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Theorem pridl 26765
Description: The main property of a prime ideal. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
pridl.1  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
Assertion
Ref Expression
pridl  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R ) )  /\  ( A  e.  ( Idl `  R )  /\  B  e.  ( Idl `  R )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x H y )  e.  P ) )  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P
) )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, P, y    x, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    A( y)    H( x, y)

Proof of Theorem pridl
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 1st `  R )  =  ( 1st `  R )
2 pridl.1 . . . . . . 7  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
3 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ran  ( 1st `  R )  =  ran  ( 1st `  R
)
41, 2, 3ispridl 26762 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  ran  ( 1st `  R
)  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
5 df-3an 936 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  ran  ( 1st `  R
)  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )  <-> 
( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  ran  ( 1st `  R
) )  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
64, 5syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  ran  ( 1st `  R ) )  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
76simplbda 607 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R )
)  ->  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )
8 raleq 2749 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( A. x  e.  a  A. y  e.  b 
( x H y )  e.  P  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P ) )
9 sseq1 3212 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  P  <->  A  C_  P
) )
109orbi1d 683 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( a  C_  P  \/  b  C_  P )  <-> 
( A  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )
118, 10imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
12 raleq 2749 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  b 
( x H y )  e.  P  <->  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P ) )
1312ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  b 
( x H y )  e.  P  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P ) )
14 sseq1 3212 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
b  C_  P  <->  B  C_  P
) )
1514orbi2d 682 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  C_  P  \/  b  C_  P )  <-> 
( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) )
1613, 15imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( A. x  e.  A  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  b  C_  P ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) ) )
1711, 16rspc2v 2903 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Idl `  R )  /\  B  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  (
x H y )  e.  P  ->  (
a  C_  P  \/  b  C_  P ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) ) )
187, 17syl5com 26 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R )
)  ->  ( ( A  e.  ( Idl `  R )  /\  B  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P  -> 
( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) ) )
1918exp3a 425 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R )
)  ->  ( A  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( B  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) ) ) )
20193imp2 1166 1  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R ) )  /\  ( A  e.  ( Idl `  R )  /\  B  e.  ( Idl `  R )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x H y )  e.  P ) )  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    C_ wss 3165   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   RingOpscrngo 21058   Idlcidl 26735   PrIdlcpridl 26736
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-pridl 26739
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