MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1a Unicode version

Theorem prmlem1a 13357
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n  |-  N  e.  NN
prmlem1.gt  |-  1  <  N
prmlem1.2  |-  -.  2  ||  N
prmlem1.3  |-  -.  3  ||  N
prmlem1a.x  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
Assertion
Ref Expression
prmlem1a  |-  N  e. 
Prime
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem prmlem1a
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . . 3  |-  N  e.  NN
2 prmlem1.gt . . 3  |-  1  <  N
3 eluz2b2 10481 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
41, 2, 3mpbir2an 887 . 2  |-  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
5 breq1 4157 . . . . . 6  |-  ( x  =  2  ->  (
x  ||  N  <->  2  ||  N ) )
65notbid 286 . . . . 5  |-  ( x  =  2  ->  ( -.  x  ||  N  <->  -.  2  ||  N ) )
76imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  2  ->  (
( ( x ^
2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
)  <->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  2  ||  N ) ) )
8 prmnn 13010 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  e.  NN )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 )  ->  x  e.  NN )
10 eldifsn 3871 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 ) )
11 2prm 13023 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  Prime
12 nprmdvds1 13039 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  Prime  ->  -.  2  ||  1 )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  -.  2  ||  1
14 prmlem1a.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
15 prmlem1.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  3  ||  N
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  Prime  ->  -.  3  ||  N )
17 3p2e5 10044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  +  2 )  =  5
1814, 16, 17prmlem0 13356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  2  ||  3  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  3 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
19 1nprm 13012 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1  e.  Prime
2019pm2.21i 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  Prime  ->  -.  1  ||  N )
21 2cn 10003 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
22 ax-1cn 8982 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
23 2p1e3 10036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  1 )  =  3
2421, 22, 23addcomli 9191 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  2 )  =  3
2518, 20, 24prmlem0 13356 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  2  ||  1  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  1 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
2613, 25mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( x ^
2 )  <_  N
)  ->  -.  x  ||  N ) )
27 nnuz 10454 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2826, 27eleq2s 2480 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N ) )
2928exp3a 426 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  (
x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
) ) )
3010, 29syl5bir 210 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 )  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
) ) )
319, 30mpcom 34 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 )  ->  (
( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) )
32 prmlem1.2 . . . . 5  |-  -.  2  ||  N
3332a1ii 25 . . . 4  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  2  ||  N ) )
347, 31, 33pm2.61ne 2626 . . 3  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) )
3534rgen 2715 . 2  |-  A. x  e.  Prime  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
)
36 isprm5 13040 . 2  |-  ( N  e.  Prime  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  Prime  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) ) )
374, 35, 36mpbir2an 887 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650    \ cdif 3261   {csn 3758   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   1c1 8925    < clt 9054    <_ cle 9055   NNcn 9933   2c2 9982   3c3 9983   5c5 9985   ZZ>=cuz 10421   ^cexp 11310    || cdivides 12780   Primecprime 13007
This theorem is referenced by:  prmlem1  13358  prmlem2  13370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-fz 10977  df-seq 11252  df-exp 11311  df-dvds 12781  df-prm 13008
  Copyright terms: Public domain W3C validator