MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prfi Unicode version

Theorem prfi 7318
Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
prfi  |-  { A ,  B }  e.  Fin

Proof of Theorem prfi
StepHypRef Expression
1 df-pr 3765 . 2  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
2 snfi 7124 . . 3  |-  { A }  e.  Fin
3 snfi 7124 . . 3  |-  { B }  e.  Fin
4 unfi 7311 . . 3  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  { B }  e.  Fin )  ->  ( { A }  u.  { B } )  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 654 . 2  |-  ( { A }  u.  { B } )  e.  Fin
61, 5eqeltri 2458 1  |-  { A ,  B }  e.  Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1717    u. cun 3262   {csn 3758   {cpr 3759   Fincfn 7046
This theorem is referenced by:  tpfi  7319  fiint  7320  inelfi  7359  tskpr  8579  hashtpg  11619  hashpw  11627  hashfun  11628  isprm2lem  13014  prmreclem2  13213  acsfn2  13816  isdrs2  14324  znidomb  16766  ovolioo  19330  i1f1  19450  itgioo  19575  limcun  19650  aannenlem2  20114  wilthlem2  20720  perfectlem2  20882  umgraex  21226  konigsberg  21558  sumpr  24048  coinfliplem  24516  coinflippv  24521  subfacp1lem1  24645  kelac2lem  26832  sumpair  27375  refsum2cnlem1  27377
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-fin 7050
  Copyright terms: Public domain W3C validator