MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1a Unicode version

Theorem prmlem1a 13124
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n  |-  N  e.  NN
prmlem1.gt  |-  1  <  N
prmlem1.2  |-  -.  2  ||  N
prmlem1.3  |-  -.  3  ||  N
prmlem1a.x  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
Assertion
Ref Expression
prmlem1a  |-  N  e. 
Prime
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem prmlem1a
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . . 3  |-  N  e.  NN
2 prmlem1.gt . . 3  |-  1  <  N
3 eluz2b2 10306 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
41, 2, 3mpbir2an 886 . 2  |-  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
5 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( x  =  2  ->  (
x  ||  N  <->  2  ||  N ) )
65notbid 285 . . . . 5  |-  ( x  =  2  ->  ( -.  x  ||  N  <->  -.  2  ||  N ) )
76imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  2  ->  (
( ( x ^
2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
)  <->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  2  ||  N ) ) )
8 prmnn 12777 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  e.  NN )
98adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 )  ->  x  e.  NN )
10 eldifsn 3762 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 ) )
11 2prm 12790 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  Prime
12 nprmdvds1 12806 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  Prime  ->  -.  2  ||  1 )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  -.  2  ||  1
14 prmlem1a.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
15 prmlem1.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  3  ||  N
1615a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  Prime  ->  -.  3  ||  N )
17 3p2e5 9871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  +  2 )  =  5
1814, 16, 17prmlem0 13123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  2  ||  3  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  3 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
19 1nprm 12779 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1  e.  Prime
2019pm2.21i 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  Prime  ->  -.  1  ||  N )
21 2cn 9832 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
22 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
23 2p1e3 9863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  1 )  =  3
2421, 22, 23addcomli 9020 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  2 )  =  3
2518, 20, 24prmlem0 13123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  2  ||  1  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  1 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
2613, 25mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( x ^
2 )  <_  N
)  ->  -.  x  ||  N ) )
27 nnuz 10279 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2826, 27eleq2s 2388 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N ) )
2928exp3a 425 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  (
x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
) ) )
3010, 29syl5bir 209 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 )  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
) ) )
319, 30mpcom 32 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 )  ->  (
( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) )
32 prmlem1.2 . . . . 5  |-  -.  2  ||  N
3332a1ii 24 . . . 4  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  2  ||  N ) )
347, 31, 33pm2.61ne 2534 . . 3  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) )
3534rgen 2621 . 2  |-  A. x  e.  Prime  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
)
36 isprm5 12807 . 2  |-  ( N  e.  Prime  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  Prime  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) ) )
374, 35, 36mpbir2an 886 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    \ cdif 3162   {csn 3653   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   5c5 9814   ZZ>=cuz 10246   ^cexp 11120    || cdivides 12547   Primecprime 12774
This theorem is referenced by:  prmlem1  13125  prmlem2  13137
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-dvds 12548  df-prm 12775
  Copyright terms: Public domain W3C validator