MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1 Unicode version

Theorem prmlem1 13109
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n  |-  N  e.  NN
prmlem1.gt  |-  1  <  N
prmlem1.2  |-  -.  2  ||  N
prmlem1.3  |-  -.  3  ||  N
prmlem1.lt  |-  N  < ; 2 5
Assertion
Ref Expression
prmlem1  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem prmlem1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . 2  |-  N  e.  NN
2 prmlem1.gt . 2  |-  1  <  N
3 prmlem1.2 . 2  |-  -.  2  ||  N
4 prmlem1.3 . 2  |-  -.  3  ||  N
5 eluzelre 10239 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  x  e.  RR )
65resqcld 11271 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR )
7 eluzle 10240 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  x )
8 5re 9821 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  RR
9 5nn0 9985 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN0
109nn0ge0i 9993 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  5
11 le2sq2 11179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 5  e.  RR  /\  0  <_  5 )  /\  ( x  e.  RR  /\  5  <_  x ) )  -> 
( 5 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
128, 10, 11mpanl12 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  5  <_  x )  -> 
( 5 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
135, 7, 12syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( 5 ^ 2 )  <_ 
( x ^ 2 ) )
141nnrei 9755 . . . . . . . 8  |-  N  e.  RR
158resqcli 11189 . . . . . . . 8  |-  ( 5 ^ 2 )  e.  RR
16 prmlem1.lt . . . . . . . . . 10  |-  N  < ; 2 5
178recni 8849 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  CC
1817sqvali 11183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( 5  x.  5 )
19 5t5e25 10200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
2018, 19eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
2116, 20breqtrri 4048 . . . . . . . . 9  |-  N  < 
( 5 ^ 2 )
22 ltletr 8913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 5 ^ 2 )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( N  <  ( 5 ^ 2 )  /\  (
5 ^ 2 )  <_  ( x ^
2 ) )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
2321, 22mpani 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 5 ^ 2 )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( 5 ^ 2 )  <_ 
( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^ 2 ) ) )
2414, 15, 23mp3an12 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  RR  ->  (
( 5 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
256, 13, 24sylc 56 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  N  <  ( x ^ 2 ) )
26 ltnle 8902 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( N  < 
( x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N ) )
2714, 6, 26sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( N  <  ( x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N ) )
2825, 27mpbid 201 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  -.  (
x ^ 2 )  <_  N )
2928pm2.21d 98 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( (
x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) )
3029adantld 453 . . 3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( (
x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( x ^
2 )  <_  N
)  ->  -.  x  ||  N ) )
3130adantl 452 . 2  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
321, 2, 3, 4, 31prmlem1a 13108 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684    \ cdif 3149   {csn 3640   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   5c5 9798  ;cdc 10124   ZZ>=cuz 10230   ^cexp 11104    || cdivides 12531   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  5prm  13110  7prm  13112  11prm  13116  13prm  13117  17prm  13118  19prm  13119  23prm  13120
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-dvds 12532  df-prm 12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator