MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmirred Unicode version

Theorem prmirred 16738
Description: The irreducible elements of  ZZ are exactly the prime numbers (and their negatives). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmirred.1  |-  Z  =  (flds  ZZ )
prmirred.2  |-  I  =  (Irred `  Z )
Assertion
Ref Expression
prmirred  |-  ( A  e.  I  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  e.  Prime ) )

Proof of Theorem prmirred
StepHypRef Expression
1 prmirred.2 . . 3  |-  I  =  (Irred `  Z )
2 zsubrg 16715 . . . 4  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
3 prmirred.1 . . . . 5  |-  Z  =  (flds  ZZ )
43subrgbas 15840 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  Z )
)
52, 4ax-mp 8 . . 3  |-  ZZ  =  ( Base `  Z )
61, 5irredcl 15772 . 2  |-  ( A  e.  I  ->  A  e.  ZZ )
7 elnn0 10187 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
8 ax-1 5 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  ->  A  e.  NN ) )
93subrgrng 15834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  Z  e. 
Ring )
102, 9ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  e. 
Ring
11 subrgsubg 15837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  e.  (SubGrp ` fld ) )
122, 11ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  e.  (SubGrp ` fld )
13 cnfld0 16688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  =  ( 0g ` fld )
143, 13subg0 14913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ  e.  (SubGrp ` fld )  ->  0  =  ( 0g `  Z
) )
1512, 14ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  =  ( 0g `  Z )
161, 15irredn0 15771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  I )  ->  A  =/=  0 )
1710, 16mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  I  ->  A  =/=  0 )
1817necon2bi 2621 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  -.  A  e.  I )
1918pm2.21d 100 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  I  ->  A  e.  NN ) )
208, 19jaoi 369 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  \/  A  =  0 )  ->  ( A  e.  I  ->  A  e.  NN ) )
217, 20sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  I  ->  A  e.  NN ) )
22 prmnn 13045 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  NN )
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  NN ) )
243, 1prmirredlem 16736 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )
2524a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) ) )
2621, 23, 25pm5.21ndd 344 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )
27 nn0re 10194 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
28 nn0ge0 10211 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
2927, 28absidd 12188 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( abs `  A )  =  A )
3029eleq1d 2478 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ( abs `  A )  e.  Prime  <->  A  e.  Prime ) )
3126, 30bitr4d 248 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  I  <->  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
3231adantl 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( A  e.  I  <->  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
333, 1prmirredlem 16736 . . . . . 6  |-  ( -u A  e.  NN  ->  (
-u A  e.  I  <->  -u A  e.  Prime )
)
3433adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( -u A  e.  I  <->  -u A  e.  Prime ) )
35 eqid 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( inv g `  Z )  =  ( inv g `  Z )
361, 35, 5irrednegb 15779 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  I  <->  ( ( inv g `  Z ) `
 A )  e.  I ) )
3710, 36mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  I  <->  ( ( inv g `  Z ) `
 A )  e.  I ) )
38 eqid 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv g ` fld )  =  ( inv g ` fld )
393, 38, 35subginv 14914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ZZ  e.  (SubGrp ` fld )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( inv g ` fld ) `  A )  =  ( ( inv g `  Z ) `
 A ) )
4012, 39mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( inv g ` fld ) `  A )  =  ( ( inv g `  Z ) `  A
) )
41 zcn 10251 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
42 cnfldneg 16690 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( inv g ` fld ) `  A )  =  -u A )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( inv g ` fld ) `  A )  =  -u A )
4440, 43eqtr3d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( inv g `  Z ) `  A
)  =  -u A
)
4544eleq1d 2478 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( ( inv g `  Z ) `  A
)  e.  I  <->  -u A  e.  I ) )
4637, 45bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  I  <->  -u A  e.  I ) )
4746adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( A  e.  I  <->  -u A  e.  I
) )
48 zre 10250 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
4948adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
50 nnnn0 10192 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u A  e.  NN  ->  -u A  e.  NN0 )
5150nn0ge0d 10241 . . . . . . . . 9  |-  ( -u A  e.  NN  ->  0  <_  -u A )
5251adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  0  <_  -u A
)
5349le0neg1d 9562 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( A  <_ 
0  <->  0  <_  -u A
) )
5452, 53mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  A  <_  0
)
5549, 54absnidd 12179 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( abs `  A
)  =  -u A
)
5655eleq1d 2478 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( ( abs `  A )  e.  Prime  <->  -u A  e.  Prime ) )
5734, 47, 563bitr4d 277 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( A  e.  I  <->  ( abs `  A
)  e.  Prime )
)
5857adantrl 697 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( A  e.  RR  /\  -u A  e.  NN ) )  ->  ( A  e.  I  <->  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
59 elznn0nn 10259 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  <->  ( A  e.  NN0  \/  ( A  e.  RR  /\  -u A  e.  NN ) ) )
6059biimpi 187 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  NN0  \/  ( A  e.  RR  /\  -u A  e.  NN ) ) )
6132, 58, 60mpjaodan 762 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  I  <->  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
626, 61biadan2 624 1  |-  ( A  e.  I  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954    <_ cle 9085   -ucneg 9256   NNcn 9964   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   abscabs 12002   Primecprime 13042   Basecbs 13432   ↾s cress 13433   0gc0g 13686   inv gcminusg 14649  SubGrpcsubg 14901   Ringcrg 15623  Irredcir 15708  SubRingcsubrg 15827  ℂfldccnfld 16666
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-tpos 6446  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fz 11008  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-dvds 12816  df-prm 13043  df-gz 13261  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-subg 14904  df-cmn 15377  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-cring 15627  df-ur 15628  df-oppr 15691  df-dvdsr 15709  df-unit 15710  df-irred 15711  df-invr 15740  df-dvr 15751  df-drng 15800  df-subrg 15829  df-cnfld 16667
  Copyright terms: Public domain W3C validator