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Theorem prl2 25169
Description: Existence of a "prolongement" of a cartesian product. Bourbaki E.II.34 prop. 6. (Contributed by FL, 20-Nov-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
prl2.1  |-  A  e.  D
Assertion
Ref Expression
prl2  |-  ( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  /\  B  C_  A )  ->  A. g  e.  X_  x  e.  B  C E. f  e.  X_  x  e.  A  C
g  =  ( f  |`  B ) )
Distinct variable groups:    A, f,
g    B, f, g    C, f, g    x, f, g, A    x, B
Allowed substitution hints:    C( x)    D( x, f, g)

Proof of Theorem prl2
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prl2.1 . . . 4  |-  A  e.  D
21prl1 25168 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  /\  B  C_  A )  ->  A. g  e.  X_  x  e.  B  C E. f  e.  X_  x  e.  A  C
g  C_  f )
3 ixpfn 6822 . . . . 5  |-  ( g  e.  X_ x  e.  B  C  ->  g  Fn  B
)
4 fndm 5343 . . . . 5  |-  ( g  Fn  B  ->  dom  g  =  B )
5 ixpfn 6822 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  C  ->  f  Fn  A
)
6 fnfun 5341 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  A  ->  Fun  f )
7 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  B  ->  (
( f  |`  B ) `
 u )  =  ( f `  u
) )
8 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  =  dom  g  -> 
( u  e.  B  <->  u  e.  dom  g ) )
9 funssfv 5543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Fun  f  /\  g  C_  f  /\  u  e. 
dom  g )  -> 
( f `  u
)  =  ( g `
 u ) )
109eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Fun  f  /\  g  C_  f  /\  u  e. 
dom  g )  -> 
( g `  u
)  =  ( f `
 u ) )
11103exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Fun  f  ->  ( g  C_  f  ->  ( u  e.  dom  g  ->  (
g `  u )  =  ( f `  u ) ) ) )
1211com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  dom  g  -> 
( g  C_  f  ->  ( Fun  f  -> 
( g `  u
)  =  ( f `
 u ) ) ) )
138, 12syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  =  dom  g  -> 
( u  e.  B  ->  ( g  C_  f  ->  ( Fun  f  -> 
( g `  u
)  =  ( f `
 u ) ) ) ) )
1413eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( dom  g  =  B  -> 
( u  e.  B  ->  ( g  C_  f  ->  ( Fun  f  -> 
( g `  u
)  =  ( f `
 u ) ) ) ) )
1514com24 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom  g  =  B  -> 
( Fun  f  ->  ( g  C_  f  ->  ( u  e.  B  -> 
( g `  u
)  =  ( f `
 u ) ) ) ) )
1615com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  f  ->  ( dom  g  =  B  ->  ( g  C_  f  ->  ( u  e.  B  -> 
( g `  u
)  =  ( f `
 u ) ) ) ) )
17163imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  g  =  B  /\  g  C_  f )  -> 
( u  e.  B  ->  ( g `  u
)  =  ( f `
 u ) ) )
1817com12 27 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  B  ->  (
( Fun  f  /\  dom  g  =  B  /\  g  C_  f )  ->  ( g `  u )  =  ( f `  u ) ) )
19 eqeq2 2292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  |`  B ) `
 u )  =  ( f `  u
)  ->  ( (
g `  u )  =  ( ( f  |`  B ) `  u
)  <->  ( g `  u )  =  ( f `  u ) ) )
2019imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  |`  B ) `
 u )  =  ( f `  u
)  ->  ( (
( Fun  f  /\  dom  g  =  B  /\  g  C_  f )  ->  ( g `  u )  =  ( ( f  |`  B ) `
 u ) )  <-> 
( ( Fun  f  /\  dom  g  =  B  /\  g  C_  f
)  ->  ( g `  u )  =  ( f `  u ) ) ) )
2118, 20syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  |`  B ) `
 u )  =  ( f `  u
)  ->  ( u  e.  B  ->  ( ( Fun  f  /\  dom  g  =  B  /\  g  C_  f )  -> 
( g `  u
)  =  ( ( f  |`  B ) `  u ) ) ) )
227, 21mpcom 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  B  ->  (
( Fun  f  /\  dom  g  =  B  /\  g  C_  f )  ->  ( g `  u )  =  ( ( f  |`  B ) `
 u ) ) )
2322com12 27 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  g  =  B  /\  g  C_  f )  -> 
( u  e.  B  ->  ( g `  u
)  =  ( ( f  |`  B ) `  u ) ) )
2423ancld 536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  g  =  B  /\  g  C_  f )  -> 
( u  e.  B  ->  ( u  e.  B  /\  ( g `  u
)  =  ( ( f  |`  B ) `  u ) ) ) )
2524ralrimiv 2625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  g  =  B  /\  g  C_  f )  ->  A. u  e.  B  ( u  e.  B  /\  ( g `  u
)  =  ( ( f  |`  B ) `  u ) ) )
26 ssid 3197 . . . . . . . . . 10  |-  B  C_  B
2725, 26jctil 523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  g  =  B  /\  g  C_  f )  -> 
( B  C_  B  /\  A. u  e.  B  ( u  e.  B  /\  ( g `  u
)  =  ( ( f  |`  B ) `  u ) ) ) )
28273exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  f  ->  ( dom  g  =  B  ->  ( g  C_  f  ->  ( B  C_  B  /\  A. u  e.  B  ( u  e.  B  /\  ( g `  u
)  =  ( ( f  |`  B ) `  u ) ) ) ) ) )
295, 6, 283syl 18 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  C  ->  ( dom  g  =  B  ->  ( g 
C_  f  ->  ( B  C_  B  /\  A. u  e.  B  (
u  e.  B  /\  ( g `  u
)  =  ( ( f  |`  B ) `  u ) ) ) ) ) )
3029com12 27 . . . . . 6  |-  ( dom  g  =  B  -> 
( f  e.  X_ x  e.  A  C  ->  ( g  C_  f  ->  ( B  C_  B  /\  A. u  e.  B  ( u  e.  B  /\  ( g `  u
)  =  ( ( f  |`  B ) `  u ) ) ) ) ) )
3130reximdvai 2653 . . . . 5  |-  ( dom  g  =  B  -> 
( E. f  e.  X_  x  e.  A  C g  C_  f  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  C
( B  C_  B  /\  A. u  e.  B  ( u  e.  B  /\  ( g `  u
)  =  ( ( f  |`  B ) `  u ) ) ) ) )
323, 4, 313syl 18 . . . 4  |-  ( g  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( E. f  e.  X_  x  e.  A  C g  C_  f  ->  E. f  e.  X_  x  e.  A  C
( B  C_  B  /\  A. u  e.  B  ( u  e.  B  /\  ( g `  u
)  =  ( ( f  |`  B ) `  u ) ) ) ) )
3332ralimia 2616 . . 3  |-  ( A. g  e.  X_  x  e.  B  C E. f  e.  X_  x  e.  A  C g  C_  f  ->  A. g  e.  X_  x  e.  B  C E. f  e.  X_  x  e.  A  C ( B  C_  B  /\  A. u  e.  B  (
u  e.  B  /\  ( g `  u
)  =  ( ( f  |`  B ) `  u ) ) ) )
342, 33syl 15 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  /\  B  C_  A )  ->  A. g  e.  X_  x  e.  B  C E. f  e.  X_  x  e.  A  C
( B  C_  B  /\  A. u  e.  B  ( u  e.  B  /\  ( g `  u
)  =  ( ( f  |`  B ) `  u ) ) ) )
353ad2antlr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/) 
/\  B  C_  A
)  /\  g  e.  X_ x  e.  B  C
)  /\  f  e.  X_ x  e.  A  C
)  ->  g  Fn  B )
36 fnssresb 5356 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  A  ->  (
( f  |`  B )  Fn  B  <->  B  C_  A
) )
3736biimprcd 216 . . . . . . . 8  |-  ( B 
C_  A  ->  (
f  Fn  A  -> 
( f  |`  B )  Fn  B ) )
3837ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  /\  B  C_  A )  /\  g  e.  X_ x  e.  B  C )  ->  (
f  Fn  A  -> 
( f  |`  B )  Fn  B ) )
395, 38syl5 28 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  /\  B  C_  A )  /\  g  e.  X_ x  e.  B  C )  ->  (
f  e.  X_ x  e.  A  C  ->  ( f  |`  B )  Fn  B ) )
4039imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/) 
/\  B  C_  A
)  /\  g  e.  X_ x  e.  B  C
)  /\  f  e.  X_ x  e.  A  C
)  ->  ( f  |`  B )  Fn  B
)
41 eqfnfv3 5624 . . . . 5  |-  ( ( g  Fn  B  /\  ( f  |`  B )  Fn  B )  -> 
( g  =  ( f  |`  B )  <->  ( B  C_  B  /\  A. u  e.  B  ( u  e.  B  /\  ( g `  u
)  =  ( ( f  |`  B ) `  u ) ) ) ) )
4235, 40, 41syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/) 
/\  B  C_  A
)  /\  g  e.  X_ x  e.  B  C
)  /\  f  e.  X_ x  e.  A  C
)  ->  ( g  =  ( f  |`  B )  <->  ( B  C_  B  /\  A. u  e.  B  ( u  e.  B  /\  (
g `  u )  =  ( ( f  |`  B ) `  u
) ) ) ) )
4342rexbidva 2560 . . 3  |-  ( ( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  /\  B  C_  A )  /\  g  e.  X_ x  e.  B  C )  ->  ( E. f  e.  X_  x  e.  A  C g  =  ( f  |`  B )  <->  E. f  e.  X_  x  e.  A  C ( B  C_  B  /\  A. u  e.  B  ( u  e.  B  /\  ( g `
 u )  =  ( ( f  |`  B ) `  u
) ) ) ) )
4443ralbidva 2559 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  /\  B  C_  A )  ->  ( A. g  e.  X_  x  e.  B  C E. f  e.  X_  x  e.  A  C g  =  ( f  |`  B )  <->  A. g  e.  X_  x  e.  B  C E. f  e.  X_  x  e.  A  C ( B 
C_  B  /\  A. u  e.  B  (
u  e.  B  /\  ( g `  u
)  =  ( ( f  |`  B ) `  u ) ) ) ) )
4534, 44mpbird 223 1  |-  ( ( A. x  e.  A  C  =/=  (/)  /\  B  C_  A )  ->  A. g  e.  X_  x  e.  B  C E. f  e.  X_  x  e.  A  C
g  =  ( f  |`  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   dom cdm 4689    |` cres 4691   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   X_cixp 6817
This theorem is referenced by:  prjmapcp2  25170
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-ixp 6818  df-en 6864  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572  df-ac 7743
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