MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1 Structured version   Unicode version

Theorem prmlem1 13430
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n  |-  N  e.  NN
prmlem1.gt  |-  1  <  N
prmlem1.2  |-  -.  2  ||  N
prmlem1.3  |-  -.  3  ||  N
prmlem1.lt  |-  N  < ; 2 5
Assertion
Ref Expression
prmlem1  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem prmlem1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . 2  |-  N  e.  NN
2 prmlem1.gt . 2  |-  1  <  N
3 prmlem1.2 . 2  |-  -.  2  ||  N
4 prmlem1.3 . 2  |-  -.  3  ||  N
5 eluzelre 10497 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  x  e.  RR )
65resqcld 11549 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR )
7 eluzle 10498 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  x )
8 5re 10075 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  RR
9 5nn0 10241 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN0
109nn0ge0i 10249 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  5
11 le2sq2 11457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 5  e.  RR  /\  0  <_  5 )  /\  ( x  e.  RR  /\  5  <_  x ) )  -> 
( 5 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
128, 10, 11mpanl12 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  5  <_  x )  -> 
( 5 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
135, 7, 12syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( 5 ^ 2 )  <_ 
( x ^ 2 ) )
141nnrei 10009 . . . . . . . 8  |-  N  e.  RR
158resqcli 11467 . . . . . . . 8  |-  ( 5 ^ 2 )  e.  RR
16 prmlem1.lt . . . . . . . . . 10  |-  N  < ; 2 5
178recni 9102 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  CC
1817sqvali 11461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( 5  x.  5 )
19 5t5e25 10458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
2018, 19eqtri 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
2116, 20breqtrri 4237 . . . . . . . . 9  |-  N  < 
( 5 ^ 2 )
22 ltletr 9166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 5 ^ 2 )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( N  <  ( 5 ^ 2 )  /\  (
5 ^ 2 )  <_  ( x ^
2 ) )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
2321, 22mpani 658 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 5 ^ 2 )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( 5 ^ 2 )  <_ 
( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^ 2 ) ) )
2414, 15, 23mp3an12 1269 . . . . . . 7  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  RR  ->  (
( 5 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
256, 13, 24sylc 58 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  N  <  ( x ^ 2 ) )
26 ltnle 9155 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( N  < 
( x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N ) )
2714, 6, 26sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( N  <  ( x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N ) )
2825, 27mpbid 202 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  -.  (
x ^ 2 )  <_  N )
2928pm2.21d 100 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( (
x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) )
3029adantld 454 . . 3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( (
x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( x ^
2 )  <_  N
)  ->  -.  x  ||  N ) )
3130adantl 453 . 2  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
321, 2, 3, 4, 31prmlem1a 13429 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725    \ cdif 3317   {csn 3814   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121   NNcn 10000   2c2 10049   3c3 10050   5c5 10052  ;cdc 10382   ZZ>=cuz 10488   ^cexp 11382    || cdivides 12852   Primecprime 13079
This theorem is referenced by:  5prm  13431  7prm  13433  11prm  13437  13prm  13438  17prm  13439  19prm  13440  23prm  13441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-dvds 12853  df-prm 13080
  Copyright terms: Public domain W3C validator