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Theorem prl 25167
Description: Existence of a "prolongement" of a cartesian product. Bourbaki E.II.34 prop. 6. (Contributed by FL, 7-Nov-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
prl.1  |-  A  e.  D
Assertion
Ref Expression
prl  |-  ( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  /\  B  C_  A  /\  G  e.  X_ x  e.  B  C
)  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  C G  C_  f )
Distinct variable groups:    A, f, x    B, f, x    C, f    f, G, x
Allowed substitution hints:    C( x)    D( x, f)

Proof of Theorem prl
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prl.1 . . . . . . 7  |-  A  e.  D
21elexi 2797 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
32ac9s 8120 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  <->  X_ x  e.  A  C  =/=  (/) )
4 n0 3464 . . . . . 6  |-  ( X_ x  e.  A  C  =/=  (/)  <->  E. f  f  e.  X_ x  e.  A  C )
5 difss 3303 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  B )  C_  A
6 resixp 6851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  B
)  C_  A  /\  f  e.  X_ x  e.  A  C )  -> 
( f  |`  ( A  \  B ) )  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C )
7 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  ( f  |`  ( A  \  B ) )  ->  ( h  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  <->  ( f  |`  ( A  \  B ) )  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C ) )
87spcegv 2869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  |`  ( A  \  B ) )  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( ( f  |`  ( A  \  B
) )  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  E. h  h  e.  X_ x  e.  ( A 
\  B ) C ) )
96, 6, 8sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  B
)  C_  A  /\  f  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  E. h  h  e.  X_ x  e.  ( A 
\  B ) C )
105, 9mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  C  ->  E. h  h  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C )
1110a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  C  ->  ( B  C_  A  ->  E. h  h  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C ) )
1211exlimiv 1666 . . . . . 6  |-  ( E. f  f  e.  X_ x  e.  A  C  ->  ( B  C_  A  ->  E. h  h  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C ) )
134, 12sylbi 187 . . . . 5  |-  ( X_ x  e.  A  C  =/=  (/)  ->  ( B  C_  A  ->  E. h  h  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C ) )
143, 13sylbi 187 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  ->  ( B  C_  A  ->  E. h  h  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C ) )
1514imp 418 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  /\  B  C_  A )  ->  E. h  h  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )
16153adant3 975 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  /\  B  C_  A  /\  G  e.  X_ x  e.  B  C
)  ->  E. h  h  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )
17 undifixp 6852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  X_ x  e.  B  C  /\  h  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( G  u.  h )  e.  X_ x  e.  A  C )
18 ssun1 3338 . . . . . . . . . . 11  |-  G  C_  ( G  u.  h
)
19 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( G  u.  h )  ->  ( G  C_  f  <->  G  C_  ( G  u.  h )
) )
2019rspcev 2884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  u.  h
)  e.  X_ x  e.  A  C  /\  G  C_  ( G  u.  h ) )  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  C G  C_  f )
2118, 20mpan2 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  u.  h )  e.  X_ x  e.  A  C  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  C G  C_  f )
2221a1d 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  u.  h )  e.  X_ x  e.  A  C  ->  ( A. x  e.  A  C  =/=  (/) 
->  E. f  e.  X_  x  e.  A  C G  C_  f ) )
2317, 22syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  X_ x  e.  B  C  /\  h  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  C G  C_  f ) )
24233exp 1150 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( h  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  C  =/=  (/) 
->  E. f  e.  X_  x  e.  A  C G  C_  f ) ) ) )
2524com34 77 . . . . . 6  |-  ( G  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( h  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( A. x  e.  A  C  =/=  (/) 
->  ( B  C_  A  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  C G  C_  f ) ) ) )
2625com4t 79 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  ->  ( B  C_  A  ->  ( G  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( h  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  C G  C_  f ) ) ) )
27263imp 1145 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  /\  B  C_  A  /\  G  e.  X_ x  e.  B  C
)  ->  ( h  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  C G  C_  f ) )
2827com12 27 . . 3  |-  ( h  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  /\  B  C_  A  /\  G  e.  X_ x  e.  B  C
)  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  C G  C_  f ) )
2928exlimiv 1666 . 2  |-  ( E. h  h  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  -> 
( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/) 
/\  B  C_  A  /\  G  e.  X_ x  e.  B  C )  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  C G  C_  f ) )
3016, 29mpcom 32 1  |-  ( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  /\  B  C_  A  /\  G  e.  X_ x  e.  B  C
)  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  C G  C_  f )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455    |` cres 4691   X_cixp 6817
This theorem is referenced by:  prl1  25168
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-ixp 6818  df-en 6864  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572  df-ac 7743
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