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Theorem pridl 26601
Description: The main property of a prime ideal. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
pridl.1  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
Assertion
Ref Expression
pridl  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R ) )  /\  ( A  e.  ( Idl `  R )  /\  B  e.  ( Idl `  R )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x H y )  e.  P ) )  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P
) )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, P, y    x, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    A( y)    H( x, y)

Proof of Theorem pridl
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( 1st `  R )  =  ( 1st `  R )
2 pridl.1 . . . . . . 7  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
3 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ran  ( 1st `  R )  =  ran  ( 1st `  R
)
41, 2, 3ispridl 26598 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  ran  ( 1st `  R
)  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
5 df-3an 938 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  ran  ( 1st `  R
)  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )  <-> 
( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  ran  ( 1st `  R
) )  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
64, 5syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  ran  ( 1st `  R ) )  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
76simplbda 608 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R )
)  ->  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )
8 raleq 2896 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( A. x  e.  a  A. y  e.  b 
( x H y )  e.  P  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P ) )
9 sseq1 3361 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  P  <->  A  C_  P
) )
109orbi1d 684 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( a  C_  P  \/  b  C_  P )  <-> 
( A  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )
118, 10imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
12 raleq 2896 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  b 
( x H y )  e.  P  <->  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P ) )
1312ralbidv 2717 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  b 
( x H y )  e.  P  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P ) )
14 sseq1 3361 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
b  C_  P  <->  B  C_  P
) )
1514orbi2d 683 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  C_  P  \/  b  C_  P )  <-> 
( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) )
1613, 15imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( A. x  e.  A  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  b  C_  P ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) ) )
1711, 16rspc2v 3050 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Idl `  R )  /\  B  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  (
x H y )  e.  P  ->  (
a  C_  P  \/  b  C_  P ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) ) )
187, 17syl5com 28 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R )
)  ->  ( ( A  e.  ( Idl `  R )  /\  B  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P  -> 
( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) ) )
1918exp3a 426 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R )
)  ->  ( A  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( B  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) ) ) )
20193imp2 1168 1  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R ) )  /\  ( A  e.  ( Idl `  R )  /\  B  e.  ( Idl `  R )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x H y )  e.  P ) )  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697    C_ wss 3312   ran crn 4871   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1stc1st 6339   2ndc2nd 6340   RingOpscrngo 21953   Idlcidl 26571   PrIdlcpridl 26572
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-pridl 26575
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