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Theorem prmlem2 13121
Description: Our last proving session got as far as 25 because we started with the two "bootstrap" primes 2 and 3, and the next prime is 5, so knowing that 2 and 3 are prime and 4 is not allows us to cover the numbers less than  5 ^ 2  =  2 5. Additionally, nonprimes are "easy", so we can extend this range of known prime/nonprimes all the way until 29, which is the first prime larger than 25. Thus in this lemma we extend another blanket out to  2 9 ^ 2  =  8 4 1, from which we can prove even more primes. If we wanted, we could keep doing this, but the goal is Bertrand's postulate, and for that we only need a few large primes - we don't need to find them all, as we have been doing thus far. So after this blanket runs out we'll have to switch to another method (see 1259prm 13134).

As a side note, you can see the pattern of the primes in the indentation pattern of this lemma! (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
prmlem2.n  |-  N  e.  NN
prmlem2.lt  |-  N  < ;; 8 4 1
prmlem2.gt  |-  1  <  N
prmlem2.2  |-  -.  2  ||  N
prmlem2.3  |-  -.  3  ||  N
prmlem2.5  |-  -.  5  ||  N
prmlem2.7  |-  -.  7  ||  N
prmlem2.11  |-  -. ; 1 1  ||  N
prmlem2.13  |-  -. ; 1 3  ||  N
prmlem2.17  |-  -. ; 1 7  ||  N
prmlem2.19  |-  -. ; 1 9  ||  N
prmlem2.23  |-  -. ; 2 3  ||  N
Assertion
Ref Expression
prmlem2  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem prmlem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem2.n . 2  |-  N  e.  NN
2 prmlem2.gt . 2  |-  1  <  N
3 prmlem2.2 . 2  |-  -.  2  ||  N
4 prmlem2.3 . 2  |-  -.  3  ||  N
5 eluzelre 10239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  ->  x  e.  RR )
65resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
( x ^ 2 )  e.  RR )
7 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> ; 2 9  <_  x )
8 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  NN0
9 9nn0 9989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  9  e.  NN0
108, 9deccl 10138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |- ; 2 9  e.  NN0
1110nn0rei 9976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |- ; 2 9  e.  RR
1210nn0ge0i 9993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_ ; 2
9
13 le2sq2 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (; 2 9  e.  RR  /\  0  <_ ; 2 9 )  /\  ( x  e.  RR  /\ ; 2
9  <_  x )
)  ->  (; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
1411, 12, 13mpanl12 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\ ; 2 9  <_  x )  -> 
(; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
155, 7, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
(; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
161nnrei 9755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  N  e.  RR
1711resqcli 11189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (; 2 9 ^ 2 )  e.  RR
18 prmlem2.lt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  N  < ;; 8 4 1
1910nn0cni 9977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- ; 2 9  e.  CC
2019sqvali 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (; 2 9 ^ 2 )  =  (; 2 9  x. ; 2 9 )
21 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- ; 2 9  = ; 2 9
22 1nn0 9981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  NN0
23 6nn0 9986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  6  e.  NN0
248, 23deccl 10138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- ; 2 6  e.  NN0
25 5nn0 9985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  5  e.  NN0
26 8nn0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  8  e.  NN0
27192timesi 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 2  x. ; 2 9 )  =  (; 2 9  + ; 2 9 )
28 2p2e4 9842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( 2  +  2 )  =  4
2928oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 2  +  2 )  +  1 )  =  ( 4  +  1 )
30 4p1e5 9849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 4  +  1 )  =  5
3129, 30eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 2  +  2 )  +  1 )  =  5
32 9p9e18 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 9  +  9 )  = ; 1
8
338, 9, 8, 9, 21, 21, 31, 26, 32decaddc 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  (; 2 9  + ; 2 9 )  = ; 5
8
3427, 33eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  x. ; 2 9 )  = ; 5
8
35 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |- ; 2 6  = ; 2 6
36 5p2e7 9860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 5  +  2 )  =  7
3736oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 5  +  2 )  +  1 )  =  ( 7  +  1 )
38 7p1e8 9852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 7  +  1 )  =  8
3937, 38eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 5  +  2 )  +  1 )  =  8
40 4nn0 9984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  4  e.  NN0
41 8p6e14 10183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 8  +  6 )  = ; 1
4
4225, 26, 8, 23, 34, 35, 39, 40, 41decaddc 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 2  x. ; 2 9 )  + ; 2
6 )  = ; 8 4
43 9t2e18 10219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 9  x.  2 )  = ; 1
8
44 1p1e2 9840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  +  1 )  =  2
45 8p8e16 10185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 8  +  8 )  = ; 1
6
4622, 26, 26, 43, 44, 23, 45decaddci 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 9  x.  2 )  +  8 )  = ; 2
6
47 9t9e81 10226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 9  x.  9 )  = ; 8
1
489, 8, 9, 21, 22, 26, 46, 47decmul2c 10172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 9  x. ; 2 9 )  = ;; 2 6 1
4910, 8, 9, 21, 22, 24, 42, 48decmul1c 10171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (; 2 9  x. ; 2 9 )  = ;; 8 4 1
5020, 49eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (; 2 9 ^ 2 )  = ;; 8 4 1
5118, 50breqtrri 4048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  N  < 
(; 2 9 ^ 2 )
52 ltletr 8913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  RR  /\  (; 2 9 ^ 2 )  e.  RR  /\  (
x ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( ( N  < 
(; 2 9 ^ 2 )  /\  (; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )  ->  N  <  (
x ^ 2 ) ) )
5351, 52mpani 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  RR  /\  (; 2 9 ^ 2 )  e.  RR  /\  (
x ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( (; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
5416, 17, 53mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  RR  ->  (
(; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
556, 15, 54sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  ->  N  <  ( x ^
2 ) )
56 ltnle 8902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( N  < 
( x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N ) )
5716, 6, 56sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
( N  <  (
x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N )
)
5855, 57mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  ->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N )
5958pm2.21d 98 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
( ( x ^
2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
) )
6059adantld 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
( ( x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N ) )
6160adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  2  || ; 2 9  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
62 9nn 9884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  9  e.  NN
63 3nn 9878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  NN
64 1lt9 9921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <  9
65 1lt3 9888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <  3
66 9t3e27 10220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 9  x.  3 )  = ; 2
7
6762, 63, 64, 65, 66nprmi 12773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -. ; 2 7  e.  Prime
6867pm2.21i 123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (; 2 7  e.  Prime  ->  -. ; 2 7  ||  N )
69 7nn0 9987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  7  e.  NN0
70 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 2 7  = ; 2 7
71 7p2e9 9867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 7  +  2 )  =  9
728, 69, 8, 70, 71decaddi 10168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (; 2 7  +  2 )  = ; 2 9
7361, 68, 72prmlem0 13107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  2  || ; 2 7  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 7 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
74 5nn 9880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  NN
75 1lt5 9895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  5
76 5t5e25 10200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
7774, 74, 75, 75, 76nprmi 12773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -. ; 2 5  e.  Prime
7877pm2.21i 123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (; 2 5  e.  Prime  ->  -. ; 2 5  ||  N )
79 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 2 5  = ; 2 5
808, 25, 8, 79, 36decaddi 10168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (; 2 5  +  2 )  = ; 2 7
8173, 78, 80prmlem0 13107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  2  || ; 2 5  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
82 prmlem2.23 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -. ; 2 3  ||  N
8382a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  (; 2 3  e.  Prime  ->  -. ; 2 3  ||  N )
84 3nn0 9983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN0
85 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |- ; 2 3  = ; 2 3
86 3p2e5 9855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  +  2 )  =  5
878, 84, 8, 85, 86decaddi 10168 . . . . . . . . . . . 12  |-  (; 2 3  +  2 )  = ; 2 5
8881, 83, 87prmlem0 13107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  2  || ; 2 3  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 3 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
89 7nn 9882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  7  e.  NN
90 1lt7 9906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  7
91 7t3e21 10207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
9289, 63, 90, 65, 91nprmi 12773 . . . . . . . . . . . 12  |-  -. ; 2 1  e.  Prime
9392pm2.21i 123 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 2 1  e.  Prime  ->  -. ; 2 1  ||  N )
94 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 2 1  = ; 2 1
95 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
96 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
97 2p1e3 9847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  +  1 )  =  3
9895, 96, 97addcomli 9004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  2 )  =  3
998, 22, 8, 94, 98decaddi 10168 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 2 1  +  2 )  = ; 2 3
10088, 93, 99prmlem0 13107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  2  || ; 2 1  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 1 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
101 prmlem2.19 . . . . . . . . . . 11  |-  -. ; 1 9  ||  N
102101a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (; 1 9  e.  Prime  ->  -. ; 1 9  ||  N )
103 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |- ; 1 9  = ; 1 9
104 9p2e11 10186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  +  2 )  = ; 1
1
10522, 9, 8, 103, 44, 22, 104decaddci 10169 . . . . . . . . . 10  |-  (; 1 9  +  2 )  = ; 2 1
106100, 102, 105prmlem0 13107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  2  || ; 1 9  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 9 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
107 prmlem2.17 . . . . . . . . . 10  |-  -. ; 1 7  ||  N
108107a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (; 1 7  e.  Prime  ->  -. ; 1 7  ||  N )
109 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 7  = ; 1 7
11022, 69, 8, 109, 71decaddi 10168 . . . . . . . . 9  |-  (; 1 7  +  2 )  = ; 1 9
111106, 108, 110prmlem0 13107 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  2  || ; 1 7  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 7 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
112 5t3e15 10198 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
11374, 63, 75, 65, 112nprmi 12773 . . . . . . . . 9  |-  -. ; 1 5  e.  Prime
114113pm2.21i 123 . . . . . . . 8  |-  (; 1 5  e.  Prime  ->  -. ; 1 5  ||  N )
115 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |- ; 1 5  = ; 1 5
11622, 25, 8, 115, 36decaddi 10168 . . . . . . . 8  |-  (; 1 5  +  2 )  = ; 1 7
117111, 114, 116prmlem0 13107 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  2  || ; 1 5  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
118 prmlem2.13 . . . . . . . 8  |-  -. ; 1 3  ||  N
119118a1i 10 . . . . . . 7  |-  (; 1 3  e.  Prime  ->  -. ; 1 3  ||  N )
120 eqid 2283 . . . . . . . 8  |- ; 1 3  = ; 1 3
12122, 84, 8, 120, 86decaddi 10168 . . . . . . 7  |-  (; 1 3  +  2 )  = ; 1 5
122117, 119, 121prmlem0 13107 . . . . . 6  |-  ( ( -.  2  || ; 1 3  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 3 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
123 prmlem2.11 . . . . . . 7  |-  -. ; 1 1  ||  N
124123a1i 10 . . . . . 6  |-  (; 1 1  e.  Prime  ->  -. ; 1 1  ||  N )
125 eqid 2283 . . . . . . 7  |- ; 1 1  = ; 1 1
12622, 22, 8, 125, 98decaddi 10168 . . . . . 6  |-  (; 1 1  +  2 )  = ; 1 3
127122, 124, 126prmlem0 13107 . . . . 5  |-  ( ( -.  2  || ; 1 1  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
128 9nprm 13114 . . . . . 6  |-  -.  9  e.  Prime
129128pm2.21i 123 . . . . 5  |-  ( 9  e.  Prime  ->  -.  9  ||  N )
130127, 129, 104prmlem0 13107 . . . 4  |-  ( ( -.  2  ||  9  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  9 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
131 prmlem2.7 . . . . 5  |-  -.  7  ||  N
132131a1i 10 . . . 4  |-  ( 7  e.  Prime  ->  -.  7  ||  N )
133130, 132, 71prmlem0 13107 . . 3  |-  ( ( -.  2  ||  7  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  7 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
134 prmlem2.5 . . . 4  |-  -.  5  ||  N
135134a1i 10 . . 3  |-  ( 5  e.  Prime  ->  -.  5  ||  N )
136133, 135, 36prmlem0 13107 . 2  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
1371, 2, 3, 4, 136prmlem1a 13108 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684    \ cdif 3149   {csn 3640   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   7c7 9800   8c8 9801   9c9 9802  ;cdc 10124   ZZ>=cuz 10230   ^cexp 11104    || cdivides 12531   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  37prm  13122  43prm  13123  83prm  13124  139prm  13125  163prm  13126  317prm  13127  631prm  13128
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-dvds 12532  df-prm 12759
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