MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsexpr Unicode version

Theorem prmdvdsexpr 13079
Description: If a prime divides a nonnegative power of another, then they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsexpr  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  ( Q ^ N
)  ->  P  =  Q ) )

Proof of Theorem prmdvdsexpr
StepHypRef Expression
1 elnn0 10187 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 prmdvdsexpb 13078 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  ( P 
||  ( Q ^ N )  <->  P  =  Q ) )
32biimpd 199 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  ( P 
||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q ) )
433expia 1155 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q )
) )
5 prmnn 13045 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  NN )
65adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  Q  e.  NN )
76nncnd 9980 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  Q  e.  CC )
87exp0d 11480 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( Q ^ 0 )  =  1 )
98breq2d 4192 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( P  ||  ( Q ^
0 )  <->  P  ||  1
) )
10 nprmdvds1 13074 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
1110pm2.21d 100 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
||  1  ->  P  =  Q ) )
1211adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( P  ||  1  ->  P  =  Q ) )
139, 12sylbid 207 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( P  ||  ( Q ^
0 )  ->  P  =  Q ) )
14 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( Q ^ N )  =  ( Q ^ 0 ) )
1514breq2d 4192 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  <->  P  ||  ( Q ^ 0 ) ) )
1615imbi1d 309 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q )  <->  ( P  ||  ( Q ^ 0 )  ->  P  =  Q )
) )
1713, 16syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( N  =  0  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q )
) )
184, 17jaod 370 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  (
( N  e.  NN  \/  N  =  0
)  ->  ( P  ||  ( Q ^ N
)  ->  P  =  Q ) ) )
191, 18syl5bi 209 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q ) ) )
20193impia 1150 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  ( Q ^ N
)  ->  P  =  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4180  (class class class)co 6048   0cc0 8954   1c1 8955   NNcn 9964   NN0cn0 10185   ^cexp 11345    || cdivides 12815   Primecprime 13042
This theorem is referenced by:  pcprmpw2  13218  pcmpt  13224  pgpfi  15202  ablfac1eulem  15593  isppw2  20859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-dvds 12816  df-gcd 12970  df-prm 13043
  Copyright terms: Public domain W3C validator