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Theorem prmirredlem 16462
Description: A natural number is irreducible over  ZZ iff it is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmirred.1  |-  Z  =  (flds  ZZ )
prmirred.2  |-  I  =  (Irred `  Z )
Assertion
Ref Expression
prmirredlem  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )

Proof of Theorem prmirredlem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsubrg 16441 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
2 prmirred.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  (flds  ZZ )
32subrgrng 15564 . . . . . . 7  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  Z  e. 
Ring )
41, 3ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Z  e. 
Ring
5 prmirred.2 . . . . . . 7  |-  I  =  (Irred `  Z )
6 cnfld1 16415 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 1r ` fld )
72, 6subrg1 15571 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  1  =  ( 1r `  Z
) )
81, 7ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 1r `  Z )
95, 8irredn1 15504 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  I )  ->  A  =/=  1 )
104, 9mpan 651 . . . . 5  |-  ( A  e.  I  ->  A  =/=  1 )
1110anim2i 552 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  ( A  e.  NN  /\  A  =/=  1 ) )
12 eluz2b3 10307 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  A  =/=  1 ) )
1311, 12sylibr 203 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
14 nnz 10061 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
1514ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  ZZ )
16 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  ||  A )
17 nnne0 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
1817ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  =/=  0 )
19 nnz 10061 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
2019ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  ZZ )
21 dvdsval2 12550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  y  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
y  ||  A  <->  ( A  /  y )  e.  ZZ ) )
2215, 18, 20, 21syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  ||  A  <->  ( A  /  y )  e.  ZZ ) )
2316, 22mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( A  /  y
)  e.  ZZ )
2420zcnd 10134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  CC )
25 nncn 9770 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
2625ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  CC )
2724, 26, 18divcan2d 9554 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  x.  ( A  /  y ) )  =  A )
28 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  I )
2927, 28eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  x.  ( A  /  y ) )  e.  I )
302subrgbas 15570 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  Z )
)
311, 30ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ZZ  =  ( Base `  Z )
32 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
33 zex 10049 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
34 cnfldmul 16401 . . . . . . . . . 10  |-  x.  =  ( .r ` fld )
352, 34ressmulr 13277 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Z ) )
3633, 35ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  x.  =  ( .r `  Z )
375, 31, 32, 36irredmul 15507 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( A  /  y
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  ( A  /  y ) )  e.  I )  -> 
( y  e.  (Unit `  Z )  \/  ( A  /  y )  e.  (Unit `  Z )
) )
3815, 23, 29, 37syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  e.  (Unit `  Z )  \/  ( A  /  y )  e.  (Unit `  Z )
) )
392zrngunit 16454 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( y  e.  ZZ  /\  ( abs `  y )  =  1 ) )
4039baib 871 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  y )  =  1 ) )
4115, 40syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  y )  =  1 ) )
42 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
43 nn0re 9990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
44 nn0ge0 10007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  ->  0  <_ 
y )
4543, 44absidd 11921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( abs `  y )  =  y )
4642, 45syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( abs `  y )  =  y )
4746ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( abs `  y
)  =  y )
4847eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( abs `  y
)  =  1  <->  y  =  1 ) )
4941, 48bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  e.  (Unit `  Z )  <->  y  = 
1 ) )
502zrngunit 16454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  y )  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( ( A  /  y )  e.  ZZ  /\  ( abs `  ( A  /  y
) )  =  1 ) )
5150baib 871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  y )  e.  ZZ  ->  (
( A  /  y
)  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  ( A  /  y
) )  =  1 ) )
5223, 51syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( A  / 
y )  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  ( A  /  y
) )  =  1 ) )
53 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
5453ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  RR )
55 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  NN )
5654, 55nndivred 9810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( A  /  y
)  e.  RR )
57 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
58 nn0ge0 10007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <_  A )
6059ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
0  <_  A )
6155nnred 9777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  RR )
62 nngt0 9791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  y )
6362ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
0  <  y )
64 divge0 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  0  <_  ( A  /  y ) )
6554, 60, 61, 63, 64syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
0  <_  ( A  /  y ) )
6656, 65absidd 11921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( abs `  ( A  /  y ) )  =  ( A  / 
y ) )
6766eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( abs `  ( A  /  y ) )  =  1  <->  ( A  /  y )  =  1 ) )
68 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
6968a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
1  e.  CC )
7024, 26, 69, 18divmuld 9574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( A  / 
y )  =  1  <-> 
( y  x.  1 )  =  A ) )
7126mulid1d 8868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  x.  1 )  =  y )
7271eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( y  x.  1 )  =  A  <-> 
y  =  A ) )
7367, 70, 723bitrd 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( abs `  ( A  /  y ) )  =  1  <->  y  =  A ) )
7452, 73bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( A  / 
y )  e.  (Unit `  Z )  <->  y  =  A ) )
7549, 74orbi12d 690 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( y  e.  (Unit `  Z )  \/  ( A  /  y
)  e.  (Unit `  Z ) )  <->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
7638, 75mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  =  1  \/  y  =  A ) )
7776expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
7877ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
79 isprm2 12782 . . 3  |-  ( A  e.  Prime  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) ) )
8013, 78, 79sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  A  e.  Prime )
81 prmz 12778 . . . 4  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  ZZ )
82 1nprm 12779 . . . . 5  |-  -.  1  e.  Prime
832zrngunit 16454 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  =  1 ) )
84 prmnn 12777 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  NN )
85 nn0re 9990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
8685, 58absidd 11921 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( abs `  A )  =  A )
8784, 57, 863syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( abs `  A )  =  A )
88 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e. 
Prime )
8987, 88eqeltrd 2370 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( abs `  A )  e.  Prime )
90 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
)  e.  Prime  <->  1  e.  Prime ) )
9189, 90syl5ibcom 211 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( ( abs `  A )  =  1  ->  1  e.  Prime ) )
9291adantld 453 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
1  e.  Prime )
)
9383, 92syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  e.  Prime ) )
9482, 93mtoi 169 . . . 4  |-  ( A  e.  Prime  ->  -.  A  e.  (Unit `  Z )
)
95 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  e.  ZZ )
9695zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  e.  CC )
9784ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A  e.  NN )
9897nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A  =/=  0 )
99 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  x.  y )  =  A )
100 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  y  e.  ZZ )
101100zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  y  e.  CC )
102101mul02d 9026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
0  x.  y )  =  0 )
10398, 99, 1023netr4d 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  x.  y )  =/=  ( 0  x.  y ) )
104 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
x  x.  y )  =  ( 0  x.  y ) )
105104necon3i 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  x.  y )  =/=  ( 0  x.  y )  ->  x  =/=  0 )
106103, 105syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  =/=  0 )
10796, 106absne0d 11945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  =/=  0 )
108107neneqd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  -.  ( abs `  x )  =  0 )
109 nn0abscl 11813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( abs `  x )  e. 
NN0 )
11095, 109syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e. 
NN0 )
111 elnn0 9983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  x )  e.  NN0  <->  ( ( abs `  x )  e.  NN  \/  ( abs `  x
)  =  0 ) )
112110, 111sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  e.  NN  \/  ( abs `  x )  =  0 ) )
113112ord 366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( -.  ( abs `  x
)  e.  NN  ->  ( abs `  x )  =  0 ) )
114108, 113mt3d 117 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e.  NN )
11579simprbi 450 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Prime  ->  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
116115ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
117 dvdsmul1 12566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  ||  ( x  x.  y ) )
118117ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  ||  ( x  x.  y
) )
119118, 99breqtrd 4063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  ||  A )
12081ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A  e.  ZZ )
121 absdvdsb 12563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( x  ||  A  <->  ( abs `  x ) 
||  A ) )
12295, 120, 121syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  ||  A  <->  ( abs `  x )  ||  A
) )
123119, 122mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  ||  A )
124 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( y  ||  A  <->  ( abs `  x
)  ||  A )
)
125 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( y  =  1  <->  ( abs `  x )  =  1 ) )
126 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( y  =  A  <->  ( abs `  x
)  =  A ) )
127125, 126orbi12d 690 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( (
y  =  1  \/  y  =  A )  <-> 
( ( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) )
128124, 127imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( (
y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) )  <->  ( ( abs `  x )  ||  A  ->  ( ( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) ) )
129128rspcv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  x )  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) )  ->  (
( abs `  x
)  ||  A  ->  ( ( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) ) )
130114, 116, 123, 129syl3c 57 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) )
1312zrngunit 16454 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( x  e.  ZZ  /\  ( abs `  x )  =  1 ) )
132131baib 871 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  x )  =  1 ) )
13395, 132syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  x )  =  1 ) )
134100, 40syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
y  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  y )  =  1 ) )
135101abscld 11934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
136135recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  y )  e.  CC )
13768a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  1  e.  CC )
13896abscld 11934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
139138recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e.  CC )
140136, 137, 139, 107mulcand 9417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  1 )  <-> 
( abs `  y
)  =  1 ) )
14199fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  ( x  x.  y ) )  =  ( abs `  A
) )
14296, 101absmuld 11952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  ( x  x.  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) ) )
14387ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  A )  =  A )
144141, 142, 1433eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  A )
145139mulid1d 8868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  x.  1 )  =  ( abs `  x
) )
146144, 145eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  1 )  <-> 
A  =  ( abs `  x ) ) )
147 eqcom 2298 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( abs `  x
)  <->  ( abs `  x
)  =  A )
148146, 147syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  1 )  <-> 
( abs `  x
)  =  A ) )
149134, 140, 1483bitr2d 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
y  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  x )  =  A ) )
150133, 149orbi12d 690 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z )
)  <->  ( ( abs `  x )  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) )
151130, 150mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z )
) )
152151ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
x  x.  y )  =  A  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z )
) ) )
153152ralrimivva 2648 . . . 4  |-  ( A  e.  Prime  ->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( ( x  x.  y )  =  A  ->  ( x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z ) ) ) )
15431, 32, 5, 36isirred2 15499 . . . 4  |-  ( A  e.  I  <->  ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  (Unit `  Z )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  (
( x  x.  y
)  =  A  -> 
( x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z )
) ) ) )
15581, 94, 153, 154syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  I )
156155adantl 452 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  Prime )  ->  A  e.  I )
15780, 156impbida 805 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   abscabs 11735    || cdivides 12547   Primecprime 12774   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   .rcmulr 13225   Ringcrg 15353   1rcur 15355  Unitcui 15437  Irredcir 15438  SubRingcsubrg 15557  ℂfldccnfld 16393
This theorem is referenced by:  dfprm2  16463  prmirred  16464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-prm 12775  df-gz 12993  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634  df-cmn 15107  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-irred 15441  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-cnfld 16394
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