Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmreclem1 Unicode version

Theorem prmreclem1 12963
 Description: Lemma for prmrec 12969. Properties of the "square part" function, which extracts the of the decomposition , with maximal and squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmreclem1.1
Assertion
Ref Expression
prmreclem1
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem prmreclem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3258 . . 3
2 breq2 4027 . . . . . . 7
32rabbidv 2780 . . . . . 6
43supeq1d 7199 . . . . 5
5 prmreclem1.1 . . . . 5
6 ltso 8903 . . . . . 6
76supex 7214 . . . . 5
84, 5, 7fvmpt 5602 . . . 4
9 nnssz 10043 . . . . . . 7
101, 9sstri 3188 . . . . . 6
1110a1i 10 . . . . 5
12 1nn 9757 . . . . . . . 8
1312a1i 10 . . . . . . 7
14 nnz 10045 . . . . . . . 8
15 1dvds 12543 . . . . . . . 8
1614, 15syl 15 . . . . . . 7
17 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10
18 sq1 11198 . . . . . . . . . 10
1917, 18syl6eq 2331 . . . . . . . . 9
2019breq1d 4033 . . . . . . . 8
2120elrab 2923 . . . . . . 7
2213, 16, 21sylanbrc 645 . . . . . 6
23 ne0i 3461 . . . . . 6
2422, 23syl 15 . . . . 5
25 nnz 10045 . . . . . . . . . . 11
26 zsqcl 11174 . . . . . . . . . . 11
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . 10
28 id 19 . . . . . . . . . 10
29 dvdsle 12574 . . . . . . . . . 10
3027, 28, 29syl2anr 464 . . . . . . . . 9
31 nnlesq 11206 . . . . . . . . . . 11
3231adantl 452 . . . . . . . . . 10
33 nnre 9753 . . . . . . . . . . . 12
3433adantl 452 . . . . . . . . . . 11
3534resqcld 11271 . . . . . . . . . . 11
36 nnre 9753 . . . . . . . . . . . 12
3736adantr 451 . . . . . . . . . . 11
38 letr 8914 . . . . . . . . . . 11
3934, 35, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
4032, 39mpand 656 . . . . . . . . 9
4130, 40syld 40 . . . . . . . 8
4241ralrimiva 2626 . . . . . . 7
43 oveq1 5865 . . . . . . . . 9
4443breq1d 4033 . . . . . . . 8
4544ralrab 2927 . . . . . . 7
4642, 45sylibr 203 . . . . . 6
47 breq2 4027 . . . . . . . 8
4847ralbidv 2563 . . . . . . 7
4948rspcev 2884 . . . . . 6
5014, 46, 49syl2anc 642 . . . . 5
51 suprzcl2 10308 . . . . 5
5211, 24, 50, 51syl3anc 1182 . . . 4
538, 52eqeltrd 2357 . . 3
541, 53sseldi 3178 . 2
55 oveq1 5865 . . . . . 6
5655breq1d 4033 . . . . 5
5744cbvrabv 2787 . . . . 5
5856, 57elrab2 2925 . . . 4
5953, 58sylib 188 . . 3
6059simprd 449 . 2
6154adantr 451 . . . . . . . 8
6261nncnd 9762 . . . . . . 7
6362mulid1d 8852 . . . . . 6
64 eluz2b2 10290 . . . . . . . . 9
6564simprbi 450 . . . . . . . 8
6665adantl 452 . . . . . . 7
67 1re 8837 . . . . . . . . 9
6867a1i 10 . . . . . . . 8
6964simplbi 446 . . . . . . . . . 10
7069adantl 452 . . . . . . . . 9
7170nnred 9761 . . . . . . . 8
7261nnred 9761 . . . . . . . 8
7361nngt0d 9789 . . . . . . . 8
74 ltmul2 9607 . . . . . . . 8
7568, 71, 72, 73, 74syl112anc 1186 . . . . . . 7
7666, 75mpbid 201 . . . . . 6
7763, 76eqbrtrrd 4045 . . . . 5
78 nnmulcl 9769 . . . . . . . 8
7954, 69, 78syl2an 463 . . . . . . 7
8079nnred 9761 . . . . . 6
8172, 80ltnled 8966 . . . . 5
8277, 81mpbid 201 . . . 4
8310a1i 10 . . . . . 6
8450ad2antrr 706 . . . . . 6
8579adantr 451 . . . . . . 7
86 simpr 447 . . . . . . . . 9
8770adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
8887nnsqcld 11265 . . . . . . . . . . 11
89 nnz 10045 . . . . . . . . . . 11
9088, 89syl 15 . . . . . . . . . 10
9154nnsqcld 11265 . . . . . . . . . . . . . 14
929, 91sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . 13
9391nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . 13
94 dvdsval2 12534 . . . . . . . . . . . . 13
9592, 93, 14, 94syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
9660, 95mpbid 201 . . . . . . . . . . 11
9796ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
9892ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
99 dvdscmul 12555 . . . . . . . . . 10
10090, 97, 98, 99syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
10186, 100mpd 14 . . . . . . . 8
10262adantr 451 . . . . . . . . . 10
10387nncnd 9762 . . . . . . . . . 10
104102, 103sqmuld 11257 . . . . . . . . 9
105104eqcomd 2288 . . . . . . . 8
106 nncn 9754 . . . . . . . . . 10
107106ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
10891ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
109108nncnd 9762 . . . . . . . . 9
11093ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
111107, 109, 110divcan2d 9538 . . . . . . . 8
112101, 105, 1113brtr3d 4052 . . . . . . 7
113 oveq1 5865 . . . . . . . . 9
114113breq1d 4033 . . . . . . . 8
115114elrab 2923 . . . . . . 7
11685, 112, 115sylanbrc 645 . . . . . 6
117 suprzub 10309 . . . . . 6
11883, 84, 116, 117syl3anc 1182 . . . . 5
1198ad2antrr 706 . . . . 5
120118, 119breqtrrd 4049 . . . 4
12182, 120mtand 640 . . 3
122121ex 423 . 2
12354, 60, 1223jca 1132 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  crab 2547   wss 3152  c0 3455   class class class wbr 4023   cmpt 4077  cfv 5255  (class class class)co 5858  csup 7193  cc 8735  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   cmul 8742   clt 8867   cle 8868   cdiv 9423  cn 9746  c2 9795  cz 10024  cuz 10230  cexp 11104   cdivides 12531 This theorem is referenced by:  prmreclem2  12964  prmreclem3  12965 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105  df-dvds 12532
 Copyright terms: Public domain W3C validator