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Theorem prmind2 12816
Description: A variation on prmind 12817 assuming complete induction for primes. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prmind.1  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
prmind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
prmind.3  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  th ) )
prmind.4  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( ph 
<->  ta ) )
prmind.5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  et ) )
prmind.6  |-  ps
prmind2.7  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ch )  ->  ph )
prmind2.8  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta ) )
Assertion
Ref Expression
prmind2  |-  ( A  e.  NN  ->  et )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    x, z, ch    et, x    ta, x    th, x    y, z, ph
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x, y, z)    ch( y)    th( y, z)    ta( y,
z)    et( y, z)    A( y, z)

Proof of Theorem prmind2
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1end 10867 . . 3  |-  ( A  e.  NN  <->  A  e.  ( 1 ... A
) )
21biimpi 186 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ( 1 ... A
) )
3 oveq2 5908 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 1
) )
43raleqdv 2776 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... 1 ) ph ) )
5 oveq2 5908 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... k
) )
65raleqdv 2776 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph ) )
7 oveq2 5908 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )
87raleqdv 2776 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ph ) )
9 oveq2 5908 . . . 4  |-  ( n  =  A  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... A
) )
109raleqdv 2776 . . 3  |-  ( n  =  A  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... A ) ph ) )
11 prmind.6 . . . . 5  |-  ps
12 elfz1eq 10854 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 ... 1 )  ->  x  =  1 )
13 prmind.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1412, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1511, 14mpbiri 224 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ph )
1615rgen 2642 . . 3  |-  A. x  e.  ( 1 ... 1
) ph
17 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  ||  (
k  +  1 ) )
18 elfzuz 10841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
1918ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
20 eluz2b2 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( y  e.  NN  /\  1  < 
y ) )
2120simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  y  e.  NN )
2219, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  NN )
2322nnzd 10163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
2422nnne0d 9835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  =/=  0
)
25 peano2nn 9803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
2625ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
2726nnzd 10163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
28 dvdsval2 12581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  y  =/=  0  /\  (
k  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( y  ||  (
k  +  1 )  <-> 
( ( k  +  1 )  /  y
)  e.  ZZ ) )
2923, 24, 27, 28syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  ||  ( k  +  1 )  <->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  ZZ ) )
3017, 29mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  ZZ )
3122nncnd 9807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  CC )
3231mulid2d 8898 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( 1  x.  y )  =  y )
33 elfzle2 10847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  ->  y  <_  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )
3433ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  <_  (
( k  +  1 )  -  1 ) )
35 nncn 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
3635ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
37 ax-1cn 8840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
38 pncan 9102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
3936, 37, 38sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  - 
1 )  =  k )
4034, 39breqtrd 4084 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  <_  k
)
41 nnz 10092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
4241ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
43 zleltp1 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  k  <->  y  <  ( k  +  1 ) ) )
4423, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  <_ 
k  <->  y  <  (
k  +  1 ) ) )
4540, 44mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  <  (
k  +  1 ) )
4632, 45eqbrtrd 4080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( 1  x.  y )  <  (
k  +  1 ) )
47 1re 8882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
4847a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
4926nnred 9806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
5022nnred 9806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  RR )
5122nngt0d 9834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  y
)
52 ltmuldiv 9671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR  /\  ( y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  ( (
1  x.  y )  <  ( k  +  1 )  <->  1  <  ( ( k  +  1 )  /  y ) ) )
5348, 49, 50, 51, 52syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( 1  x.  y )  < 
( k  +  1 )  <->  1  <  (
( k  +  1 )  /  y ) ) )
5446, 53mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  1  <  (
( k  +  1 )  /  y ) )
55 eluz2b1 10336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ZZ  /\  1  < 
( ( k  +  1 )  /  y
) ) )
5630, 54, 55sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
57 fznn 10899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ( 1 ... k )  <->  ( y  e.  NN  /\  y  <_ 
k ) ) )
5842, 57syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... k
)  <->  ( y  e.  NN  /\  y  <_ 
k ) ) )
5922, 40, 58mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  ( 1 ... k ) )
60 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )
61 prmind.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
6261rspcv 2914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 1 ... k )  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  ch ) )
6359, 60, 62sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ch )
6426nnrpd 10436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR+ )
6522nnrpd 10436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  RR+ )
6664, 65rpdivcld 10454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  RR+ )
6766rpgt0d 10440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  (
( k  +  1 )  /  y ) )
68 elnnz 10081 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  NN  <->  ( (
( k  +  1 )  /  y )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( k  +  1 )  /  y
) ) )
6930, 67, 68sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  NN )
7026nncnd 9807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
7126nnne0d 9835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  =/=  0
)
7270, 71dividd 9579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  1 ) )  =  1 )
7320simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  y )
7419, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  1  <  y
)
7572, 74eqbrtrd 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  1 ) )  <  y
)
7626nngt0d 9834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  (
k  +  1 ) )
77 ltdiv23 9692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( k  +  1 ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y ) )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  1 ) )  <  y  <->  ( ( k  +  1 )  /  y )  <  ( k  +  1 ) ) )
7849, 49, 76, 50, 51, 77syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  1 ) )  < 
y  <->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <  (
k  +  1 ) ) )
7975, 78mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <  (
k  +  1 ) )
80 zleltp1 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  /  y
)  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( k  +  1 )  / 
y )  <_  k  <->  ( ( k  +  1 )  /  y )  <  ( k  +  1 ) ) )
8130, 42, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  <_ 
k  <->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <  (
k  +  1 ) ) )
8279, 81mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <_  k
)
83 fznn 10899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( k  +  1 )  /  y
)  e.  ( 1 ... k )  <->  ( (
( k  +  1 )  /  y )  e.  NN  /\  (
( k  +  1 )  /  y )  <_  k ) ) )
8442, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( 1 ... k
)  <->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  NN  /\  ( ( k  +  1 )  /  y )  <_ 
k ) ) )
8569, 82, 84mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  ( 1 ... k ) )
86 prmind.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  th ) )
8786cbvralv 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... k ) ph  <->  A. z  e.  ( 1 ... k ) th )
8860, 87sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  A. z  e.  ( 1 ... k ) th )
89 vex 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
_V
9089, 86sbcie 3059 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. z  /  x ]. ph  <->  th )
91 dfsbcq 3027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( [. z  /  x ]. ph  <->  [. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph ) )
9290, 91syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( th 
<-> 
[. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph ) )
9392rspcv 2914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( 1 ... k )  ->  ( A. z  e.  (
1 ... k ) th 
->  [. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph ) )
9485, 88, 93sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  [. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph )
9563, 94jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ch  /\  [. ( ( k  +  1 )  /  y
)  /  x ]. ph ) )
9692anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
( ch  /\  th ) 
<->  ( ch  /\  [. (
( k  +  1 )  /  y )  /  x ]. ph )
) )
97 ovex 5925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  x.  z )  e. 
_V
98 prmind.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( ph 
<->  ta ) )
9997, 98sbcie 3059 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. ( y  x.  z
)  /  x ]. ph  <->  ta )
100 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
y  x.  z )  =  ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) ) )
101 dfsbcq 3027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  x.  z )  =  ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  ->  ( [. ( y  x.  z
)  /  x ]. ph  <->  [. ( y  x.  (
( k  +  1 )  /  y ) )  /  x ]. ph ) )
102100, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( [. ( y  x.  z
)  /  x ]. ph  <->  [. ( y  x.  (
( k  +  1 )  /  y ) )  /  x ]. ph ) )
10399, 102syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( ta 
<-> 
[. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  /  x ]. ph ) )
10496, 103imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
( ( ch  /\  th )  ->  ta )  <->  ( ( ch  /\  [. (
( k  +  1 )  /  y )  /  x ]. ph )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  /  x ]. ph ) ) )
105104imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ch  /\  th )  ->  ta )
)  <->  ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ch  /\  [. ( ( k  +  1 )  /  y
)  /  x ]. ph )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  / 
y ) )  /  x ]. ph ) ) ) )
106 prmind2.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta ) )
107106expcom 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta )
) )
108105, 107vtoclga 2883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ch  /\  [. ( ( k  +  1 )  /  y
)  /  x ]. ph )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  / 
y ) )  /  x ]. ph ) ) )
10956, 19, 95, 108syl3c 57 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  /  x ]. ph )
11070, 31, 24divcan2d 9583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  =  ( k  +  1 ) )
111 dfsbcq 3027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y ) )  =  ( k  +  1 )  ->  ( [. ( y  x.  (
( k  +  1 )  /  y ) )  /  x ]. ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
112110, 111syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( [. (
y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y ) )  /  x ]. ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
113109, 112mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph )
114113expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) )  ->  (
y  ||  ( k  +  1 )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
115114rexlimdva 2701 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
116 ralnex 2587 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  <->  -.  E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 ) )
117 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  k  e.  NN )
118 elnnuz 10311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
119117, 118sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
120 eluzp1p1 10300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
121119, 120syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( k  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
122 df-2 9849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =  ( 1  +  1 )
123122fveq2i 5566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
124121, 123syl6eleqr 2407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( k  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
125 isprm3 12814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  <->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  -.  y  ||  (
k  +  1 ) ) )
126125baibr 872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  <->  ( k  +  1 )  e. 
Prime ) )
127124, 126syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  <->  ( k  +  1 )  e.  Prime ) )
128 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )
12961cbvralv 2798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... k ) ph  <->  A. y  e.  ( 1 ... k ) ch )
130128, 129sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  A. y  e.  ( 1 ... k ) ch )
131117nncnd 9807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  k  e.  CC )
132131, 37, 38sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( ( k  +  1 )  - 
1 )  =  k )
133132oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... k ) )
134133raleqdv 2776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ch  <->  A. y  e.  ( 1 ... k
) ch ) )
135130, 134mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ch )
136 nfcv 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( k  +  1 )
137 nfv 1610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x A. y  e.  (
1 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ch
138 nfsbc1v 3044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph
139137, 138nfim 1792 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( A. y  e.  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ch  ->  [. (
k  +  1 )  /  x ]. ph )
140 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
141140oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... ( x  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) )
142141raleqdv 2776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. y  e.  (
1 ... ( x  - 
1 ) ) ch  <->  A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ch ) )
143 sbceq1a 3035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
144142, 143imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A. y  e.  ( 1 ... (
x  -  1 ) ) ch  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ch  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
145 prmind2.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ch )  ->  ph )
146145ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ch 
->  ph ) )
147136, 139, 144, 146vtoclgaf 2882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ch 
->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
148135, 147syl5com 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( ( k  +  1 )  e. 
Prime  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
149127, 148sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
150116, 149syl5bir 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( -.  E. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) y 
||  ( k  +  1 )  ->  [. (
k  +  1 )  /  x ]. ph )
)
151115, 150pm2.61d 150 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph )
152151ex 423 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
153 ralsns 3704 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
15425, 153syl 15 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
155152, 154sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  A. x  e.  {
( k  +  1 ) } ph )
)
156155ancld 536 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  ( A. x  e.  ( 1 ... k
) ph  /\  A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph ) ) )
157 fzsuc 10882 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) )
158118, 157sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1 ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) )
159158raleqdv 2776 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ph  <->  A. x  e.  ( ( 1 ... k )  u.  { ( k  +  1 ) } ) ph ) )
160 ralunb 3390 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( (
1 ... k )  u. 
{ ( k  +  1 ) } )
ph 
<->  ( A. x  e.  ( 1 ... k
) ph  /\  A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph ) )
161159, 160syl6bb 252 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ph  <->  ( A. x  e.  ( 1 ... k )
ph  /\  A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph ) ) )
162156, 161sylibrd 225 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  A. x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )
ph ) )
1634, 6, 8, 10, 16, 162nnind 9809 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A. x  e.  ( 1 ... A
) ph )
164 prmind.5 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  et ) )
165164rspcv 2914 . 2  |-  ( A  e.  ( 1 ... A )  ->  ( A. x  e.  (
1 ... A ) ph  ->  et ) )
1662, 163, 165sylc 56 1  |-  ( A  e.  NN  ->  et )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   E.wrex 2578   [.wsbc 3025    u. cun 3184   {csn 3674   class class class wbr 4060   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    x. cmul 8787    < clt 8912    <_ cle 8913    - cmin 9082    / cdiv 9468   NNcn 9791   2c2 9840   ZZcz 10071   ZZ>=cuz 10277   ...cfz 10829    || cdivides 12578   Primecprime 12805
This theorem is referenced by:  prmind  12817  4sqlem19  13057
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-fz 10830  df-dvds 12579  df-prm 12806
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