MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prfi Unicode version

Theorem prfi 7131
Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
prfi  |-  { A ,  B }  e.  Fin

Proof of Theorem prfi
StepHypRef Expression
1 df-pr 3647 . 2  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
2 snfi 6941 . . 3  |-  { A }  e.  Fin
3 snfi 6941 . . 3  |-  { B }  e.  Fin
4 unfi 7124 . . 3  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  { B }  e.  Fin )  ->  ( { A }  u.  { B } )  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 653 . 2  |-  ( { A }  u.  { B } )  e.  Fin
61, 5eqeltri 2353 1  |-  { A ,  B }  e.  Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684    u. cun 3150   {csn 3640   {cpr 3641   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  tpfi  7132  fiint  7133  tskpr  8392  hashpw  11388  hashfun  11389  isprm2lem  12765  prmreclem2  12964  acsfn2  13565  isdrs2  14073  znidomb  16515  ovolioo  18925  i1f1  19045  itgioo  19170  limcun  19245  aannenlem2  19709  wilthlem2  20307  perfectlem2  20469  sumpr  23168  coinfliplem  23679  coinflippv  23684  subfacp1lem1  23710  umgraex  23875  konigsberg  23911  indcomp  25589  kelac2lem  27162  sumpair  27706  refsum2cnlem1  27708
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator