MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1a Structured version   Unicode version

Theorem prmlem1a 13421
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n  |-  N  e.  NN
prmlem1.gt  |-  1  <  N
prmlem1.2  |-  -.  2  ||  N
prmlem1.3  |-  -.  3  ||  N
prmlem1a.x  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
Assertion
Ref Expression
prmlem1a  |-  N  e. 
Prime
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem prmlem1a
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . . 3  |-  N  e.  NN
2 prmlem1.gt . . 3  |-  1  <  N
3 eluz2b2 10540 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
41, 2, 3mpbir2an 887 . 2  |-  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
5 breq1 4207 . . . . . 6  |-  ( x  =  2  ->  (
x  ||  N  <->  2  ||  N ) )
65notbid 286 . . . . 5  |-  ( x  =  2  ->  ( -.  x  ||  N  <->  -.  2  ||  N ) )
76imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  2  ->  (
( ( x ^
2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
)  <->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  2  ||  N ) ) )
8 prmnn 13074 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  e.  NN )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 )  ->  x  e.  NN )
10 eldifsn 3919 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 ) )
11 2prm 13087 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  Prime
12 nprmdvds1 13103 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  Prime  ->  -.  2  ||  1 )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  -.  2  ||  1
14 prmlem1a.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
15 prmlem1.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  3  ||  N
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  Prime  ->  -.  3  ||  N )
17 3p2e5 10103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  +  2 )  =  5
1814, 16, 17prmlem0 13420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  2  ||  3  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  3 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
19 1nprm 13076 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1  e.  Prime
2019pm2.21i 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  Prime  ->  -.  1  ||  N )
21 2cn 10062 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
22 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
23 2p1e3 10095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  1 )  =  3
2421, 22, 23addcomli 9250 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  2 )  =  3
2518, 20, 24prmlem0 13420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  2  ||  1  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  1 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
2613, 25mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( x ^
2 )  <_  N
)  ->  -.  x  ||  N ) )
27 nnuz 10513 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2826, 27eleq2s 2527 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N ) )
2928exp3a 426 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  (
x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
) ) )
3010, 29syl5bir 210 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 )  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
) ) )
319, 30mpcom 34 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 )  ->  (
( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) )
32 prmlem1.2 . . . . 5  |-  -.  2  ||  N
3332a1ii 25 . . . 4  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  2  ||  N ) )
347, 31, 33pm2.61ne 2673 . . 3  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) )
3534rgen 2763 . 2  |-  A. x  e.  Prime  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
)
36 isprm5 13104 . 2  |-  ( N  e.  Prime  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  Prime  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) ) )
374, 35, 36mpbir2an 887 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697    \ cdif 3309   {csn 3806   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1c1 8983    < clt 9112    <_ cle 9113   NNcn 9992   2c2 10041   3c3 10042   5c5 10044   ZZ>=cuz 10480   ^cexp 11374    || cdivides 12844   Primecprime 13071
This theorem is referenced by:  prmlem1  13422  prmlem2  13434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-dvds 12845  df-prm 13072
  Copyright terms: Public domain W3C validator