Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prismorcsetlemb Unicode version

Theorem prismorcsetlemb 25913
Description: Lemma for prismorcset 25914. First use of the property of a universe through grumap 8430. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
prismorcsetlemb  |-  ( U  e.  Univ  ->  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a ) }  e.  _V )
Distinct variable group:    U, a, b, c

Proof of Theorem prismorcsetlemb
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( U  e.  Univ  ->  U  e. 
_V )
2 abid2 2400 . . . 4  |-  { c  |  c  e.  ( b  ^m  a ) }  =  ( b  ^m  a )
3 grumap 8430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  b  e.  U  /\  a  e.  U )  ->  (
b  ^m  a )  e.  U )
433exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( b  e.  U  ->  (
a  e.  U  -> 
( b  ^m  a
)  e.  U ) ) )
54com13 74 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  U  ->  (
b  e.  U  -> 
( U  e.  Univ  -> 
( b  ^m  a
)  e.  U ) ) )
65imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  ->  ( U  e.  Univ  -> 
( b  ^m  a
)  e.  U ) )
76impcom 419 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  (
a  e.  U  /\  b  e.  U )
)  ->  ( b  ^m  a )  e.  U
)
8 elex 2796 . . . . 5  |-  ( ( b  ^m  a )  e.  U  ->  (
b  ^m  a )  e.  _V )
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  (
a  e.  U  /\  b  e.  U )
)  ->  ( b  ^m  a )  e.  _V )
102, 9syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  (
a  e.  U  /\  b  e.  U )
)  ->  { c  |  c  e.  (
b  ^m  a ) }  e.  _V )
1110ralrimivva 2635 . 2  |-  ( U  e.  Univ  ->  A. a  e.  U  A. b  e.  U  { c  |  c  e.  (
b  ^m  a ) }  e.  _V )
12 ab2rexex2g 25132 . 2  |-  ( ( U  e.  _V  /\  U  e.  _V  /\  A. a  e.  U  A. b  e.  U  {
c  |  c  e.  ( b  ^m  a
) }  e.  _V )  ->  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a ) }  e.  _V )
131, 1, 11, 12syl3anc 1182 1  |-  ( U  e.  Univ  ->  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a ) }  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Univcgru 8412
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-pm 6775  df-gru 8413
  Copyright terms: Public domain W3C validator