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Theorem pridl 26662
Description: The main property of a prime ideal. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
pridl.1  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
Assertion
Ref Expression
pridl  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R ) )  /\  ( A  e.  ( Idl `  R )  /\  B  e.  ( Idl `  R )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x H y )  e.  P ) )  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P
) )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, P, y    x, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    A( y)    H( x, y)

Proof of Theorem pridl
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 1st `  R )  =  ( 1st `  R )
2 pridl.1 . . . . . . 7  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
3 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ran  ( 1st `  R )  =  ran  ( 1st `  R
)
41, 2, 3ispridl 26659 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  ran  ( 1st `  R
)  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
5 df-3an 936 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  ran  ( 1st `  R
)  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )  <-> 
( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  ran  ( 1st `  R
) )  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
64, 5syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  ran  ( 1st `  R ) )  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
76simplbda 607 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R )
)  ->  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )
8 raleq 2736 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( A. x  e.  a  A. y  e.  b 
( x H y )  e.  P  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P ) )
9 sseq1 3199 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  P  <->  A  C_  P
) )
109orbi1d 683 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( a  C_  P  \/  b  C_  P )  <-> 
( A  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )
118, 10imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
12 raleq 2736 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  b 
( x H y )  e.  P  <->  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P ) )
1312ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  b 
( x H y )  e.  P  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P ) )
14 sseq1 3199 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
b  C_  P  <->  B  C_  P
) )
1514orbi2d 682 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  C_  P  \/  b  C_  P )  <-> 
( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) )
1613, 15imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( A. x  e.  A  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  b  C_  P ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) ) )
1711, 16rspc2v 2890 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Idl `  R )  /\  B  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  (
x H y )  e.  P  ->  (
a  C_  P  \/  b  C_  P ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) ) )
187, 17syl5com 26 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R )
)  ->  ( ( A  e.  ( Idl `  R )  /\  B  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P  -> 
( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) ) )
1918exp3a 425 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R )
)  ->  ( A  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( B  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) ) ) )
20193imp2 1166 1  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R ) )  /\  ( A  e.  ( Idl `  R )  /\  B  e.  ( Idl `  R )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x H y )  e.  P ) )  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    C_ wss 3152   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   RingOpscrngo 21042   Idlcidl 26632   PrIdlcpridl 26633
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-pridl 26636
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