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Theorem prmlem2 13329
Description: Our last proving session got as far as 25 because we started with the two "bootstrap" primes 2 and 3, and the next prime is 5, so knowing that 2 and 3 are prime and 4 is not allows us to cover the numbers less than  5 ^ 2  =  2 5. Additionally, nonprimes are "easy", so we can extend this range of known prime/nonprimes all the way until 29, which is the first prime larger than 25. Thus, in this lemma we extend another blanket out to  2 9 ^ 2  =  8 4 1, from which we can prove even more primes. If we wanted, we could keep doing this, but the goal is Bertrand's postulate, and for that we only need a few large primes - we don't need to find them all, as we have been doing thus far. So after this blanket runs out, we'll have to switch to another method (see 1259prm 13342).

As a side note, you can see the pattern of the primes in the indentation pattern of this lemma! (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
prmlem2.n  |-  N  e.  NN
prmlem2.lt  |-  N  < ;; 8 4 1
prmlem2.gt  |-  1  <  N
prmlem2.2  |-  -.  2  ||  N
prmlem2.3  |-  -.  3  ||  N
prmlem2.5  |-  -.  5  ||  N
prmlem2.7  |-  -.  7  ||  N
prmlem2.11  |-  -. ; 1 1  ||  N
prmlem2.13  |-  -. ; 1 3  ||  N
prmlem2.17  |-  -. ; 1 7  ||  N
prmlem2.19  |-  -. ; 1 9  ||  N
prmlem2.23  |-  -. ; 2 3  ||  N
Assertion
Ref Expression
prmlem2  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem prmlem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem2.n . 2  |-  N  e.  NN
2 prmlem2.gt . 2  |-  1  <  N
3 prmlem2.2 . 2  |-  -.  2  ||  N
4 prmlem2.3 . 2  |-  -.  3  ||  N
5 eluzelre 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  ->  x  e.  RR )
65resqcld 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
( x ^ 2 )  e.  RR )
7 eluzle 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> ; 2 9  <_  x )
8 2nn0 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  NN0
9 9nn0 10138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  9  e.  NN0
108, 9deccl 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |- ; 2 9  e.  NN0
1110nn0rei 10125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |- ; 2 9  e.  RR
1210nn0ge0i 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_ ; 2
9
13 le2sq2 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (; 2 9  e.  RR  /\  0  <_ ; 2 9 )  /\  ( x  e.  RR  /\ ; 2
9  <_  x )
)  ->  (; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
1411, 12, 13mpanl12 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\ ; 2 9  <_  x )  -> 
(; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
155, 7, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
(; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
161nnrei 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  N  e.  RR
1711resqcli 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (; 2 9 ^ 2 )  e.  RR
18 prmlem2.lt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  N  < ;; 8 4 1
1910nn0cni 10126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- ; 2 9  e.  CC
2019sqvali 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (; 2 9 ^ 2 )  =  (; 2 9  x. ; 2 9 )
21 eqid 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- ; 2 9  = ; 2 9
22 1nn0 10130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  NN0
23 6nn0 10135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  6  e.  NN0
248, 23deccl 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- ; 2 6  e.  NN0
25 5nn0 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  5  e.  NN0
26 8nn0 10137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  8  e.  NN0
27192timesi 9994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 2  x. ; 2 9 )  =  (; 2 9  + ; 2 9 )
28 2p2e4 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( 2  +  2 )  =  4
2928oveq1i 5991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 2  +  2 )  +  1 )  =  ( 4  +  1 )
30 4p1e5 9998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 4  +  1 )  =  5
3129, 30eqtri 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 2  +  2 )  +  1 )  =  5
32 9p9e18 10344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 9  +  9 )  = ; 1
8
338, 9, 8, 9, 21, 21, 31, 26, 32decaddc 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  (; 2 9  + ; 2 9 )  = ; 5
8
3427, 33eqtri 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  x. ; 2 9 )  = ; 5
8
35 eqid 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |- ; 2 6  = ; 2 6
36 5p2e7 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 5  +  2 )  =  7
3736oveq1i 5991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 5  +  2 )  +  1 )  =  ( 7  +  1 )
38 7p1e8 10001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 7  +  1 )  =  8
3937, 38eqtri 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 5  +  2 )  +  1 )  =  8
40 4nn0 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  4  e.  NN0
41 8p6e14 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 8  +  6 )  = ; 1
4
4225, 26, 8, 23, 34, 35, 39, 40, 41decaddc 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 2  x. ; 2 9 )  + ; 2
6 )  = ; 8 4
43 9t2e18 10370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 9  x.  2 )  = ; 1
8
44 1p1e2 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  +  1 )  =  2
45 8p8e16 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 8  +  8 )  = ; 1
6
4622, 26, 26, 43, 44, 23, 45decaddci 10320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 9  x.  2 )  +  8 )  = ; 2
6
47 9t9e81 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 9  x.  9 )  = ; 8
1
489, 8, 9, 21, 22, 26, 46, 47decmul2c 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 9  x. ; 2 9 )  = ;; 2 6 1
4910, 8, 9, 21, 22, 24, 42, 48decmul1c 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (; 2 9  x. ; 2 9 )  = ;; 8 4 1
5020, 49eqtri 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (; 2 9 ^ 2 )  = ;; 8 4 1
5118, 50breqtrri 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  N  < 
(; 2 9 ^ 2 )
52 ltletr 9060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  RR  /\  (; 2 9 ^ 2 )  e.  RR  /\  (
x ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( ( N  < 
(; 2 9 ^ 2 )  /\  (; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )  ->  N  <  (
x ^ 2 ) ) )
5351, 52mpani 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  RR  /\  (; 2 9 ^ 2 )  e.  RR  /\  (
x ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( (; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
5416, 17, 53mp3an12 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  RR  ->  (
(; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
556, 15, 54sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  ->  N  <  ( x ^
2 ) )
56 ltnle 9049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( N  < 
( x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N ) )
5716, 6, 56sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
( N  <  (
x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N )
)
5855, 57mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  ->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N )
5958pm2.21d 98 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
( ( x ^
2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
) )
6059adantld 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
( ( x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N ) )
6160adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  2  || ; 2 9  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
62 9nn 10033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  9  e.  NN
63 3nn 10027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  NN
64 1lt9 10070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <  9
65 1lt3 10037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <  3
66 9t3e27 10371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 9  x.  3 )  = ; 2
7
6762, 63, 64, 65, 66nprmi 12981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -. ; 2 7  e.  Prime
6867pm2.21i 123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (; 2 7  e.  Prime  ->  -. ; 2 7  ||  N )
69 7nn0 10136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  7  e.  NN0
70 eqid 2366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 2 7  = ; 2 7
71 7p2e9 10016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 7  +  2 )  =  9
728, 69, 8, 70, 71decaddi 10319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (; 2 7  +  2 )  = ; 2 9
7361, 68, 72prmlem0 13315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  2  || ; 2 7  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 7 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
74 5nn 10029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  NN
75 1lt5 10044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  5
76 5t5e25 10351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
7774, 74, 75, 75, 76nprmi 12981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -. ; 2 5  e.  Prime
7877pm2.21i 123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (; 2 5  e.  Prime  ->  -. ; 2 5  ||  N )
79 eqid 2366 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 2 5  = ; 2 5
808, 25, 8, 79, 36decaddi 10319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (; 2 5  +  2 )  = ; 2 7
8173, 78, 80prmlem0 13315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  2  || ; 2 5  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
82 prmlem2.23 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -. ; 2 3  ||  N
8382a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  (; 2 3  e.  Prime  ->  -. ; 2 3  ||  N )
84 3nn0 10132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN0
85 eqid 2366 . . . . . . . . . . . . 13  |- ; 2 3  = ; 2 3
86 3p2e5 10004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  +  2 )  =  5
878, 84, 8, 85, 86decaddi 10319 . . . . . . . . . . . 12  |-  (; 2 3  +  2 )  = ; 2 5
8881, 83, 87prmlem0 13315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  2  || ; 2 3  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 3 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
89 7nn 10031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  7  e.  NN
90 1lt7 10055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  7
91 7t3e21 10358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
9289, 63, 90, 65, 91nprmi 12981 . . . . . . . . . . . 12  |-  -. ; 2 1  e.  Prime
9392pm2.21i 123 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 2 1  e.  Prime  ->  -. ; 2 1  ||  N )
94 eqid 2366 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 2 1  = ; 2 1
95 2cn 9963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
96 ax-1cn 8942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
97 2p1e3 9996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  +  1 )  =  3
9895, 96, 97addcomli 9151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  2 )  =  3
998, 22, 8, 94, 98decaddi 10319 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 2 1  +  2 )  = ; 2 3
10088, 93, 99prmlem0 13315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  2  || ; 2 1  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 1 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
101 prmlem2.19 . . . . . . . . . . 11  |-  -. ; 1 9  ||  N
102101a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (; 1 9  e.  Prime  ->  -. ; 1 9  ||  N )
103 eqid 2366 . . . . . . . . . . 11  |- ; 1 9  = ; 1 9
104 9p2e11 10337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  +  2 )  = ; 1
1
10522, 9, 8, 103, 44, 22, 104decaddci 10320 . . . . . . . . . 10  |-  (; 1 9  +  2 )  = ; 2 1
106100, 102, 105prmlem0 13315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  2  || ; 1 9  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 9 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
107 prmlem2.17 . . . . . . . . . 10  |-  -. ; 1 7  ||  N
108107a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (; 1 7  e.  Prime  ->  -. ; 1 7  ||  N )
109 eqid 2366 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 7  = ; 1 7
11022, 69, 8, 109, 71decaddi 10319 . . . . . . . . 9  |-  (; 1 7  +  2 )  = ; 1 9
111106, 108, 110prmlem0 13315 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  2  || ; 1 7  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 7 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
112 5t3e15 10349 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
11374, 63, 75, 65, 112nprmi 12981 . . . . . . . . 9  |-  -. ; 1 5  e.  Prime
114113pm2.21i 123 . . . . . . . 8  |-  (; 1 5  e.  Prime  ->  -. ; 1 5  ||  N )
115 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |- ; 1 5  = ; 1 5
11622, 25, 8, 115, 36decaddi 10319 . . . . . . . 8  |-  (; 1 5  +  2 )  = ; 1 7
117111, 114, 116prmlem0 13315 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  2  || ; 1 5  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
118 prmlem2.13 . . . . . . . 8  |-  -. ; 1 3  ||  N
119118a1i 10 . . . . . . 7  |-  (; 1 3  e.  Prime  ->  -. ; 1 3  ||  N )
120 eqid 2366 . . . . . . . 8  |- ; 1 3  = ; 1 3
12122, 84, 8, 120, 86decaddi 10319 . . . . . . 7  |-  (; 1 3  +  2 )  = ; 1 5
122117, 119, 121prmlem0 13315 . . . . . 6  |-  ( ( -.  2  || ; 1 3  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 3 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
123 prmlem2.11 . . . . . . 7  |-  -. ; 1 1  ||  N
124123a1i 10 . . . . . 6  |-  (; 1 1  e.  Prime  ->  -. ; 1 1  ||  N )
125 eqid 2366 . . . . . . 7  |- ; 1 1  = ; 1 1
12622, 22, 8, 125, 98decaddi 10319 . . . . . 6  |-  (; 1 1  +  2 )  = ; 1 3
127122, 124, 126prmlem0 13315 . . . . 5  |-  ( ( -.  2  || ; 1 1  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
128 9nprm 13322 . . . . . 6  |-  -.  9  e.  Prime
129128pm2.21i 123 . . . . 5  |-  ( 9  e.  Prime  ->  -.  9  ||  N )
130127, 129, 104prmlem0 13315 . . . 4  |-  ( ( -.  2  ||  9  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  9 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
131 prmlem2.7 . . . . 5  |-  -.  7  ||  N
132131a1i 10 . . . 4  |-  ( 7  e.  Prime  ->  -.  7  ||  N )
133130, 132, 71prmlem0 13315 . . 3  |-  ( ( -.  2  ||  7  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  7 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
134 prmlem2.5 . . . 4  |-  -.  5  ||  N
135134a1i 10 . . 3  |-  ( 5  e.  Prime  ->  -.  5  ||  N )
136133, 135, 36prmlem0 13315 . 2  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
1371, 2, 3, 4, 136prmlem1a 13316 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    e. wcel 1715    \ cdif 3235   {csn 3729   class class class wbr 4125   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   RRcr 8883   0cc0 8884   1c1 8885    + caddc 8887    x. cmul 8889    < clt 9014    <_ cle 9015   NNcn 9893   2c2 9942   3c3 9943   4c4 9944   5c5 9945   6c6 9946   7c7 9947   8c8 9948   9c9 9949  ;cdc 10275   ZZ>=cuz 10381   ^cexp 11269    || cdivides 12739   Primecprime 12966
This theorem is referenced by:  37prm  13330  43prm  13331  83prm  13332  139prm  13333  163prm  13334  317prm  13335  631prm  13336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-rp 10506  df-fz 10936  df-seq 11211  df-exp 11270  df-dvds 12740  df-prm 12967
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