Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmirredlem Structured version   Unicode version

Theorem prmirredlem 16765
 Description: A natural number is irreducible over iff it is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmirred.1 flds
prmirred.2 Irred
Assertion
Ref Expression
prmirredlem

Proof of Theorem prmirredlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsubrg 16744 . . . . . . 7 SubRingfld
2 prmirred.1 . . . . . . . 8 flds
32subrgrng 15863 . . . . . . 7 SubRingfld
41, 3ax-mp 8 . . . . . 6
5 prmirred.2 . . . . . . 7 Irred
6 cnfld1 16718 . . . . . . . . 9 fld
72, 6subrg1 15870 . . . . . . . 8 SubRingfld
81, 7ax-mp 8 . . . . . . 7
95, 8irredn1 15803 . . . . . 6
104, 9mpan 652 . . . . 5
1110anim2i 553 . . . 4
12 eluz2b3 10541 . . . 4
1311, 12sylibr 204 . . 3
14 nnz 10295 . . . . . . . 8
1514ad2antrl 709 . . . . . . 7
16 simprr 734 . . . . . . . 8
17 nnne0 10024 . . . . . . . . . 10
1817ad2antrl 709 . . . . . . . . 9
19 nnz 10295 . . . . . . . . . 10
2019ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
21 dvdsval2 12847 . . . . . . . . 9
2215, 18, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . . . 8
2316, 22mpbid 202 . . . . . . 7
2420zcnd 10368 . . . . . . . . 9
25 nncn 10000 . . . . . . . . . 10
2625ad2antrl 709 . . . . . . . . 9
2724, 26, 18divcan2d 9784 . . . . . . . 8
28 simplr 732 . . . . . . . 8
2927, 28eqeltrd 2509 . . . . . . 7
302subrgbas 15869 . . . . . . . . 9 SubRingfld
311, 30ax-mp 8 . . . . . . . 8
32 eqid 2435 . . . . . . . 8 Unit Unit
33 zex 10283 . . . . . . . . 9
34 cnfldmul 16701 . . . . . . . . . 10 fld
352, 34ressmulr 13574 . . . . . . . . 9
3633, 35ax-mp 8 . . . . . . . 8
375, 31, 32, 36irredmul 15806 . . . . . . 7 Unit Unit
3815, 23, 29, 37syl3anc 1184 . . . . . 6 Unit Unit
392zrngunit 16757 . . . . . . . . . 10 Unit
4039baib 872 . . . . . . . . 9 Unit
4115, 40syl 16 . . . . . . . 8 Unit
42 nnnn0 10220 . . . . . . . . . . 11
43 nn0re 10222 . . . . . . . . . . . 12
44 nn0ge0 10239 . . . . . . . . . . . 12
4543, 44absidd 12217 . . . . . . . . . . 11
4642, 45syl 16 . . . . . . . . . 10
4746ad2antrl 709 . . . . . . . . 9
4847eqeq1d 2443 . . . . . . . 8
4941, 48bitrd 245 . . . . . . 7 Unit
502zrngunit 16757 . . . . . . . . . 10 Unit
5150baib 872 . . . . . . . . 9 Unit
5223, 51syl 16 . . . . . . . 8 Unit
53 nnre 9999 . . . . . . . . . . . . 13
5453ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
55 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12
5654, 55nndivred 10040 . . . . . . . . . . 11
57 nnnn0 10220 . . . . . . . . . . . . . 14
58 nn0ge0 10239 . . . . . . . . . . . . . 14
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
6059ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
6155nnred 10007 . . . . . . . . . . . 12
62 nngt0 10021 . . . . . . . . . . . . 13
6362ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12
64 divge0 9871 . . . . . . . . . . . 12
6554, 60, 61, 63, 64syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11
6656, 65absidd 12217 . . . . . . . . . 10
6766eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9
68 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . 11
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10
7024, 26, 69, 18divmuld 9804 . . . . . . . . 9
7126mulid1d 9097 . . . . . . . . . 10
7271eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9
7367, 70, 723bitrd 271 . . . . . . . 8
7452, 73bitrd 245 . . . . . . 7 Unit
7549, 74orbi12d 691 . . . . . 6 Unit Unit
7638, 75mpbid 202 . . . . 5
7776expr 599 . . . 4
7877ralrimiva 2781 . . 3
79 isprm2 13079 . . 3
8013, 78, 79sylanbrc 646 . 2
81 prmz 13075 . . . 4
82 1nprm 13076 . . . . 5
832zrngunit 16757 . . . . . 6 Unit
84 prmnn 13074 . . . . . . . . . 10
85 nn0re 10222 . . . . . . . . . . 11
8685, 58absidd 12217 . . . . . . . . . 10
8784, 57, 863syl 19 . . . . . . . . 9
88 id 20 . . . . . . . . 9
8987, 88eqeltrd 2509 . . . . . . . 8
90 eleq1 2495 . . . . . . . 8
9189, 90syl5ibcom 212 . . . . . . 7
9291adantld 454 . . . . . 6
9383, 92syl5bi 209 . . . . 5 Unit
9482, 93mtoi 171 . . . 4 Unit
95 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12
9695zcnd 10368 . . . . . . . . . . 11
9784ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
9897nnne0d 10036 . . . . . . . . . . . . 13
99 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13
100 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15
101100zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . . 14
102101mul02d 9256 . . . . . . . . . . . . 13
10398, 99, 1023netr4d 2625 . . . . . . . . . . . 12
104 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . 13
105104necon3i 2637 . . . . . . . . . . . 12
106103, 105syl 16 . . . . . . . . . . 11
10796, 106absne0d 12241 . . . . . . . . . 10
108107neneqd 2614 . . . . . . . . 9
109 nn0abscl 12109 . . . . . . . . . . . 12
11095, 109syl 16 . . . . . . . . . . 11
111 elnn0 10215 . . . . . . . . . . 11
112110, 111sylib 189 . . . . . . . . . 10
113112ord 367 . . . . . . . . 9
114108, 113mt3d 119 . . . . . . . 8
11579simprbi 451 . . . . . . . . 9
116115ad2antrr 707 . . . . . . . 8
117 dvdsmul1 12863 . . . . . . . . . . 11
118117ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10
119118, 99breqtrd 4228 . . . . . . . . 9
12081ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
121 absdvdsb 12860 . . . . . . . . . 10
12295, 120, 121syl2anc 643 . . . . . . . . 9
123119, 122mpbid 202 . . . . . . . 8
124 breq1 4207 . . . . . . . . . 10
125 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . 11
126 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . 11
127125, 126orbi12d 691 . . . . . . . . . 10
128124, 127imbi12d 312 . . . . . . . . 9
129128rspcv 3040 . . . . . . . 8
130114, 116, 123, 129syl3c 59 . . . . . . 7
1312zrngunit 16757 . . . . . . . . . 10 Unit
132131baib 872 . . . . . . . . 9 Unit
13395, 132syl 16 . . . . . . . 8 Unit
134100, 40syl 16 . . . . . . . . 9 Unit
135101abscld 12230 . . . . . . . . . . 11
136135recnd 9106 . . . . . . . . . 10
13768a1i 11 . . . . . . . . . 10
13896abscld 12230 . . . . . . . . . . 11
139138recnd 9106 . . . . . . . . . 10
140136, 137, 139, 107mulcand 9647 . . . . . . . . 9
14199fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12
14296, 101absmuld 12248 . . . . . . . . . . . 12
14387ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
144141, 142, 1433eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . 11
145139mulid1d 9097 . . . . . . . . . . 11
146144, 145eqeq12d 2449 . . . . . . . . . 10
147 eqcom 2437 . . . . . . . . . 10
148146, 147syl6bb 253 . . . . . . . . 9
149134, 140, 1483bitr2d 273 . . . . . . . 8 Unit
150133, 149orbi12d 691 . . . . . . 7 Unit Unit
151130, 150mpbird 224 . . . . . 6 Unit Unit
152151ex 424 . . . . 5 Unit Unit
153152ralrimivva 2790 . . . 4 Unit Unit
15431, 32, 5, 36isirred2 15798 . . . 4 Unit Unit Unit
15581, 94, 153, 154syl3anbrc 1138 . . 3
156155adantl 453 . 2
15780, 156impbida 806 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  cvv 2948   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   cmul 8987   clt 9112   cle 9113   cdiv 9669  cn 9992  c2 10041  cn0 10213  cz 10274  cuz 10480  cabs 12031   cdivides 12844  cprime 13071  cbs 13461   ↾s cress 13462  cmulr 13522  crg 15652  cur 15654  Unitcui 15736  Irredcir 15737  SubRingcsubrg 15856  ℂfldccnfld 16695 This theorem is referenced by:  dfprm2  16766  prmirred  16767 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-prm 13072  df-gz 13290  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-subg 14933  df-cmn 15406  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-irred 15740  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-subrg 15858  df-cnfld 16696
 Copyright terms: Public domain W3C validator