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Theorem prismorcsetlemc 25917
Description: Lemma for morexcmp 25967. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
prismorcsetlemc.1  |-  F  =  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }
Assertion
Ref Expression
prismorcsetlemc  |-  ( U  e.  Univ  ->  F  C_  ( ( U  X.  U )  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) )
Distinct variable group:    U, a, b, c
Allowed substitution hints:    F( a, b, c)

Proof of Theorem prismorcsetlemc
StepHypRef Expression
1 prismorcsetlemc.1 . 2  |-  F  =  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }
2 reloprab 5896 . . 3  |-  Rel  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }
3 relssdmrn 5193 . . 3  |-  ( Rel 
{ <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  ->  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) } 
C_  ( dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  X.  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } ) )
4 rnoprab2 5931 . . . 4  |-  ran  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  =  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) }
5 dmoprabss 5929 . . . 4  |-  dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( U  X.  U
)
6 dfiunv2 25916 . . . . . 6  |-  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a )  =  {
c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) }
76eqcomi 2287 . . . . 5  |-  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a ) }  =  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a )
8 df-3an 936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) )  <->  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) )
98bicomi 193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) )  <->  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) )
109oprabbii 5903 . . . . . . 7  |-  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  =  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }
1110rneqi 4905 . . . . . 6  |-  ran  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  =  ran  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }
12 eqtr 2300 . . . . . 6  |-  ( ( ran  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  =  {
c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) }  /\  {
c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) }  =  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) )  ->  ran  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  =  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  (
b  ^m  a )
)
13 eqtr 2300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  =  ran  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  /\  ran  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  =  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  (
b  ^m  a )
)  ->  ran  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) }  =  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) )
1410dmeqi 4880 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  =  dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }
1514sseq1i 3202 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
{ <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( U  X.  U
)  <->  dom  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( U  X.  U
) )
1615biimpi 186 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
{ <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( U  X.  U
)  ->  dom  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) } 
C_  ( U  X.  U ) )
17 eqimss 3230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
{ <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  =  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a )  ->  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) )
18 xpss12 4792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( U  X.  U
)  /\  ran  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) } 
C_  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) )  ->  ( dom  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  X.  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  C_  ( ( U  X.  U )  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) )
19 sstr 3187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  ( dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  X.  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  /\  ( dom  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  X.  ran  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  C_  ( ( U  X.  U )  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) )  ->  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( ( U  X.  U )  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) )
2019a1d 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  ( dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  X.  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  /\  ( dom  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  X.  ran  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  C_  ( ( U  X.  U )  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) )  ->  ( U  e. 
Univ  ->  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( ( U  X.  U )  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) ) )
2120ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  ( dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  X.  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  -> 
( ( dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  X.  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  C_  ( ( U  X.  U )  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) )  -> 
( U  e.  Univ  ->  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  (
( U  X.  U
)  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) ) ) )
2218, 21syl5com 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( dom  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( U  X.  U
)  /\  ran  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) } 
C_  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) )  ->  ( { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  ( dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  X.  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  -> 
( U  e.  Univ  ->  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  (
( U  X.  U
)  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) ) ) )
2322ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
{ <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  ( U  X.  U )  -> 
( ran  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  (
b  ^m  a )  ->  ( { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( dom  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  X.  ran  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  -> 
( U  e.  Univ  ->  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  (
( U  X.  U
)  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) ) ) ) )
2417, 23syl5com 26 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
{ <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  =  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a )  ->  ( dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  ( U  X.  U )  -> 
( { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( dom  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  X.  ran  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  -> 
( U  e.  Univ  ->  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  (
( U  X.  U
)  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) ) ) ) )
2513, 16, 24syl2im 34 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  =  ran  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  /\  ran  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  =  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  (
b  ^m  a )
)  ->  ( dom  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( U  X.  U
)  ->  ( { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  ( dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  X.  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  -> 
( U  e.  Univ  ->  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  (
( U  X.  U
)  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) ) ) ) )
2625ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ran 
{ <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  =  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  ->  ( ran  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  =  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a )  ->  ( dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( U  X.  U
)  ->  ( { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  ( dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  X.  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  -> 
( U  e.  Univ  ->  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  (
( U  X.  U
)  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) ) ) ) ) )
2726eqcoms 2286 . . . . . 6  |-  ( ran 
{ <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  =  ran  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  ->  ( ran  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  =  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  (
b  ^m  a )  ->  ( dom  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( U  X.  U
)  ->  ( { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  ( dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  X.  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  -> 
( U  e.  Univ  ->  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  (
( U  X.  U
)  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) ) ) ) ) )
2811, 12, 27mpsyl 59 . . . . 5  |-  ( ( ran  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  =  {
c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) }  /\  {
c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) }  =  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) )  -> 
( dom  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  ( U  X.  U )  -> 
( { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( dom  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  X.  ran  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  -> 
( U  e.  Univ  ->  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  (
( U  X.  U
)  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) ) ) ) )
297, 28mpan2 652 . . . 4  |-  ( ran 
{ <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  =  { c  |  E. a  e.  U  E. b  e.  U  c  e.  ( b  ^m  a
) }  ->  ( dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  c  e.  ( b  ^m  a
) ) }  C_  ( U  X.  U
)  ->  ( { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  ( dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  X.  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  -> 
( U  e.  Univ  ->  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  (
( U  X.  U
)  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) ) ) ) )
304, 5, 29mp2 17 . . 3  |-  ( {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  ( dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  X.  ran  {
<. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) } )  -> 
( U  e.  Univ  ->  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  (
b  ^m  a )
) }  C_  (
( U  X.  U
)  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) ) )
312, 3, 30mp2b 9 . 2  |-  ( U  e.  Univ  ->  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  ( a  e.  U  /\  b  e.  U  /\  c  e.  ( b  ^m  a ) ) } 
C_  ( ( U  X.  U )  X. 
U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) )
321, 31syl5eqss 3222 1  |-  ( U  e.  Univ  ->  F  C_  ( ( U  X.  U )  X.  U_ a  e.  U  U_ b  e.  U  ( b  ^m  a ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544    C_ wss 3152   U_ciun 3905    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   Rel wrel 4694  (class class class)co 5858   {coprab 5859    ^m cmap 6772   Univcgru 8412
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-oprab 5862
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