MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmind Structured version   Unicode version

Theorem prmind 13091
Description: Perform induction over the multiplicative structure of  NN. If a property  ph ( x ) holds for the primes and  1 and is preserved under multiplication, then it holds for every natural number. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prmind.1  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
prmind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
prmind.3  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  th ) )
prmind.4  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( ph 
<->  ta ) )
prmind.5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  et ) )
prmind.6  |-  ps
prmind.7  |-  ( x  e.  Prime  ->  ph )
prmind.8  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta ) )
Assertion
Ref Expression
prmind  |-  ( A  e.  NN  ->  et )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    x, z, ch    et, x    ta, x    th, x    y, z, ph
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x, y, z)    ch( y)    th( y, z)    ta( y,
z)    et( y, z)    A( y, z)

Proof of Theorem prmind
StepHypRef Expression
1 prmind.1 . 2  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2 prmind.2 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3 prmind.3 . 2  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  th ) )
4 prmind.4 . 2  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( ph 
<->  ta ) )
5 prmind.5 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  et ) )
6 prmind.6 . 2  |-  ps
7 prmind.7 . . 3  |-  ( x  e.  Prime  ->  ph )
87adantr 452 . 2  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ch )  ->  ph )
9 prmind.8 . 2  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9prmind2 13090 1  |-  ( A  e.  NN  ->  et )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1c1 8991    x. cmul 8995    - cmin 9291   NNcn 10000   2c2 10049   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043   Primecprime 13079
This theorem is referenced by:  exprmfct  13110  lgsquad2lem2  21143  2sqlem6  21153  ostthlem2  21322
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-dvds 12853  df-prm 13080
  Copyright terms: Public domain W3C validator