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Theorem prismorcset 26017
Description: The predicate "is a morphism of the category Set". (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
prismorcset  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  C >.  e.  ( Morphism SetCat `  U )  <->  ( A  e.  U  /\  B  e.  U  /\  C  e.  ( B  ^m  A
) ) ) )

Proof of Theorem prismorcset
Dummy variables  a 
b  c  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  U  e.  Univ )
2 reloprab 5912 . . . . . . 7  |-  Rel  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }
3 relssdmrn 5209 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
{ <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  ->  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) } 
C_  ( dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  X.  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } ) )
42, 3ax-mp 8 . . . . . 6  |-  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) } 
C_  ( dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  X.  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )
5 df-3an 936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) )  <->  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) )
65a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) )  <->  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) ) )
76oprabbidv 5918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  =  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) } )
87dmeqd 4897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  dom  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) }  =  dom  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) } )
9 dmoprabss 5945 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( U  X.  U
)
109a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  dom  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( U  X.  U
) )
118, 10eqsstrd 3225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  dom  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) } 
C_  ( U  X.  U ) )
127rneqd 4922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  ran  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) }  =  ran  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) } )
13 rnoprab2 5947 . . . . . . . . 9  |-  ran  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  =  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) }
1412, 13syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  ran  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) }  =  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a ) } )
15 ssid 3210 . . . . . . . . 9  |-  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a ) }  C_  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a ) }
1615a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a ) }  C_  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) } )
1714, 16eqsstrd 3225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  ran  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) } 
C_  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a ) } )
18 xpss12 4808 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( U  X.  U
)  /\  ran  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) } 
C_  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a ) } )  ->  ( dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  X.  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  C_  ( ( U  X.  U )  X.  {
c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) } ) )
1911, 17, 18syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  ( dom  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  X.  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  C_  ( ( U  X.  U )  X.  {
c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) } ) )
204, 19syl5ss 3203 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( ( U  X.  U )  X.  {
c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) } ) )
21 xpexg 4816 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  Univ )  ->  ( U  X.  U )  e. 
_V )
2221anidms 626 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( U  X.  U )  e. 
_V )
2322adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  ( U  X.  U )  e.  _V )
24 df-iun 3923 . . . . . . . 8  |-  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a )  =  {
c  |  E. a  e.  U  c  e.  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) }
25 eliun 3925 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a )  <->  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) )
2625rexbii 2581 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  U  c  e.  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a )  <->  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) )
2726abbii 2408 . . . . . . . 8  |-  { c  |  E. a  e.  U  c  e.  U_ b  e.  U  (
b  ^m  a ) }  =  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a ) }
2824, 27eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a )  =  {
c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) }
291adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F )  /\  U  e.  Univ )  /\  a  e.  U )  ->  U  e.  Univ )
30 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  ^m  a )  e. 
_V
3130a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F )  /\  U  e.  Univ )  /\  a  e.  U )  /\  b  e.  U )  ->  (
b  ^m  a )  e.  _V )
3231ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F )  /\  U  e.  Univ )  /\  a  e.  U )  ->  A. b  e.  U  ( b  ^m  a )  e.  _V )
33 iunexg 5783 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A. b  e.  U  (
b  ^m  a )  e.  _V )  ->  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a )  e.  _V )
3429, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F )  /\  U  e.  Univ )  /\  a  e.  U )  ->  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a )  e.  _V )
3534ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  A. a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a )  e.  _V )
36 iunexg 5783 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A. a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a )  e.  _V )  ->  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a )  e.  _V )
371, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a )  e.  _V )
3828, 37syl5eqelr 2381 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a ) }  e.  _V )
39 xpexg 4816 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  X.  U
)  e.  _V  /\  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) }  e.  _V )  ->  ( ( U  X.  U )  X. 
{ c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) } )  e. 
_V )
4023, 38, 39syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  ( ( U  X.  U )  X. 
{ c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) } )  e. 
_V )
41 ssexg 4176 . . . . 5  |-  ( ( { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  (
( U  X.  U
)  X.  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a ) } )  /\  (
( U  X.  U
)  X.  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a ) } )  e.  _V )  ->  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  e.  _V )
4220, 40, 41syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  e.  _V )
43 eleq2 2357 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U  ->  (
a  e.  x  <->  a  e.  U ) )
44 eleq2 2357 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U  ->  (
b  e.  x  <->  b  e.  U ) )
45 biidd 228 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U  ->  (
c  e.  ( b  ^m  a )  <->  c  e.  ( b  ^m  a
) ) )
4643, 44, 453anbi123d 1252 . . . . . 6  |-  ( x  =  U  ->  (
( a  e.  x  /\  b  e.  x  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
)  <->  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) ) )
4746oprabbidv 5918 . . . . 5  |-  ( x  =  U  ->  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  x  /\  b  e.  x  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) }  =  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) } )
48 df-morcatset 26014 . . . . 5  |-  Morphism SetCat  =  ( x  e.  Univ  |->  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  x  /\  b  e.  x  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) } )
4947, 48fvmptg 5616 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  e.  _V )  ->  ( Morphism SetCat `  U
)  =  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) } )
501, 42, 49syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  ( Morphism SetCat `  U )  =  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )
5150eleq2d 2363 . 2  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  C >.  e.  ( Morphism SetCat `  U )  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. 
{ <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } ) )
52 eleq1 2356 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
a  e.  U  <->  A  e.  U ) )
53 biidd 228 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
b  e.  U  <->  b  e.  U ) )
54 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
b  ^m  a )  =  ( b  ^m  A ) )
5554eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
c  e.  ( b  ^m  a )  <->  c  e.  ( b  ^m  A
) ) )
5652, 53, 553anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
)  <->  ( A  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  A
) ) ) )
57 biidd 228 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( A  e.  U  <->  A  e.  U ) )
58 eleq1 2356 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
b  e.  U  <->  B  e.  U ) )
59 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
b  ^m  A )  =  ( B  ^m  A ) )
6059eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
c  e.  ( b  ^m  A )  <->  c  e.  ( B  ^m  A ) ) )
6157, 58, 603anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  A )
)  <->  ( A  e.  U  /\  B  e.  U  /\  c  e.  ( B  ^m  A
) ) ) )
62 eleq1 2356 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  (
c  e.  ( B  ^m  A )  <->  C  e.  ( B  ^m  A ) ) )
63623anbi3d 1258 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( A  e.  U  /\  B  e.  U  /\  c  e.  ( B  ^m  A ) )  <-> 
( A  e.  U  /\  B  e.  U  /\  C  e.  ( B  ^m  A ) ) ) )
6456, 61, 63eloprabg 5951 . . 3  |-  ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F )  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  C >.  e.  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  <->  ( A  e.  U  /\  B  e.  U  /\  C  e.  ( B  ^m  A
) ) ) )
6564adantr 451 . 2  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  C >.  e.  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) }  <-> 
( A  e.  U  /\  B  e.  U  /\  C  e.  ( B  ^m  A ) ) ) )
6651, 65bitrd 244 1  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  B  e.  E  /\  C  e.  F
)  /\  U  e.  Univ )  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  C >.  e.  ( Morphism SetCat `  U )  <->  ( A  e.  U  /\  B  e.  U  /\  C  e.  ( B  ^m  A
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   <.cop 3656   U_ciun 3921    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706   Rel wrel 4710   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   {coprab 5875    ^m cmap 6788   Univcgru 8428   Morphism SetCatccmrcase 26013
This theorem is referenced by:  idcatfun  26044  rocatval  26062
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-morcatset 26014
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