Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  predreseq Unicode version

Theorem predreseq 25393
Description: Equality of restriction to predecessor classes. (Contributed by Scott Fenton, 8-Feb-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
predreseq.1  |-  X  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
predreseq  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  <->  A. y  e.  A  ( y R X  ->  ( F `
 y )  =  ( G `  y
) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, F    y, G    y, X    y, R

Proof of Theorem predreseq
StepHypRef Expression
1 predss 25387 . . 3  |-  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  A
2 fvreseq 5792 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  Pred ( R ,  A ,  X
)  C_  A )  ->  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  <->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X )
( F `  y
)  =  ( G `
 y ) ) )
31, 2mpan2 653 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  <->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X )
( F `  y
)  =  ( G `
 y ) ) )
4 df-ral 2671 . . . 4  |-  ( A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) ( F `  y )  =  ( G `  y )  <->  A. y ( y  e. 
Pred ( R ,  A ,  X )  ->  ( F `  y
)  =  ( G `
 y ) ) )
5 predreseq.1 . . . . . . 7  |-  X  e. 
_V
6 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
76elpred 25391 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  (
y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  ( y  e.  A  /\  y R X ) ) )
85, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  ( y  e.  A  /\  y R X ) )
98imbi1i 316 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) )  <->  ( (
y  e.  A  /\  y R X )  -> 
( F `  y
)  =  ( G `
 y ) ) )
109albii 1572 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e. 
Pred ( R ,  A ,  X )  ->  ( F `  y
)  =  ( G `
 y ) )  <->  A. y ( ( y  e.  A  /\  y R X )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )
11 impexp 434 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  y R X )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) )  <->  ( y  e.  A  ->  ( y R X  ->  ( F `
 y )  =  ( G `  y
) ) ) )
1211albii 1572 . . . 4  |-  ( A. y ( ( y  e.  A  /\  y R X )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) )  <->  A. y
( y  e.  A  ->  ( y R X  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) ) )
134, 10, 123bitri 263 . . 3  |-  ( A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) ( F `  y )  =  ( G `  y )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  ( y R X  ->  ( F `
 y )  =  ( G `  y
) ) ) )
14 df-ral 2671 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  (
y R X  -> 
( F `  y
)  =  ( G `
 y ) )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  ( y R X  ->  ( F `
 y )  =  ( G `  y
) ) ) )
1513, 14bitr4i 244 . 2  |-  ( A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) ( F `  y )  =  ( G `  y )  <->  A. y  e.  A  ( y R X  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )
163, 15syl6bb 253 1  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  X ) )  <->  A. y  e.  A  ( y R X  ->  ( F `
 y )  =  ( G `  y
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    |` cres 4839    Fn wfn 5408   ` cfv 5413   Predcpred 25381
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-fv 5421  df-pred 25382
  Copyright terms: Public domain W3C validator