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Theorem prmpwdvds 13235
Description: A relation involving divisibility by a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmpwdvds  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  NN )  /\  ( D  ||  ( K  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( K  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D )

Proof of Theorem prmpwdvds
Dummy variables  k  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  NN ) )  ->  K  e.  ZZ )
2 oveq2 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  ( P ^ x )  =  ( P ^ 1 ) )
32oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
k  x.  ( P ^ x ) )  =  ( k  x.  ( P ^ 1 ) ) )
43breq2d 4192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x
) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ 1 ) ) ) )
5 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  (
x  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
65oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1  ->  ( P ^ ( x  - 
1 ) )  =  ( P ^ (
1  -  1 ) ) )
76oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (
k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( P ^ (
1  -  1 ) ) ) )
87breq2d 4192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
x  -  1 ) ) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( 1  -  1 ) ) ) ) )
98notbid 286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  ( -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^
( x  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( 1  -  1 ) ) ) ) )
104, 9anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( 1  -  1 ) ) ) ) ) )
112breq1d 4190 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
( P ^ x
)  ||  D  <->  ( P ^ 1 )  ||  D ) )
1210, 11imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ x )  ||  D )  <->  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
1  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ 1 )  ||  D ) ) )
1312ralbidv 2694 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ x )  ||  D )  <->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
1  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ 1 )  ||  D ) ) )
1413imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( D  e.  ZZ  /\  P  e. 
Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ x
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
x  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ x
)  ||  D )
)  <->  ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
1  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ 1 )  ||  D ) ) ) )
15 oveq2 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  n  ->  ( P ^ x )  =  ( P ^ n
) )
1615oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  (
k  x.  ( P ^ x ) )  =  ( k  x.  ( P ^ n
) ) )
1716breq2d 4192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x
) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ n ) ) ) )
18 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  n  ->  (
x  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
1918oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  n  ->  ( P ^ ( x  - 
1 ) )  =  ( P ^ (
n  -  1 ) ) )
2019oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  n  ->  (
k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )
2120breq2d 4192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
x  -  1 ) ) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
2221notbid 286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  ( -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^
( x  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
2317, 22anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) ) )
2415breq1d 4190 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
( P ^ x
)  ||  D  <->  ( P ^ n )  ||  D ) )
2523, 24imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ x )  ||  D )  <->  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )
) )
2625ralbidv 2694 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ x )  ||  D )  <->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )
) )
2726imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( D  e.  ZZ  /\  P  e. 
Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ x
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
x  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ x
)  ||  D )
)  <->  ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )
) ) )
28 oveq2 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( P ^ x )  =  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )
2928oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  x.  ( P ^ x ) )  =  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) ) )
3029breq2d 4192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x
) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
31 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
3231oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( P ^ ( x  - 
1 ) )  =  ( P ^ (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )
3332oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( P ^ (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )
3433breq2d 4192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
x  -  1 ) ) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
3534notbid 286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^
( x  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
3630, 35anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) ) )
3728breq1d 4190 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( P ^ x
)  ||  D  <->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) )
3836, 37imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ x )  ||  D )  <->  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  D ) ) )
3938ralbidv 2694 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ x )  ||  D )  <->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  D ) ) )
4039imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( D  e.  ZZ  /\  P  e. 
Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ x
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
x  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ x
)  ||  D )
)  <->  ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  D ) ) ) )
41 oveq2 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  N  ->  ( P ^ x )  =  ( P ^ N
) )
4241oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  (
k  x.  ( P ^ x ) )  =  ( k  x.  ( P ^ N
) ) )
4342breq2d 4192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x
) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ N ) ) ) )
44 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  N  ->  (
x  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
4544oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  N  ->  ( P ^ ( x  - 
1 ) )  =  ( P ^ ( N  -  1 ) ) )
4645oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  N  ->  (
k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( P ^ ( N  -  1 ) ) ) )
4746breq2d 4192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
x  -  1 ) ) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
4847notbid 286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  ( -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^
( x  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
4943, 48anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) ) )
5041breq1d 4190 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
( P ^ x
)  ||  D  <->  ( P ^ N )  ||  D
) )
5149, 50imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ x )  ||  D )  <->  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ N
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ N
)  ||  D )
) )
5251ralbidv 2694 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ x )  ||  D )  <->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ N
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ N
)  ||  D )
) )
5352imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( D  e.  ZZ  /\  P  e. 
Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ x
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
x  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ x
)  ||  D )
)  <->  ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ N
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ N
)  ||  D )
) ) )
54 breq1 4183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  D  ->  (
x  ||  ( k  x.  P )  <->  D  ||  (
k  x.  P ) ) )
55 breq1 4183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  D  ->  (
x  ||  k  <->  D  ||  k
) )
5655notbid 286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  D  ->  ( -.  x  ||  k  <->  -.  D  ||  k ) )
5754, 56anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  D  ->  (
( x  ||  (
k  x.  P )  /\  -.  x  ||  k )  <->  ( D  ||  ( k  x.  P
)  /\  -.  D  ||  k ) ) )
58 breq2 4184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  D  ->  ( P  ||  x  <->  P  ||  D
) )
5957, 58imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  D  ->  (
( ( x  ||  ( k  x.  P
)  /\  -.  x  ||  k )  ->  P  ||  x )  <->  ( ( D  ||  ( k  x.  P )  /\  -.  D  ||  k )  ->  P  ||  D ) ) )
6059imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  D  ->  (
( ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( x 
||  ( k  x.  P )  /\  -.  x  ||  k )  ->  P  ||  x ) )  <-> 
( ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( k  x.  P )  /\  -.  D  ||  k )  ->  P  ||  D ) ) ) )
61 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  x  ||  ( k  x.  P
) )  ->  P  e.  Prime )
62 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  x  ||  ( k  x.  P
) )  ->  x  e.  ZZ )
63 coprm 13063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  x  <->  ( P  gcd  x )  =  1 ) )
6461, 62, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  x  ||  ( k  x.  P
) )  ->  ( -.  P  ||  x  <->  ( P  gcd  x )  =  1 ) )
65 zcn 10251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
6665ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  CC )
67 prmz 13046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
6867ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  ZZ )
6968zcnd 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  CC )
7066, 69mulcomd 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( k  x.  P )  =  ( P  x.  k ) )
7170breq2d 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( x  ||  ( k  x.  P
)  <->  x  ||  ( P  x.  k ) ) )
72 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  ZZ )
73 gcdcom 12983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  x
)  =  ( x  gcd  P ) )
7468, 72, 73syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P  gcd  x )  =  ( x  gcd  P ) )
7574eqeq1d 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( ( P  gcd  x )  =  1  <->  ( x  gcd  P )  =  1 ) )
7671, 75anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  ||  ( k  x.  P )  /\  ( P  gcd  x )  =  1 )  <->  ( x  ||  ( P  x.  k
)  /\  ( x  gcd  P )  =  1 ) ) )
77 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  ZZ )
78 coprmdvds 13065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( x  ||  ( P  x.  k )  /\  ( x  gcd  P
)  =  1 )  ->  x  ||  k
) )
7972, 68, 77, 78syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  ||  ( P  x.  k )  /\  (
x  gcd  P )  =  1 )  ->  x  ||  k ) )
8076, 79sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  ||  ( k  x.  P )  /\  ( P  gcd  x )  =  1 )  ->  x  ||  k ) )
8180expdimp 427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  x  ||  ( k  x.  P
) )  ->  (
( P  gcd  x
)  =  1  ->  x  ||  k ) )
8264, 81sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  x  ||  ( k  x.  P
) )  ->  ( -.  P  ||  x  ->  x  ||  k ) )
8382con1d 118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  x  ||  ( k  x.  P
) )  ->  ( -.  x  ||  k  ->  P  ||  x ) )
8483expimpd 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  ||  ( k  x.  P )  /\  -.  x  ||  k )  ->  P  ||  x ) )
8584ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( x 
||  ( k  x.  P )  /\  -.  x  ||  k )  ->  P  ||  x ) ) )
8660, 85vtoclga 2985 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( k  x.  P )  /\  -.  D  ||  k )  ->  P  ||  D ) ) )
8786impl 604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( k  x.  P )  /\  -.  D  ||  k )  ->  P  ||  D ) )
8867zcnd 10340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  CC )
8988exp1d 11481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P ^ 1 )  =  P )
9089ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P ^
1 )  =  P )
9190oveq2d 6064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  =  ( k  x.  P ) )
9291breq2d 4192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  <-> 
D  ||  ( k  x.  P ) ) )
93 1m1e0 10032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  -  1 )  =  0
9493oveq2i 6059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P ^ ( 1  -  1 ) )  =  ( P ^ 0 )
9567ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  P  e.  ZZ )
9695zcnd 10340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  P  e.  CC )
9796exp0d 11480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P ^
0 )  =  1 )
9894, 97syl5eq 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P ^
( 1  -  1 ) )  =  1 )
9998oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  ( P ^ (
1  -  1 ) ) )  =  ( k  x.  1 ) )
10065adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
101100mulid1d 9069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  1 )  =  k )
10299, 101eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  ( P ^ (
1  -  1 ) ) )  =  k )
103102breq2d 4192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( 1  -  1 ) ) )  <-> 
D  ||  k )
)
104103notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( 1  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  k ) )
10592, 104anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
1  -  1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( k  x.  P
)  /\  -.  D  ||  k ) ) )
10696exp1d 11481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P ^
1 )  =  P )
107106breq1d 4190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( P ^ 1 )  ||  D 
<->  P  ||  D ) )
10887, 105, 1073imtr4d 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
1  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ 1 )  ||  D ) )
109108ralrimiva 2757 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( 1  -  1 ) ) ) )  ->  ( P ^ 1 )  ||  D ) )
110 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  (
k  x.  ( P ^ n ) )  =  ( x  x.  ( P ^ n
) ) )
111110breq2d 4192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  <->  D  ||  (
x  x.  ( P ^ n ) ) ) )
112 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  x  ->  (
k  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( x  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )
113112breq2d 4192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) )  <->  D  ||  (
x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
114113notbid 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  ( -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^
( n  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
115111, 114anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) ) )
116115imbi1d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  (
( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  <->  ( ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )
) )
117116cbvralv 2900 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ZZ  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  <->  A. x  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( x  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )
)
118 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  ZZ )
11967ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  ZZ )
120118, 119zmulcld 10345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
k  x.  P )  e.  ZZ )
121 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( k  x.  P )  ->  (
x  x.  ( P ^ n ) )  =  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n
) ) )
122121breq2d 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( k  x.  P )  ->  ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ n
) )  <->  D  ||  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ n ) ) ) )
123 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( k  x.  P )  ->  (
x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )
124123breq2d 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( k  x.  P )  ->  ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) )  <->  D  ||  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
125124notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( k  x.  P )  ->  ( -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^
( n  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
126122, 125anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( k  x.  P )  ->  (
( D  ||  (
x  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) ) )
127126imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  x.  P )  ->  (
( ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  <->  ( ( D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )
) )
128127rspcv 3016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  x.  P )  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  ->  (
( D  ||  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D ) ) )
129120, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  ->  (
( D  ||  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D ) ) )
130 nnnn0 10192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
131130ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  NN0 )
132 zexpcl 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( P ^ n
)  e.  ZZ )
133119, 131, 132syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ n )  e.  ZZ )
134 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  D  e.  ZZ )
135 divides 12817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P ^ n
)  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( ( P ^
n )  ||  D  <->  E. x  e.  ZZ  (
x  x.  ( P ^ n ) )  =  D ) )
136133, 134, 135syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( P ^ n
)  ||  D  <->  E. x  e.  ZZ  ( x  x.  ( P ^ n
) )  =  D ) )
13784adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( x  ||  (
k  x.  P )  /\  -.  x  ||  k )  ->  P  ||  x ) )
138 prmnn 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
139138ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  NN )
140139nncnd 9980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  CC )
141130ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  NN0 )
142140, 141expp1d 11487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  =  ( ( P ^
n )  x.  P
) )
143139, 141nnexpcld 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ n )  e.  NN )
144143nncnd 9980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ n )  e.  CC )
145144, 140mulcomd 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( P ^ n
)  x.  P )  =  ( P  x.  ( P ^ n ) ) )
146142, 145eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  =  ( P  x.  ( P ^ n ) ) )
147146oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( P  x.  ( P ^ n ) ) ) )
14865ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  CC )
149148, 140, 144mulassd 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ n ) )  =  ( k  x.  ( P  x.  ( P ^ n ) ) ) )
150147, 149eqtr4d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n
) ) )
151150breq2d 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  <->  ( x  x.  ( P ^ n
) )  ||  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ n ) ) ) )
152 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  ZZ )
153 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  ZZ )
154139nnzd 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  ZZ )
155153, 154zmulcld 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
k  x.  P )  e.  ZZ )
156143nnzd 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ n )  e.  ZZ )
157143nnne0d 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ n )  =/=  0 )
158 dvdsmulcr 12842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( k  x.  P
)  e.  ZZ  /\  ( ( P ^
n )  e.  ZZ  /\  ( P ^ n
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n
) )  <->  x  ||  (
k  x.  P ) ) )
159152, 155, 156, 157, 158syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n
) )  <->  x  ||  (
k  x.  P ) ) )
160151, 159bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  <->  x  ||  (
k  x.  P ) ) )
161 dvdsmulcr 12842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  (
( P ^ n
)  e.  ZZ  /\  ( P ^ n )  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( P ^
n ) )  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) )  <-> 
x  ||  k )
)
162152, 153, 156, 157, 161syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  <->  x  ||  k
) )
163162notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( -.  ( x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  <->  -.  x  ||  k ) )
164160, 163anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( ( x  x.  ( P ^ n
) )  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  ( x  x.  ( P ^
n ) )  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  <->  ( x  ||  ( k  x.  P
)  /\  -.  x  ||  k ) ) )
165146breq1d 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  ( x  x.  ( P ^
n ) )  <->  ( P  x.  ( P ^ n
) )  ||  (
x  x.  ( P ^ n ) ) ) )
166 dvdsmulcr 12842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  (
( P ^ n
)  e.  ZZ  /\  ( P ^ n )  =/=  0 ) )  ->  ( ( P  x.  ( P ^
n ) )  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) )  <-> 
P  ||  x )
)
167154, 152, 156, 157, 166syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( P  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( x  x.  ( P ^ n
) )  <->  P  ||  x
) )
168165, 167bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  ( x  x.  ( P ^
n ) )  <->  P  ||  x
) )
169137, 164, 1683imtr4d 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( ( x  x.  ( P ^ n
) )  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  ( x  x.  ( P ^
n ) )  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) ) ) )
170169an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( ( x  x.  ( P ^ n
) )  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  ( x  x.  ( P ^
n ) )  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) ) ) )
171 breq1 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  (
( x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
172 breq1 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  (
( x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ n ) ) ) )
173172notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  ( -.  ( x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  <->  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) ) )
174171, 173anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  (
( ( x  x.  ( P ^ n
) )  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  ( x  x.  ( P ^
n ) )  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  <->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) ) ) )
175 breq2 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  (
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  ( x  x.  ( P ^
n ) )  <->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) )
176174, 175imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  (
( ( ( x  x.  ( P ^
n ) )  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  ( x  x.  ( P ^
n ) )  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) ) )  <->  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n
) ) )  -> 
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  D ) ) )
177170, 176syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
178177rexlimdva 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  (
x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
179178adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
180136, 179sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( P ^ n
)  ||  D  ->  ( ( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
181180com23 74 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( ( P ^ n )  ||  D  ->  ( P ^
( n  +  1 ) )  ||  D
) ) )
182181a2d 24 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
18365ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  CC )
184119zcnd 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  CC )
185133zcnd 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ n )  e.  CC )
186183, 184, 185mulassd 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ n ) )  =  ( k  x.  ( P  x.  ( P ^ n ) ) ) )
187184, 185mulcomd 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  ( P ^ n ) )  =  ( ( P ^ n )  x.  P ) )
188184, 131expp1d 11487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  =  ( ( P ^
n )  x.  P
) )
189187, 188eqtr4d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  ( P ^ n ) )  =  ( P ^
( n  +  1 ) ) )
190189oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
k  x.  ( P  x.  ( P ^
n ) ) )  =  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) ) )
191186, 190eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ n ) )  =  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) ) )
192191breq2d 4192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n
) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
193 nnm1nn0 10225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
194193ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
195 zexpcl 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( n  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( P ^ (
n  -  1 ) )  e.  ZZ )
196119, 194, 195syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ ( n  - 
1 ) )  e.  ZZ )
197196zcnd 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
198183, 184, 197mulassd 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( P  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
199184, 197mulcomd 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( ( P ^ ( n  - 
1 ) )  x.  P ) )
200 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  NN )
201 expm1t 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  ( P ^ n
)  =  ( ( P ^ ( n  -  1 ) )  x.  P ) )
202184, 200, 201syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ n )  =  ( ( P ^
( n  -  1 ) )  x.  P
) )
203199, 202eqtr4d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( P ^
n ) )
204203oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
k  x.  ( P  x.  ( P ^
( n  -  1 ) ) ) )  =  ( k  x.  ( P ^ n
) ) )
205198, 204eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( P ^ n
) ) )
206205breq2d 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ n ) ) ) )
207206notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^
( n  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) ) )
208192, 207anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( D  ||  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) ) ) )
209208imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( ( D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  <->  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n
) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )
) )
210 nncn 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
211210ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  CC )
212 ax-1cn 9012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
213 pncan 9275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
214211, 212, 213sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( n  +  1 )  -  1 )  =  n )
215214oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( P ^ n
) )
216215oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( P ^ n
) ) )
217216breq2d 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ n ) ) ) )
218217notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^
( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) ) )
219218anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) ) ) )
220219imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D )  <->  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n
) ) )  -> 
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  D ) ) )
221182, 209, 2203imtr4d 260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( ( D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
222129, 221syld 42 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
223222anassrs 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
224223ralrimdva 2764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( x  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
225117, 224syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
226225expl 602 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) ) )
227226a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( D  e.  ZZ  /\  P  e. 
Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )
)  ->  ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  D ) ) ) )
22814, 27, 40, 53, 109, 227nnind 9982 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D
) ) )
229228com12 29 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  e.  NN  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D
) ) )
230229impr 603 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN ) )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ N
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ N
)  ||  D )
)
231230adantll 695 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  NN ) )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ N
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ N
)  ||  D )
)
232 oveq1 6055 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
k  x.  ( P ^ N ) )  =  ( K  x.  ( P ^ N ) ) )
233232breq2d 4192 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ N
) )  <->  D  ||  ( K  x.  ( P ^ N ) ) ) )
234 oveq1 6055 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( K  x.  ( P ^ ( N  -  1 ) ) ) )
235234breq2d 4192 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  -  1 ) ) )  <->  D  ||  ( K  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
236235notbid 286 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^
( N  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( K  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
237233, 236anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( K  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( K  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) ) )
238237imbi1d 309 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D
)  <->  ( ( D 
||  ( K  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( K  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D
) ) )
239238rspcv 3016 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D
)  ->  ( ( D  ||  ( K  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( K  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D
) ) )
2401, 231, 239sylc 58 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  NN ) )  ->  (
( D  ||  ( K  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( K  x.  ( P ^
( N  -  1 ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D
) )
2412403impia 1150 1  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  NN )  /\  ( D  ||  ( K  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( K  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   class class class wbr 4180  (class class class)co 6048   CCcc 8952   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    - cmin 9255   NNcn 9964   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ^cexp 11345    || cdivides 12815    gcd cgcd 12969   Primecprime 13042
This theorem is referenced by:  pockthlem  13236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-dvds 12816  df-gcd 12970  df-prm 13043
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