F `
 y )  =  ( G `  y
) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, F    y, G    y, X    y, R

Proof of Theorem predreseq
StepHypRef Expression
1 predss 25451 . . 3  |-  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  A
2 fvreseq 5836 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  Pred ( R ,  A ,  X
)  C_  A )  ->  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  <->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X )
( F `  y
)  =  ( G `
 y ) ) )
31, 2mpan2 654 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  <->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X )
( F `  y
)  =  ( G `
 y ) ) )
4 df-ral 2712 . . . 4  |-  ( A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) ( F `  y )  =  ( G `  y )  <->  A. y ( y  e. 
Pred ( R ,  A ,  X )  ->  ( F `  y
)  =  ( G `
 y ) ) )
5 predreseq.1 . . . . . . 7  |-  X  e. 
_V
6 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
76elpred 25457 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  (
y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  ( y  e.  A  /\  y R X ) ) )
85, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  ( y  e.  A  /\  y R X ) )
98imbi1i 317 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) )  <->  ( (
y  e.  A  /\  y R X )  -> 
( F `  y
)  =  ( G `
 y ) ) )
109albii 1576 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e. 
Pred ( R ,  A ,  X )  ->  ( F `  y
)  =  ( G `
 y ) )  <->  A. y ( ( y  e.  A  /\  y R X )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )
11 impexp 435 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  y R X )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) )  <->  ( y  e.  A  ->  ( y R X  ->  ( F `
 y )  =  ( G `  y
) ) ) )
1211albii 1576 . . . 4  |-  ( A. y ( ( y  e.  A  /\  y R X )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) )  <->  A. y
( y  e.  A  ->  ( y R X  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) ) )
134, 10, 123bitri 264 . . 3  |-  ( A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) ( F `  y )  =  ( G `  y )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  ( y R X  ->  ( F `
 y )  =  ( G `  y
) ) ) )
14 df-ral 2712 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  (
y R X  -> 
( F `  y
)  =  ( G `
 y ) )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  ( y R X  ->  ( F `
 y )  =  ( G `  y
) ) ) )
1513, 14bitr4i 245 . 2  |-  ( A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) ( F `  y )  =  ( G `  y )  <->  A. y  e.  A  ( y R X  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )
163, 15syl6bb 254 1  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  <->  A. y  e.  A  ( y R X  ->  ( F `
 y )  =  ( G `  y
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   class class class wbr 4215    |` cres 4883    Fn wfn 5452   ` cfv 5457   Predcpred 25443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-fv 5465  df-pred 25444
  Copyright terms: Public domain W3C validator