MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prfi Structured version   Unicode version

Theorem prfi 7373
Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
prfi  |-  { A ,  B }  e.  Fin

Proof of Theorem prfi
StepHypRef Expression
1 df-pr 3813 . 2  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
2 snfi 7179 . . 3  |-  { A }  e.  Fin
3 snfi 7179 . . 3  |-  { B }  e.  Fin
4 unfi 7366 . . 3  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  { B }  e.  Fin )  ->  ( { A }  u.  { B } )  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 654 . 2  |-  ( { A }  u.  { B } )  e.  Fin
61, 5eqeltri 2505 1  |-  { A ,  B }  e.  Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725    u. cun 3310   {csn 3806   {cpr 3807   Fincfn 7101
This theorem is referenced by:  tpfi  7374  fiint  7375  inelfi  7415  tskpr  8637  hashtpg  11683  hashpw  11691  hashfun  11692  isprm2lem  13078  prmreclem2  13277  acsfn2  13880  isdrs2  14388  znidomb  16834  ovolioo  19454  i1f1  19574  itgioo  19699  limcun  19774  aannenlem2  20238  wilthlem2  20844  perfectlem2  21006  umgraex  21350  konigsberg  21701  sumpr  24210  coinfliplem  24728  coinflippv  24733  subfacp1lem1  24857  kelac2lem  27130  sumpair  27673  refsum2cnlem1  27675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105
  Copyright terms: Public domain W3C validator