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Theorem prmlem2 13447
Description: Our last proving session got as far as 25 because we started with the two "bootstrap" primes 2 and 3, and the next prime is 5, so knowing that 2 and 3 are prime and 4 is not allows us to cover the numbers less than  5 ^ 2  =  2 5. Additionally, nonprimes are "easy", so we can extend this range of known prime/nonprimes all the way until 29, which is the first prime larger than 25. Thus, in this lemma we extend another blanket out to  2 9 ^ 2  =  8 4 1, from which we can prove even more primes. If we wanted, we could keep doing this, but the goal is Bertrand's postulate, and for that we only need a few large primes - we don't need to find them all, as we have been doing thus far. So after this blanket runs out, we'll have to switch to another method (see 1259prm 13460).

As a side note, you can see the pattern of the primes in the indentation pattern of this lemma! (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
prmlem2.n  |-  N  e.  NN
prmlem2.lt  |-  N  < ;; 8 4 1
prmlem2.gt  |-  1  <  N
prmlem2.2  |-  -.  2  ||  N
prmlem2.3  |-  -.  3  ||  N
prmlem2.5  |-  -.  5  ||  N
prmlem2.7  |-  -.  7  ||  N
prmlem2.11  |-  -. ; 1 1  ||  N
prmlem2.13  |-  -. ; 1 3  ||  N
prmlem2.17  |-  -. ; 1 7  ||  N
prmlem2.19  |-  -. ; 1 9  ||  N
prmlem2.23  |-  -. ; 2 3  ||  N
Assertion
Ref Expression
prmlem2  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem prmlem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem2.n . 2  |-  N  e.  NN
2 prmlem2.gt . 2  |-  1  <  N
3 prmlem2.2 . 2  |-  -.  2  ||  N
4 prmlem2.3 . 2  |-  -.  3  ||  N
5 eluzelre 10502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  ->  x  e.  RR )
65resqcld 11554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
( x ^ 2 )  e.  RR )
7 eluzle 10503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> ; 2 9  <_  x )
8 2nn0 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  NN0
9 9nn0 10250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  9  e.  NN0
108, 9deccl 10401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |- ; 2 9  e.  NN0
1110nn0rei 10237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |- ; 2 9  e.  RR
1210nn0ge0i 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_ ; 2
9
13 le2sq2 11462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (; 2 9  e.  RR  /\  0  <_ ; 2 9 )  /\  ( x  e.  RR  /\ ; 2
9  <_  x )
)  ->  (; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
1411, 12, 13mpanl12 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\ ; 2 9  <_  x )  -> 
(; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
155, 7, 14syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
(; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
161nnrei 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  N  e.  RR
1711resqcli 11472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (; 2 9 ^ 2 )  e.  RR
18 prmlem2.lt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  N  < ;; 8 4 1
1910nn0cni 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- ; 2 9  e.  CC
2019sqvali 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (; 2 9 ^ 2 )  =  (; 2 9  x. ; 2 9 )
21 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- ; 2 9  = ; 2 9
22 1nn0 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  NN0
23 6nn0 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  6  e.  NN0
248, 23deccl 10401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- ; 2 6  e.  NN0
25 5nn0 10246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  5  e.  NN0
26 8nn0 10249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  8  e.  NN0
27192timesi 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 2  x. ; 2 9 )  =  (; 2 9  + ; 2 9 )
28 2p2e4 10103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( 2  +  2 )  =  4
2928oveq1i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 2  +  2 )  +  1 )  =  ( 4  +  1 )
30 4p1e5 10110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 4  +  1 )  =  5
3129, 30eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 2  +  2 )  +  1 )  =  5
32 9p9e18 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 9  +  9 )  = ; 1
8
338, 9, 8, 9, 21, 21, 31, 26, 32decaddc 10429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  (; 2 9  + ; 2 9 )  = ; 5
8
3427, 33eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  x. ; 2 9 )  = ; 5
8
35 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |- ; 2 6  = ; 2 6
36 5p2e7 10121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 5  +  2 )  =  7
3736oveq1i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 5  +  2 )  +  1 )  =  ( 7  +  1 )
38 7p1e8 10113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 7  +  1 )  =  8
3937, 38eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 5  +  2 )  +  1 )  =  8
40 4nn0 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  4  e.  NN0
41 8p6e14 10446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 8  +  6 )  = ; 1
4
4225, 26, 8, 23, 34, 35, 39, 40, 41decaddc 10429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 2  x. ; 2 9 )  + ; 2
6 )  = ; 8 4
43 9t2e18 10482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 9  x.  2 )  = ; 1
8
44 1p1e2 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  +  1 )  =  2
45 8p8e16 10448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 8  +  8 )  = ; 1
6
4622, 26, 26, 43, 44, 23, 45decaddci 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 9  x.  2 )  +  8 )  = ; 2
6
47 9t9e81 10489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 9  x.  9 )  = ; 8
1
489, 8, 9, 21, 22, 26, 46, 47decmul2c 10435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 9  x. ; 2 9 )  = ;; 2 6 1
4910, 8, 9, 21, 22, 24, 42, 48decmul1c 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (; 2 9  x. ; 2 9 )  = ;; 8 4 1
5020, 49eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (; 2 9 ^ 2 )  = ;; 8 4 1
5118, 50breqtrri 4240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  N  < 
(; 2 9 ^ 2 )
52 ltletr 9171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  RR  /\  (; 2 9 ^ 2 )  e.  RR  /\  (
x ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( ( N  < 
(; 2 9 ^ 2 )  /\  (; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )  ->  N  <  (
x ^ 2 ) ) )
5351, 52mpani 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  RR  /\  (; 2 9 ^ 2 )  e.  RR  /\  (
x ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( (; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
5416, 17, 53mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  RR  ->  (
(; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
556, 15, 54sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  ->  N  <  ( x ^
2 ) )
56 ltnle 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( N  < 
( x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N ) )
5716, 6, 56sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
( N  <  (
x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N )
)
5855, 57mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  ->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N )
5958pm2.21d 101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
( ( x ^
2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
) )
6059adantld 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
( ( x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N ) )
6160adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  2  || ; 2 9  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
62 9nn 10145 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  9  e.  NN
63 3nn 10139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  NN
64 1lt9 10182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <  9
65 1lt3 10149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <  3
66 9t3e27 10483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 9  x.  3 )  = ; 2
7
6762, 63, 64, 65, 66nprmi 13099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -. ; 2 7  e.  Prime
6867pm2.21i 126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (; 2 7  e.  Prime  ->  -. ; 2 7  ||  N )
69 7nn0 10248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  7  e.  NN0
70 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 2 7  = ; 2 7
71 7p2e9 10128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 7  +  2 )  =  9
728, 69, 8, 70, 71decaddi 10431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (; 2 7  +  2 )  = ; 2 9
7361, 68, 72prmlem0 13433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  2  || ; 2 7  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 7 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
74 5nn 10141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  NN
75 1lt5 10156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  5
76 5t5e25 10463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
7774, 74, 75, 75, 76nprmi 13099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -. ; 2 5  e.  Prime
7877pm2.21i 126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (; 2 5  e.  Prime  ->  -. ; 2 5  ||  N )
79 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 2 5  = ; 2 5
808, 25, 8, 79, 36decaddi 10431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (; 2 5  +  2 )  = ; 2 7
8173, 78, 80prmlem0 13433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  2  || ; 2 5  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
82 prmlem2.23 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -. ; 2 3  ||  N
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (; 2 3  e.  Prime  ->  -. ; 2 3  ||  N )
84 3nn0 10244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN0
85 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |- ; 2 3  = ; 2 3
86 3p2e5 10116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  +  2 )  =  5
878, 84, 8, 85, 86decaddi 10431 . . . . . . . . . . . 12  |-  (; 2 3  +  2 )  = ; 2 5
8881, 83, 87prmlem0 13433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  2  || ; 2 3  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 3 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
89 7nn 10143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  7  e.  NN
90 1lt7 10167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  7
91 7t3e21 10470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
9289, 63, 90, 65, 91nprmi 13099 . . . . . . . . . . . 12  |-  -. ; 2 1  e.  Prime
9392pm2.21i 126 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 2 1  e.  Prime  ->  -. ; 2 1  ||  N )
94 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 2 1  = ; 2 1
95 2cn 10075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
96 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
97 2p1e3 10108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  +  1 )  =  3
9895, 96, 97addcomli 9263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  2 )  =  3
998, 22, 8, 94, 98decaddi 10431 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 2 1  +  2 )  = ; 2 3
10088, 93, 99prmlem0 13433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  2  || ; 2 1  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 1 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
101 prmlem2.19 . . . . . . . . . . 11  |-  -. ; 1 9  ||  N
102101a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (; 1 9  e.  Prime  ->  -. ; 1 9  ||  N )
103 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |- ; 1 9  = ; 1 9
104 9p2e11 10449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  +  2 )  = ; 1
1
10522, 9, 8, 103, 44, 22, 104decaddci 10432 . . . . . . . . . 10  |-  (; 1 9  +  2 )  = ; 2 1
106100, 102, 105prmlem0 13433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  2  || ; 1 9  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 9 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
107 prmlem2.17 . . . . . . . . . 10  |-  -. ; 1 7  ||  N
108107a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  (; 1 7  e.  Prime  ->  -. ; 1 7  ||  N )
109 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 7  = ; 1 7
11022, 69, 8, 109, 71decaddi 10431 . . . . . . . . 9  |-  (; 1 7  +  2 )  = ; 1 9
111106, 108, 110prmlem0 13433 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  2  || ; 1 7  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 7 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
112 5t3e15 10461 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
11374, 63, 75, 65, 112nprmi 13099 . . . . . . . . 9  |-  -. ; 1 5  e.  Prime
114113pm2.21i 126 . . . . . . . 8  |-  (; 1 5  e.  Prime  ->  -. ; 1 5  ||  N )
115 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |- ; 1 5  = ; 1 5
11622, 25, 8, 115, 36decaddi 10431 . . . . . . . 8  |-  (; 1 5  +  2 )  = ; 1 7
117111, 114, 116prmlem0 13433 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  2  || ; 1 5  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
118 prmlem2.13 . . . . . . . 8  |-  -. ; 1 3  ||  N
119118a1i 11 . . . . . . 7  |-  (; 1 3  e.  Prime  ->  -. ; 1 3  ||  N )
120 eqid 2438 . . . . . . . 8  |- ; 1 3  = ; 1 3
12122, 84, 8, 120, 86decaddi 10431 . . . . . . 7  |-  (; 1 3  +  2 )  = ; 1 5
122117, 119, 121prmlem0 13433 . . . . . 6  |-  ( ( -.  2  || ; 1 3  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 3 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
123 prmlem2.11 . . . . . . 7  |-  -. ; 1 1  ||  N
124123a1i 11 . . . . . 6  |-  (; 1 1  e.  Prime  ->  -. ; 1 1  ||  N )
125 eqid 2438 . . . . . . 7  |- ; 1 1  = ; 1 1
12622, 22, 8, 125, 98decaddi 10431 . . . . . 6  |-  (; 1 1  +  2 )  = ; 1 3
127122, 124, 126prmlem0 13433 . . . . 5  |-  ( ( -.  2  || ; 1 1  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
128 9nprm 13440 . . . . . 6  |-  -.  9  e.  Prime
129128pm2.21i 126 . . . . 5  |-  ( 9  e.  Prime  ->  -.  9  ||  N )
130127, 129, 104prmlem0 13433 . . . 4  |-  ( ( -.  2  ||  9  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  9 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
131 prmlem2.7 . . . . 5  |-  -.  7  ||  N
132131a1i 11 . . . 4  |-  ( 7  e.  Prime  ->  -.  7  ||  N )
133130, 132, 71prmlem0 13433 . . 3  |-  ( ( -.  2  ||  7  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  7 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
134 prmlem2.5 . . . 4  |-  -.  5  ||  N
135134a1i 11 . . 3  |-  ( 5  e.  Prime  ->  -.  5  ||  N )
136133, 135, 36prmlem0 13433 . 2  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
1371, 2, 3, 4, 136prmlem1a 13434 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726    \ cdif 3319   {csn 3816   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    < clt 9125    <_ cle 9126   NNcn 10005   2c2 10054   3c3 10055   4c4 10056   5c5 10057   6c6 10058   7c7 10059   8c8 10060   9c9 10061  ;cdc 10387   ZZ>=cuz 10493   ^cexp 11387    || cdivides 12857   Primecprime 13084
This theorem is referenced by:  37prm  13448  43prm  13449  83prm  13450  139prm  13451  163prm  13452  317prm  13453  631prm  13454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-seq 11329  df-exp 11388  df-dvds 12858  df-prm 13085
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