Theorem prlem936a 5153

Description: Sublemma for Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124. This is a property of positive fractions.

Assertion

Ref	Expression
prlem936a	|- ((x e. Q. /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) -> ((y +Q z) <Q (x +Q z) <-> (x +Q z) <Q ((x .Q (*Q` y)) .Q (y +Q z))))

Proof of Theorem prlem936a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclpq 5072	. . . . . 6 |- (y e. Q. -> (*Q` y) e. Q.)
2	1	anim2i 335	. . . . 5 |- ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> (z e. Q. /\ (*Q` y) e. Q.))
3		mulclpq 5060	. . . . 5 |- ((z e. Q. /\ (*Q` y) e. Q.) -> (z .Q (*Q` y)) e. Q.)
4		visset 1813	. . . . . 6 |- y e. V
5		visset 1813	. . . . . 6 |- x e. V
6	4, 5	ltmpq 5077	. . . . 5 |- ((z .Q (*Q` y)) e. Q. -> (y <Q x <-> ((z .Q (*Q` y)) .Q y) <Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x)))
7	2, 3, 6	3syl 20	. . . 4 |- ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> (y <Q x <-> ((z .Q (*Q` y)) .Q y) <Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x)))
8	4, 5	ltapq 5076	. . . . . 6 |- (z e. Q. -> (y <Q x <-> (z +Q y) <Q (z +Q x)))
9		visset 1813	. . . . . . . 8 |- z e. V
10	9, 4	addcompq 5062	. . . . . . 7 |- (z +Q y) = (y +Q z)
11	9, 5	addcompq 5062	. . . . . . 7 |- (z +Q x) = (x +Q z)
12	10, 11	breq12i 2628	. . . . . 6 |- ((z +Q y) <Q (z +Q x) <-> (y +Q z) <Q (x +Q z))
13	8, 12	syl6bb 536	. . . . 5 |- (z e. Q. -> (y <Q x <-> (y +Q z) <Q (x +Q z)))
14	13	adantr 389	. . . 4 |- ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> (y <Q x <-> (y +Q z) <Q (x +Q z)))
15		recidpq 5071	. . . . . . . 8 |- (y e. Q. -> (y .Q (*Q` y)) = 1Q)
16	15	opreq2d 3976	. . . . . . 7 |- (y e. Q. -> (z .Q (y .Q (*Q` y))) = (z .Q 1Q))
17		mulidpq 5069	. . . . . . 7 |- (z e. Q. -> (z .Q 1Q) = z)
18	16, 17	sylan9eqr 1529	. . . . . 6 |- ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> (z .Q (y .Q (*Q` y))) = z)
19		fvex 3732	. . . . . . . 8 |- (*Q` y) e. V
20	19, 4	mulasspq 5065	. . . . . . 7 |- ((z .Q (*Q` y)) .Q y) = (z .Q ((*Q` y) .Q y))
21	4, 19	mulcompq 5064	. . . . . . . 8 |- (y .Q (*Q` y)) = ((*Q` y) .Q y)
22	21	opreq2i 3972	. . . . . . 7 |- (z .Q (y .Q (*Q` y))) = (z .Q ((*Q` y) .Q y))
23	20, 22	eqtr4 1498	. . . . . 6 |- ((z .Q (*Q` y)) .Q y) = (z .Q (y .Q (*Q` y)))
24	18, 23	syl5eq 1519	. . . . 5 |- ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> ((z .Q (*Q` y)) .Q y) = z)
25	24	breq1d 2629	. . . 4 |- ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> (((z .Q (*Q` y)) .Q y) <Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x) <-> z <Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x)))
26	7, 14, 25	3bitr3d 548	. . 3 |- ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> ((y +Q z) <Q (x +Q z) <-> z <Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x)))
27		oprex 3983	. . . 4 |- ((z .Q (*Q` y)) .Q x) e. V
28	9, 27	ltapq 5076	. . 3 |- (x e. Q. -> (z <Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x) <-> (x +Q z) <Q (x +Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x))))
29	26, 28	sylan9bbr 541	. 2 |- ((x e. Q. /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) -> ((y +Q z) <Q (x +Q z) <-> (x +Q z) <Q (x +Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x))))
30	19, 4	mulcompq 5064	. . . . . . . . . 10 |- ((*Q` y) .Q y) = (y .Q (*Q` y))
31	15, 30	syl5eq 1519	. . . . . . . . 9 |- (y e. Q. -> ((*Q` y) .Q y) = 1Q)
32	31	opreq2d 3976	. . . . . . . 8 |- (y e. Q. -> (x .Q ((*Q` y) .Q y)) = (x .Q 1Q))
33	19, 4	mulasspq 5065	. . . . . . . 8 |- ((x .Q (*Q` y)) .Q y) = (x .Q ((*Q` y) .Q y))
34	32, 33	syl5eq 1519	. . . . . . 7 |- (y e. Q. -> ((x .Q (*Q` y)) .Q y) = (x .Q 1Q))
35		mulidpq 5069	. . . . . . 7 |- (x e. Q. -> (x .Q 1Q) = x)
36	34, 35	sylan9eqr 1529	. . . . . 6 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> ((x .Q (*Q` y)) .Q y) = x)
37		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- w e. V
38		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- v e. V
39	37, 38	mulcompq 5064	. . . . . . . 8 |- (w .Q v) = (v .Q w)
40		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- u e. V
41	38, 40	mulasspq 5065	. . . . . . . 8 |- ((w .Q v) .Q u) = (w .Q (v .Q u))
42	5, 19, 9, 39, 41	caopr31 4062	. . . . . . 7 |- ((x .Q (*Q` y)) .Q z) = ((z .Q (*Q` y)) .Q x)
43	42	a1i 8	. . . . . 6 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> ((x .Q (*Q` y)) .Q z) = ((z .Q (*Q` y)) .Q x))
44	36, 43	opreq12d 3978	. . . . 5 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> (((x .Q (*Q` y)) .Q y) +Q ((x .Q (*Q` y)) .Q z)) = (x +Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x)))
45	4, 9	distrpq 5067	. . . . 5 |- ((x .Q (*Q` y)) .Q (y +Q z)) = (((x .Q (*Q` y)) .Q y) +Q ((x .Q (*Q` y)) .Q z))
46	44, 45	syl5eq 1519	. . . 4 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> ((x .Q (*Q` y)) .Q (y +Q z)) = (x +Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x)))
47	46	adantrl 394	. . 3 |- ((x e. Q. /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) -> ((x .Q (*Q` y)) .Q (y +Q z)) = (x +Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x)))
48	47	breq2d 2630	. 2 |- ((x e. Q. /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) -> ((x +Q z) <Q ((x .Q (*Q` y)) .Q (y +Q z)) <-> (x +Q z) <Q (x +Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x))))
49	29, 48	bitr4d 531	1 |- ((x e. Q. /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) -> ((y +Q z) <Q (x +Q z) <-> (x +Q z) <Q ((x .Q (*Q` y)) .Q (y +Q z))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  Q.cnq 4979  1Qc1q 4980   +Q cplq 4981   .Q cmq 4982  *Qcrq 4983   <Q cltq 4984

This theorem is referenced by:  prlem936 5155

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043

Copyright terms: Public domain