MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsexpr Unicode version

Theorem prmdvdsexpr 12795
Description: If a prime divides a nonnegative power of another then they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsexpr  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  ( Q ^ N
)  ->  P  =  Q ) )

Proof of Theorem prmdvdsexpr
StepHypRef Expression
1 elnn0 9967 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 prmdvdsexpb 12794 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  ( P 
||  ( Q ^ N )  <->  P  =  Q ) )
32biimpd 198 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  ( P 
||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q ) )
433expia 1153 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q )
) )
5 prmnn 12761 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  NN )
65adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  Q  e.  NN )
76nncnd 9762 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  Q  e.  CC )
87exp0d 11239 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( Q ^ 0 )  =  1 )
98breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( P  ||  ( Q ^
0 )  <->  P  ||  1
) )
10 nprmdvds1 12790 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
1110pm2.21d 98 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
||  1  ->  P  =  Q ) )
1211adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( P  ||  1  ->  P  =  Q ) )
139, 12sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( P  ||  ( Q ^
0 )  ->  P  =  Q ) )
14 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( Q ^ N )  =  ( Q ^ 0 ) )
1514breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  <->  P  ||  ( Q ^ 0 ) ) )
1615imbi1d 308 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q )  <->  ( P  ||  ( Q ^ 0 )  ->  P  =  Q )
) )
1713, 16syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( N  =  0  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q )
) )
184, 17jaod 369 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  (
( N  e.  NN  \/  N  =  0
)  ->  ( P  ||  ( Q ^ N
)  ->  P  =  Q ) ) )
191, 18syl5bi 208 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q ) ) )
20193impia 1148 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  ( Q ^ N
)  ->  P  =  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ^cexp 11104    || cdivides 12531   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  pcprmpw2  12934  pcmpt  12940  pgpfi  14916  ablfac1eulem  15307  isppw2  20353
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator