MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1a Unicode version

Theorem prmlem1a 13108
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n  |-  N  e.  NN
prmlem1.gt  |-  1  <  N
prmlem1.2  |-  -.  2  ||  N
prmlem1.3  |-  -.  3  ||  N
prmlem1a.x  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
Assertion
Ref Expression
prmlem1a  |-  N  e. 
Prime
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem prmlem1a
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . . 3  |-  N  e.  NN
2 prmlem1.gt . . 3  |-  1  <  N
3 eluz2b2 10290 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
41, 2, 3mpbir2an 886 . 2  |-  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
5 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( x  =  2  ->  (
x  ||  N  <->  2  ||  N ) )
65notbid 285 . . . . 5  |-  ( x  =  2  ->  ( -.  x  ||  N  <->  -.  2  ||  N ) )
76imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  2  ->  (
( ( x ^
2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
)  <->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  2  ||  N ) ) )
8 prmnn 12761 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  e.  NN )
98adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 )  ->  x  e.  NN )
10 eldifsn 3749 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 ) )
11 2prm 12774 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  Prime
12 nprmdvds1 12790 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  Prime  ->  -.  2  ||  1 )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  -.  2  ||  1
14 prmlem1a.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
15 prmlem1.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  3  ||  N
1615a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  Prime  ->  -.  3  ||  N )
17 3p2e5 9855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  +  2 )  =  5
1814, 16, 17prmlem0 13107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  2  ||  3  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  3 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
19 1nprm 12763 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1  e.  Prime
2019pm2.21i 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  Prime  ->  -.  1  ||  N )
21 2cn 9816 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
22 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
23 2p1e3 9847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  1 )  =  3
2421, 22, 23addcomli 9004 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  2 )  =  3
2518, 20, 24prmlem0 13107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  2  ||  1  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  1 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
2613, 25mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( x ^
2 )  <_  N
)  ->  -.  x  ||  N ) )
27 nnuz 10263 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2826, 27eleq2s 2375 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N ) )
2928exp3a 425 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  (
x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
) ) )
3010, 29syl5bir 209 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 )  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
) ) )
319, 30mpcom 32 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 )  ->  (
( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) )
32 prmlem1.2 . . . . 5  |-  -.  2  ||  N
3332a1ii 24 . . . 4  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  2  ||  N ) )
347, 31, 33pm2.61ne 2521 . . 3  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) )
3534rgen 2608 . 2  |-  A. x  e.  Prime  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
)
36 isprm5 12791 . 2  |-  ( N  e.  Prime  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  Prime  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) ) )
374, 35, 36mpbir2an 886 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    \ cdif 3149   {csn 3640   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   5c5 9798   ZZ>=cuz 10230   ^cexp 11104    || cdivides 12531   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  prmlem1  13109  prmlem2  13121
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-dvds 12532  df-prm 12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator