Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjmapcp2 Unicode version

Theorem prjmapcp2 25170
Description: A projection is a mapping from a cartesian product onto one of its restriction. Bourbaki E.II.33 prop. 5. (Contributed by FL, 20-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
prjmapcp2  |-  ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) )  -> 
( X_ x  e.  A  B  prj  I ) :
X_ x  e.  A  B -onto-> X_ x  e.  I  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, I
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    D( x)

Proof of Theorem prjmapcp2
Dummy variables  a 
f  y  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prjmapcp 25165 . . 3  |-  ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C  /\  A. x  e.  A  B  e.  D )  ->  ( X_ x  e.  A  B  prj  I ) : X_ x  e.  A  B --> X_ x  e.  I  B )
213adant3r 1179 . 2  |-  ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) )  -> 
( X_ x  e.  A  B  prj  I ) :
X_ x  e.  A  B
--> X_ x  e.  I  B )
3 sseq2 3200 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
I  C_  a  <->  I  C_  A
) )
4 raleq 2736 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( A. x  e.  a  B  e.  D  <->  A. x  e.  A  B  e.  D ) )
5 raleq 2736 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( A. x  e.  a  B  =/=  (/)  <->  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) )
64, 5anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
( A. x  e.  a  B  e.  D  /\  A. x  e.  a  B  =/=  (/) )  <->  ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) ) )
7 ixpeq1 6827 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  X_ x  e.  a  B  =  X_ x  e.  A  B
)
87rexeqdv 2743 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( E. f  e.  X_  x  e.  a  B y  =  ( f  |`  I )  <->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B y  =  ( f  |`  I )
) )
98ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( A. y  e.  X_  x  e.  I  B E. f  e.  X_  x  e.  a  B y  =  ( f  |`  I )  <->  A. y  e.  X_  x  e.  I  B E. f  e.  X_  x  e.  A  B y  =  ( f  |`  I ) ) )
106, 9imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( A. x  e.  a  B  e.  D  /\  A. x  e.  a  B  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I  B E. f  e.  X_  x  e.  a  B y  =  ( f  |`  I ) )  <->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I  B E. f  e.  X_  x  e.  A  B
y  =  ( f  |`  I ) ) ) )
113, 10imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( I  C_  a  ->  ( ( A. x  e.  a  B  e.  D  /\  A. x  e.  a  B  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I  B E. f  e.  X_  x  e.  a  B y  =  ( f  |`  I ) ) )  <->  ( I  C_  A  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I  B E. f  e.  X_  x  e.  A  B
y  =  ( f  |`  I ) ) ) ) )
12 pm3.2 434 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  a  B  =/=  (/)  ->  ( I  C_  a  ->  ( A. x  e.  a  B  =/=  (/)  /\  I  C_  a ) ) )
1312adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  a  B  e.  D  /\  A. x  e.  a  B  =/=  (/) )  ->  (
I  C_  a  ->  ( A. x  e.  a  B  =/=  (/)  /\  I  C_  a ) ) )
14 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
1514prl2 25169 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  a  B  =/=  (/)  /\  I  C_  a )  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I  B E. f  e.  X_  x  e.  a  B
y  =  ( f  |`  I ) )
1613, 15syl6com 31 . . . . . 6  |-  ( I 
C_  a  ->  (
( A. x  e.  a  B  e.  D  /\  A. x  e.  a  B  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I  B E. f  e.  X_  x  e.  a  B y  =  ( f  |`  I ) ) )
1711, 16vtoclg 2843 . . . . 5  |-  ( A  e.  C  ->  (
I  C_  A  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I  B E. f  e.  X_  x  e.  A  B
y  =  ( f  |`  I ) ) ) )
1817com12 27 . . . 4  |-  ( I 
C_  A  ->  ( A  e.  C  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I  B E. f  e.  X_  x  e.  A  B
y  =  ( f  |`  I ) ) ) )
19183imp 1145 . . 3  |-  ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) )  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I  B E. f  e.  X_  x  e.  A  B y  =  ( f  |`  I ) )
20 simpl3l 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  ->  A. x  e.  A  B  e.  D )
21 ixpexg 6840 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  D  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
23 ssexg 4160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C )  ->  I  e.  _V )
24233adant3 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) )  ->  I  e.  _V )
2524adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  ->  I  e.  _V )
26 isprj1 25163 . . . . . . . . 9  |-  ( (
X_ x  e.  A  B  e.  _V  /\  I  e.  _V )  ->  ( X_ x  e.  A  B  prj  I )  =  ( u  e.  X_ x  e.  A  B  |->  ( u  |`  I )
) )
2722, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  -> 
( X_ x  e.  A  B  prj  I )  =  ( u  e.  X_ x  e.  A  B  |->  ( u  |`  I ) ) )
2827fveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  -> 
( ( X_ x  e.  A  B  prj  I ) `  f
)  =  ( ( u  e.  X_ x  e.  A  B  |->  ( u  |`  I )
) `  f )
)
29 reseq1 4949 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  f  ->  (
u  |`  I )  =  ( f  |`  I ) )
30 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  X_ x  e.  A  B  |->  ( u  |`  I ) )  =  ( u  e.  X_ x  e.  A  B  |->  ( u  |`  I ) )
31 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
3231resex 4995 . . . . . . . . 9  |-  ( f  |`  I )  e.  _V
3329, 30, 32fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  ( ( u  e.  X_ x  e.  A  B  |->  ( u  |`  I ) ) `  f )  =  ( f  |`  I )
)
3433adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  -> 
( ( u  e.  X_ x  e.  A  B  |->  ( u  |`  I ) ) `  f )  =  ( f  |`  I )
)
3528, 34eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  -> 
( ( X_ x  e.  A  B  prj  I ) `  f
)  =  ( f  |`  I ) )
3635eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  -> 
( y  =  ( ( X_ x  e.  A  B  prj  I
) `  f )  <->  y  =  ( f  |`  I ) ) )
3736rexbidva 2560 . . . 4  |-  ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) )  -> 
( E. f  e.  X_  x  e.  A  B y  =  ( ( X_ x  e.  A  B  prj  I
) `  f )  <->  E. f  e.  X_  x  e.  A  B y  =  ( f  |`  I ) ) )
3837ralbidv 2563 . . 3  |-  ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) )  -> 
( A. y  e.  X_  x  e.  I  B E. f  e.  X_  x  e.  A  B
y  =  ( (
X_ x  e.  A  B  prj  I ) `  f )  <->  A. y  e.  X_  x  e.  I  B E. f  e.  X_  x  e.  A  B
y  =  ( f  |`  I ) ) )
3919, 38mpbird 223 . 2  |-  ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) )  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I  B E. f  e.  X_  x  e.  A  B y  =  ( ( X_ x  e.  A  B  prj  I ) `  f
) )
40 dffo3 5675 . 2  |-  ( (
X_ x  e.  A  B  prj  I ) :
X_ x  e.  A  B -onto-> X_ x  e.  I  B 
<->  ( ( X_ x  e.  A  B  prj  I ) : X_ x  e.  A  B --> X_ x  e.  I  B  /\  A. y  e.  X_  x  e.  I  B E. f  e.  X_  x  e.  A  B
y  =  ( (
X_ x  e.  A  B  prj  I ) `  f ) ) )
412, 39, 40sylanbrc 645 1  |-  ( ( I  C_  A  /\  A  e.  C  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  D  /\  A. x  e.  A  B  =/=  (/) ) )  -> 
( X_ x  e.  A  B  prj  I ) :
X_ x  e.  A  B -onto-> X_ x  e.  I  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455    e. cmpt 4077    |` cres 4691   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   X_cixp 6817    prj cproj 25151
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-ixp 6818  df-en 6864  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572  df-ac 7743  df-prj 25153
  Copyright terms: Public domain W3C validator