Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prismorcsetlemb Unicode version

Theorem prismorcsetlemb 26016
Description: Lemma for prismorcset 26017. First use of the property of a universe through grumap 8446. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
prismorcsetlemb  |-  ( U  e.  Univ  ->  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a ) }  e.  _V )
Distinct variable group:    U, a, b, c

Proof of Theorem prismorcsetlemb
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . 2  |-  ( U  e.  Univ  ->  U  e. 
_V )
2 abid2 2413 . . . 4  |-  { c  |  c  e.  ( b  ^m  a ) }  =  ( b  ^m  a )
3 grumap 8446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  b  e.  U  /\  a  e.  U )  ->  (
b  ^m  a )  e.  U )
433exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( b  e.  U  ->  (
a  e.  U  -> 
( b  ^m  a
)  e.  U ) ) )
54com13 74 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  U  ->  (
b  e.  U  -> 
( U  e.  Univ  -> 
( b  ^m  a
)  e.  U ) ) )
65imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  ->  ( U  e.  Univ  -> 
( b  ^m  a
)  e.  U ) )
76impcom 419 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  (
a  e.  U  /\  b  e.  U )
)  ->  ( b  ^m  a )  e.  U
)
8 elex 2809 . . . . 5  |-  ( ( b  ^m  a )  e.  U  ->  (
b  ^m  a )  e.  _V )
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  (
a  e.  U  /\  b  e.  U )
)  ->  ( b  ^m  a )  e.  _V )
102, 9syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  (
a  e.  U  /\  b  e.  U )
)  ->  { c  |  c  e.  (
b  ^m  a ) }  e.  _V )
1110ralrimivva 2648 . 2  |-  ( U  e.  Univ  ->  A. a  e.  U  A. b  e.  U  { c  |  c  e.  (
b  ^m  a ) }  e.  _V )
12 ab2rexex2g 25235 . 2  |-  ( ( U  e.  _V  /\  U  e.  _V  /\  A. a  e.  U  A. b  e.  U  {
c  |  c  e.  ( b  ^m  a
) }  e.  _V )  ->  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a ) }  e.  _V )
131, 1, 11, 12syl3anc 1182 1  |-  ( U  e.  Univ  ->  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a ) }  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Univcgru 8428
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-pm 6791  df-gru 8429
  Copyright terms: Public domain W3C validator