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Theorem prmirredlem 16765
Description: A natural number is irreducible over  ZZ iff it is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmirred.1  |-  Z  =  (flds  ZZ )
prmirred.2  |-  I  =  (Irred `  Z )
Assertion
Ref Expression
prmirredlem  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )

Proof of Theorem prmirredlem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsubrg 16744 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
2 prmirred.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  (flds  ZZ )
32subrgrng 15863 . . . . . . 7  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  Z  e. 
Ring )
41, 3ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Z  e. 
Ring
5 prmirred.2 . . . . . . 7  |-  I  =  (Irred `  Z )
6 cnfld1 16718 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 1r ` fld )
72, 6subrg1 15870 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  1  =  ( 1r `  Z
) )
81, 7ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 1r `  Z )
95, 8irredn1 15803 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  I )  ->  A  =/=  1 )
104, 9mpan 652 . . . . 5  |-  ( A  e.  I  ->  A  =/=  1 )
1110anim2i 553 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  ( A  e.  NN  /\  A  =/=  1 ) )
12 eluz2b3 10541 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  A  =/=  1 ) )
1311, 12sylibr 204 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
14 nnz 10295 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
1514ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  ZZ )
16 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  ||  A )
17 nnne0 10024 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
1817ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  =/=  0 )
19 nnz 10295 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
2019ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  ZZ )
21 dvdsval2 12847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  y  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
y  ||  A  <->  ( A  /  y )  e.  ZZ ) )
2215, 18, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  ||  A  <->  ( A  /  y )  e.  ZZ ) )
2316, 22mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( A  /  y
)  e.  ZZ )
2420zcnd 10368 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  CC )
25 nncn 10000 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
2625ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  CC )
2724, 26, 18divcan2d 9784 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  x.  ( A  /  y ) )  =  A )
28 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  I )
2927, 28eqeltrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  x.  ( A  /  y ) )  e.  I )
302subrgbas 15869 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  Z )
)
311, 30ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ZZ  =  ( Base `  Z )
32 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
33 zex 10283 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
34 cnfldmul 16701 . . . . . . . . . 10  |-  x.  =  ( .r ` fld )
352, 34ressmulr 13574 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Z ) )
3633, 35ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  x.  =  ( .r `  Z )
375, 31, 32, 36irredmul 15806 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( A  /  y
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  ( A  /  y ) )  e.  I )  -> 
( y  e.  (Unit `  Z )  \/  ( A  /  y )  e.  (Unit `  Z )
) )
3815, 23, 29, 37syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  e.  (Unit `  Z )  \/  ( A  /  y )  e.  (Unit `  Z )
) )
392zrngunit 16757 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( y  e.  ZZ  /\  ( abs `  y )  =  1 ) )
4039baib 872 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  y )  =  1 ) )
4115, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  y )  =  1 ) )
42 nnnn0 10220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
43 nn0re 10222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
44 nn0ge0 10239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  ->  0  <_ 
y )
4543, 44absidd 12217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( abs `  y )  =  y )
4642, 45syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( abs `  y )  =  y )
4746ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( abs `  y
)  =  y )
4847eqeq1d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( abs `  y
)  =  1  <->  y  =  1 ) )
4941, 48bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  e.  (Unit `  Z )  <->  y  = 
1 ) )
502zrngunit 16757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  y )  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( ( A  /  y )  e.  ZZ  /\  ( abs `  ( A  /  y
) )  =  1 ) )
5150baib 872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  y )  e.  ZZ  ->  (
( A  /  y
)  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  ( A  /  y
) )  =  1 ) )
5223, 51syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( A  / 
y )  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  ( A  /  y
) )  =  1 ) )
53 nnre 9999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
5453ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  RR )
55 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  NN )
5654, 55nndivred 10040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( A  /  y
)  e.  RR )
57 nnnn0 10220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
58 nn0ge0 10239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <_  A )
6059ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
0  <_  A )
6155nnred 10007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  RR )
62 nngt0 10021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  y )
6362ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
0  <  y )
64 divge0 9871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  0  <_  ( A  /  y ) )
6554, 60, 61, 63, 64syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
0  <_  ( A  /  y ) )
6656, 65absidd 12217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( abs `  ( A  /  y ) )  =  ( A  / 
y ) )
6766eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( abs `  ( A  /  y ) )  =  1  <->  ( A  /  y )  =  1 ) )
68 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
1  e.  CC )
7024, 26, 69, 18divmuld 9804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( A  / 
y )  =  1  <-> 
( y  x.  1 )  =  A ) )
7126mulid1d 9097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  x.  1 )  =  y )
7271eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( y  x.  1 )  =  A  <-> 
y  =  A ) )
7367, 70, 723bitrd 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( abs `  ( A  /  y ) )  =  1  <->  y  =  A ) )
7452, 73bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( A  / 
y )  e.  (Unit `  Z )  <->  y  =  A ) )
7549, 74orbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( y  e.  (Unit `  Z )  \/  ( A  /  y
)  e.  (Unit `  Z ) )  <->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
7638, 75mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  =  1  \/  y  =  A ) )
7776expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
7877ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
79 isprm2 13079 . . 3  |-  ( A  e.  Prime  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) ) )
8013, 78, 79sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  A  e.  Prime )
81 prmz 13075 . . . 4  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  ZZ )
82 1nprm 13076 . . . . 5  |-  -.  1  e.  Prime
832zrngunit 16757 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  =  1 ) )
84 prmnn 13074 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  NN )
85 nn0re 10222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
8685, 58absidd 12217 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( abs `  A )  =  A )
8784, 57, 863syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( abs `  A )  =  A )
88 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e. 
Prime )
8987, 88eqeltrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( abs `  A )  e.  Prime )
90 eleq1 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
)  e.  Prime  <->  1  e.  Prime ) )
9189, 90syl5ibcom 212 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( ( abs `  A )  =  1  ->  1  e.  Prime ) )
9291adantld 454 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
1  e.  Prime )
)
9383, 92syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  e.  Prime ) )
9482, 93mtoi 171 . . . 4  |-  ( A  e.  Prime  ->  -.  A  e.  (Unit `  Z )
)
95 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  e.  ZZ )
9695zcnd 10368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  e.  CC )
9784ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A  e.  NN )
9897nnne0d 10036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A  =/=  0 )
99 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  x.  y )  =  A )
100 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  y  e.  ZZ )
101100zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  y  e.  CC )
102101mul02d 9256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
0  x.  y )  =  0 )
10398, 99, 1023netr4d 2625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  x.  y )  =/=  ( 0  x.  y ) )
104 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
x  x.  y )  =  ( 0  x.  y ) )
105104necon3i 2637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  x.  y )  =/=  ( 0  x.  y )  ->  x  =/=  0 )
106103, 105syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  =/=  0 )
10796, 106absne0d 12241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  =/=  0 )
108107neneqd 2614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  -.  ( abs `  x )  =  0 )
109 nn0abscl 12109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( abs `  x )  e. 
NN0 )
11095, 109syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e. 
NN0 )
111 elnn0 10215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  x )  e.  NN0  <->  ( ( abs `  x )  e.  NN  \/  ( abs `  x
)  =  0 ) )
112110, 111sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  e.  NN  \/  ( abs `  x )  =  0 ) )
113112ord 367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( -.  ( abs `  x
)  e.  NN  ->  ( abs `  x )  =  0 ) )
114108, 113mt3d 119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e.  NN )
11579simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Prime  ->  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
116115ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
117 dvdsmul1 12863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  ||  ( x  x.  y ) )
118117ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  ||  ( x  x.  y
) )
119118, 99breqtrd 4228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  ||  A )
12081ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A  e.  ZZ )
121 absdvdsb 12860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( x  ||  A  <->  ( abs `  x ) 
||  A ) )
12295, 120, 121syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  ||  A  <->  ( abs `  x )  ||  A
) )
123119, 122mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  ||  A )
124 breq1 4207 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( y  ||  A  <->  ( abs `  x
)  ||  A )
)
125 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( y  =  1  <->  ( abs `  x )  =  1 ) )
126 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( y  =  A  <->  ( abs `  x
)  =  A ) )
127125, 126orbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( (
y  =  1  \/  y  =  A )  <-> 
( ( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) )
128124, 127imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( (
y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) )  <->  ( ( abs `  x )  ||  A  ->  ( ( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) ) )
129128rspcv 3040 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  x )  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) )  ->  (
( abs `  x
)  ||  A  ->  ( ( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) ) )
130114, 116, 123, 129syl3c 59 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) )
1312zrngunit 16757 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( x  e.  ZZ  /\  ( abs `  x )  =  1 ) )
132131baib 872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  x )  =  1 ) )
13395, 132syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  x )  =  1 ) )
134100, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
y  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  y )  =  1 ) )
135101abscld 12230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
136135recnd 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  y )  e.  CC )
13768a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  1  e.  CC )
13896abscld 12230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
139138recnd 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e.  CC )
140136, 137, 139, 107mulcand 9647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  1 )  <-> 
( abs `  y
)  =  1 ) )
14199fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  ( x  x.  y ) )  =  ( abs `  A
) )
14296, 101absmuld 12248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  ( x  x.  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) ) )
14387ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  A )  =  A )
144141, 142, 1433eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  A )
145139mulid1d 9097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  x.  1 )  =  ( abs `  x
) )
146144, 145eqeq12d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  1 )  <-> 
A  =  ( abs `  x ) ) )
147 eqcom 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( abs `  x
)  <->  ( abs `  x
)  =  A )
148146, 147syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  1 )  <-> 
( abs `  x
)  =  A ) )
149134, 140, 1483bitr2d 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
y  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  x )  =  A ) )
150133, 149orbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z )
)  <->  ( ( abs `  x )  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) )
151130, 150mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z )
) )
152151ex 424 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
x  x.  y )  =  A  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z )
) ) )
153152ralrimivva 2790 . . . 4  |-  ( A  e.  Prime  ->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( ( x  x.  y )  =  A  ->  ( x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z ) ) ) )
15431, 32, 5, 36isirred2 15798 . . . 4  |-  ( A  e.  I  <->  ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  (Unit `  Z )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  (
( x  x.  y
)  =  A  -> 
( x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z )
) ) ) )
15581, 94, 153, 154syl3anbrc 1138 . . 3  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  I )
156155adantl 453 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  Prime )  ->  A  e.  I )
15780, 156impbida 806 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   abscabs 12031    || cdivides 12844   Primecprime 13071   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   .rcmulr 13522   Ringcrg 15652   1rcur 15654  Unitcui 15736  Irredcir 15737  SubRingcsubrg 15856  ℂfldccnfld 16695
This theorem is referenced by:  dfprm2  16766  prmirred  16767
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-prm 13072  df-gz 13290  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-subg 14933  df-cmn 15406  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-irred 15740  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-subrg 15858  df-cnfld 16696
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