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Theorem prmreclem2 13055
Description: Lemma for prmrec 13060. There are at most  2 ^ K squarefree numbers which divide no primes larger than  K. (We could strengthen this to  2 ^ # ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) ) but there's no reason to.) We establish the inequality by showing that the prime counts of the number up to  K completely determine it because all higher prime counts are zero, and they are all at most  1 because no square divides the number, so there are at most  2 ^ K possibilities. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 ) )
prmrec.2  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
prmrec.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
prmrec.4  |-  M  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }
prmreclem2.5  |-  Q  =  ( n  e.  NN  |->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  n } ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
prmreclem2  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  <_  ( 2 ^ K ) )
Distinct variable groups:    n, p, r, x, F    n, K, p, x    n, M, p, x    ph, n, p, x    Q, n, p, r, x   
n, N, p, x
Allowed substitution hints:    ph( r)    K( r)    M( r)    N( r)

Proof of Theorem prmreclem2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 5967 . . . 4  |-  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) )  e. 
_V
2 fveq2 5605 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  y ) )
32eqeq1d 2366 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( Q `  x
)  =  1  <->  ( Q `  y )  =  1 ) )
43elrab 2999 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 }  <->  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )
5 prmrec.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  M  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }
6 ssrab2 3334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }  C_  ( 1 ... N )
75, 6eqsstri 3284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  M  C_  ( 1 ... N
)
8 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )  ->  y  e.  M
)
98ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  y  e.  M )
107, 9sseldi 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  y  e.  ( 1 ... N
) )
11 elfznn 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 1 ... N )  ->  y  e.  NN )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  y  e.  NN )
13 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  n  e.  Prime )
14 prmuz2 12867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
1513, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
16 prmreclem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Q  =  ( n  e.  NN  |->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  n } ,  RR ,  <  ) )
1716prmreclem1 13054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( Q `  y
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  ||  y  /\  ( n  e.  ( ZZ>=
`  2 )  ->  -.  ( n ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
1817simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  (
n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  -.  ( n ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) ) )
1912, 15, 18sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  -.  ( n ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )
20 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )  ->  ( Q `  y )  =  1 )
2120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( Q `  y )  =  1 )
2221oveq1d 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
23 sq1 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2422, 23syl6eq 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  =  1 )
2524oveq2d 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  ( y  / 
1 ) )
2612nncnd 9849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  y  e.  CC )
2726div1d 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
y  /  1 )  =  y )
2825, 27eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  y )
2928breq2d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( n ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  <->  ( n ^ 2 )  ||  y ) )
3012nnzd 10205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  y  e.  ZZ )
31 2nn0 10071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  NN0
3231a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  2  e.  NN0 )
33 pcdvdsb 13012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  y  e.  ZZ  /\  2  e. 
NN0 )  ->  (
2  <_  ( n  pCnt  y )  <->  ( n ^ 2 )  ||  y ) )
3413, 30, 32, 33syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
2  <_  ( n  pCnt  y )  <->  ( n ^ 2 )  ||  y ) )
3529, 34bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( n ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  <->  2  <_  ( n  pCnt  y )
) )
3619, 35mtbid 291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  -.  2  <_  ( n  pCnt  y ) )
3713, 12pccld 12994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  NN0 )
3837nn0red 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  RR )
39 2re 9902 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
40 ltnle 8989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  pCnt  y
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( n  pCnt  y )  <  2  <->  -.  2  <_  ( n  pCnt  y ) ) )
4138, 39, 40sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( n  pCnt  y
)  <  2  <->  -.  2  <_  ( n  pCnt  y
) ) )
4236, 41mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  <  2 )
43 df-2 9891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =  ( 1  +  1 )
4442, 43syl6breq 4141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  <  ( 1  +  1 ) )
4537nn0zd 10204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  ZZ )
46 1z 10142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
47 zleltp1 10157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  pCnt  y
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( n  pCnt  y )  <_  1  <->  ( n  pCnt  y )  <  (
1  +  1 ) ) )
4845, 46, 47sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( n  pCnt  y
)  <_  1  <->  ( n  pCnt  y )  <  (
1  +  1 ) ) )
4944, 48mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  <_  1 )
50 nn0uz 10351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5137, 50syl6eleq 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
52 elfz5 10879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  pCnt  y
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( n  pCnt  y
)  e.  ( 0 ... 1 )  <->  ( n  pCnt  y )  <_  1
) )
5351, 46, 52sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( n  pCnt  y
)  e.  ( 0 ... 1 )  <->  ( n  pCnt  y )  <_  1
) )
5449, 53mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  ( 0 ... 1
) )
55 0z 10124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
56 fzpr 10929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
5755, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
58 1e0p1 10241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  ( 0  +  1 )
5958oveq2i 5953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
6058preq2i 3786 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 ,  1 }  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
6157, 59, 603eqtr4i 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... 1 )  =  { 0 ,  1 }
6254, 61syl6eleq 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  { 0 ,  1 } )
63 c0ex 8919 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
6463prid1 3810 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
6564a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  -.  n  e.  Prime )  -> 
0  e.  { 0 ,  1 } )
6662, 65ifclda 3668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K ) )  ->  if (
n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 )  e. 
{ 0 ,  1 } )
67 eqid 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) )
6866, 67fmptd 5764 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) ) : ( 1 ... K
) --> { 0 ,  1 } )
69 prex 4296 . . . . . . . . 9  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
70 ovex 5967 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... K )  e. 
_V
7169, 70elmap 6881 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) )  <->  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) ) : ( 1 ... K
) --> { 0 ,  1 } )
7268, 71sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  (
1 ... K ) ) )
7372ex 423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  M  /\  ( Q `
 y )  =  1 )  ->  (
n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) ) )
744, 73syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 }  ->  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  (
1 ... K ) ) ) )
75 fveq2 5605 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  z ) )
7675eqeq1d 2366 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( Q `  x
)  =  1  <->  ( Q `  z )  =  1 ) )
7776elrab 2999 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 }  <->  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z )  =  1 ) )
784, 77anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  /\  z  e.  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  <-> 
( ( y  e.  M  /\  ( Q `
 y )  =  1 )  /\  (
z  e.  M  /\  ( Q `  z )  =  1 ) ) )
79 ovex 5967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n 
pCnt  y )  e. 
_V
8079, 63ifex 3699 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 )  e. 
_V
8180, 67fnmpti 5451 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  Fn  ( 1 ... K )
82 ovex 5967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n 
pCnt  z )  e. 
_V
8382, 63ifex 3699 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 )  e. 
_V
84 eqid 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  z ) ,  0 ) )
8583, 84fnmpti 5451 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) )  Fn  ( 1 ... K )
86 eqfnfv 5702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  Fn  (
1 ... K )  /\  ( n  e.  (
1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 ) )  Fn  ( 1 ... K ) )  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  z ) ,  0 ) )  <->  A. p  e.  ( 1 ... K
) ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) ) `
 p )  =  ( ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  z ) ,  0 ) ) `  p ) ) )
8781, 85, 86mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) )  <->  A. p  e.  (
1 ... K ) ( ( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) ) `  p
)  =  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 ) ) `  p ) )
88 eleq1 2418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  p  ->  (
n  e.  Prime  <->  p  e.  Prime ) )
89 oveq1 5949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  p  ->  (
n  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  y ) )
90 eqidd 2359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  p  ->  0  =  0 )
9188, 89, 90ifbieq12d 3663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  p  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  y ) ,  0 ) )
92 ovex 5967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p 
pCnt  y )  e. 
_V
9392, 63ifex 3699 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  e. 
_V
9491, 67, 93fvmpt 5682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( 1 ... K )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) ) `  p
)  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 ) )
95 oveq1 5949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  p  ->  (
n  pCnt  z )  =  ( p  pCnt  z ) )
9688, 95, 90ifbieq12d 3663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  p  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 ) )
97 ovex 5967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p 
pCnt  z )  e. 
_V
9897, 63ifex 3699 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  e. 
_V
9996, 84, 98fvmpt 5682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( 1 ... K )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) ) `  p
)  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) )
10094, 99eqeq12d 2372 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( 1 ... K )  ->  (
( ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) ) `  p )  =  ( ( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) ) `  p
)  <->  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) ) )
101100ralbiia 2651 . . . . . . . . 9  |-  ( A. p  e.  ( 1 ... K ) ( ( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) ) `  p
)  =  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 ) ) `  p )  <->  A. p  e.  (
1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 ) )
10287, 101bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) )  <->  A. p  e.  (
1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 ) )
103 simprll 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  y  e.  M )
104 breq2 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  y  ->  (
p  ||  n  <->  p  ||  y
) )
105104notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  y  ->  ( -.  p  ||  n  <->  -.  p  ||  y ) )
106105ralbidv 2639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  n  <->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
) )
107106, 5elrab2 3001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  M  <->  ( y  e.  ( 1 ... N
)  /\  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
) )
108107simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  M  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
)
109103, 108syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
)
110 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  z  e.  M )
111 breq2 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  z  ->  (
p  ||  n  <->  p  ||  z
) )
112111notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  z  ->  ( -.  p  ||  n  <->  -.  p  ||  z ) )
113112ralbidv 2639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  z  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  n  <->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  z
) )
114113, 5elrab2 3001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  M  <->  ( z  e.  ( 1 ... N
)  /\  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  z
) )
115114simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  M  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  z
)
116110, 115syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  z
)
117 r19.26 2751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K
) ) ( -.  p  ||  y  /\  -.  p  ||  z )  <-> 
( A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y  /\  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  z
) )
118 eldifi 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  ->  p  e.  Prime )
11911ssriv 3260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
1207, 119sstri 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  M  C_  NN
121120, 103sseldi 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  y  e.  NN )
122 pceq0 13014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  y  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  y
)  =  0  <->  -.  p  ||  y ) )
123118, 121, 122syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `
 z )  =  1 ) ) )  /\  p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) )  ->  ( (
p  pCnt  y )  =  0  <->  -.  p  ||  y ) )
124120, 110sseldi 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  z  e.  NN )
125 pceq0 13014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  z  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  z
)  =  0  <->  -.  p  ||  z ) )
126118, 124, 125syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `
 z )  =  1 ) ) )  /\  p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) )  ->  ( (
p  pCnt  z )  =  0  <->  -.  p  ||  z ) )
127123, 126anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `
 z )  =  1 ) ) )  /\  p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) )  ->  ( (
( p  pCnt  y
)  =  0  /\  ( p  pCnt  z
)  =  0 )  <-> 
( -.  p  ||  y  /\  -.  p  ||  z ) ) )
128 eqtr3 2377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  pCnt  y
)  =  0  /\  ( p  pCnt  z
)  =  0 )  ->  ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z ) )
129127, 128syl6bir 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `
 z )  =  1 ) ) )  /\  p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) )  ->  ( ( -.  p  ||  y  /\  -.  p  ||  z )  ->  ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
130129ralimdva 2697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) ( -.  p  ||  y  /\  -.  p  ||  z
)  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
131117, 130syl5bir 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  (
( A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y  /\  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  z
)  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
132109, 116, 131mp2and 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) )
133132biantrud 493 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) ) ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z )  <->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z )  /\  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z ) ) ) )
134 incom 3437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) )  =  ( ( 1 ... K
)  i^i  Prime )
135134uneq1i 3401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) )  =  ( ( ( 1 ... K )  i^i  Prime )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) )
136 inundif 3608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... K
)  i^i  Prime )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) )  =  ( 1 ... K )
137135, 136eqtri 2378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) )  =  ( 1 ... K )
138137raleqi 2816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. p  e.  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) ) if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z
) ,  0 )  <->  A. p  e.  (
1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 ) )
139 ralunb 3432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. p  e.  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) ) if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z
) ,  0 )  <-> 
( A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  /\  A. p  e.  ( ( 1 ... K ) 
\  Prime ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) ) )
140138, 139bitr3i 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  ( 1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  /\  A. p  e.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) ) )
141 eldifn 3375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  ( ( 1 ... K )  \  Prime )  ->  -.  p  e.  Prime )
142 iffalse 3648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  p  e.  Prime  ->  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  0 )
143 iffalse 3648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  p  e.  Prime  ->  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z
) ,  0 )  =  0 )
144142, 143eqtr4d 2393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  p  e.  Prime  ->  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 ) )
145141, 144syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  ( ( 1 ... K )  \  Prime )  ->  if (
p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) )
146145rgen 2684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. p  e.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )
147146biantru 491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  <->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  /\  A. p  e.  ( ( 1 ... K ) 
\  Prime ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) ) )
148 inss1 3465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) )  C_  Prime
149148sseli 3252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) )  ->  p  e.  Prime )
150 iftrue 3647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  Prime  ->  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  y
) )
151 iftrue 3647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  Prime  ->  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  z
) )
152150, 151eqeq12d 2372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z )
) )
153149, 152syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) )  ->  ( if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z )
) )
154153ralbiia 2651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  <->  A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) )
155147, 154bitr3i 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) ) if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  /\  A. p  e.  ( ( 1 ... K ) 
\  Prime ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) )  <->  A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) )
156140, 155bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. p  e.  ( 1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) )
157 inundif 3608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) )  =  Prime
158157raleqi 2816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ) ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z ) )
159 ralunb 3432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ) ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z )  <->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) ) ( p 
pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z
)  /\  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
160158, 159bitr3i 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z
)  <->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z )  /\  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z ) ) )
161133, 156, 1603bitr4g 279 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  ( A. p  e.  (
1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
162121nnnn0d 10107 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  y  e.  NN0 )
163124nnnn0d 10107 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  z  e.  NN0 )
164 pc11 13023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )  -> 
( y  =  z  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z ) ) )
165162, 163, 164syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  (
y  =  z  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
166161, 165bitr4d 247 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  ( A. p  e.  (
1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  y  =  z ) )
167102, 166syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 ) )  <->  y  =  z ) )
168167ex 423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) )  ->  ( (
n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) )  <-> 
y  =  z ) ) )
16978, 168syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e. 
{ x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  /\  z  e. 
{ x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 ) )  <->  y  =  z ) ) )
17074, 169dom2d 6987 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K
) )  e.  _V  ->  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  ~<_  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K
) ) ) )
1711, 170mpi 16 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  ~<_  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K
) ) )
172 fzfi 11123 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
173 ssfi 7168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { n  e.  ( 1 ... N )  | 
A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  n }  C_  ( 1 ... N ) )  ->  { n  e.  (
1 ... N )  | 
A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  n }  e.  Fin )
174172, 6, 173mp2an 653 . . . . . 6  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }  e.  Fin
1755, 174eqeltri 2428 . . . . 5  |-  M  e. 
Fin
176 ssrab2 3334 . . . . 5  |-  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  C_  M
177 ssfi 7168 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  { x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } 
C_  M )  ->  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  e.  Fin )
178175, 176, 177mp2an 653 . . . 4  |-  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  e.  Fin
179 prfi 7218 . . . . 5  |-  { 0 ,  1 }  e.  Fin
180 fzfid 11124 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... K
)  e.  Fin )
181 mapfi 7239 . . . . 5  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  ( 1 ... K
)  e.  Fin )  ->  ( { 0 ,  1 }  ^m  (
1 ... K ) )  e.  Fin )
182179, 180, 181sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { 0 ,  1 }  ^m  (
1 ... K ) )  e.  Fin )
183 hashdom 11451 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  e.  Fin  /\  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) )  e.  Fin )  -> 
( ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  <_  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) )  <->  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  ~<_  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K
) ) ) )
184178, 182, 183sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  <_  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) )  <->  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  ~<_  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K
) ) ) )
185171, 184mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  <_  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) ) )
186 hashmap 11477 . . . 4  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  ( 1 ... K
)  e.  Fin )  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) )  =  ( (
# `  { 0 ,  1 } ) ^ ( # `  (
1 ... K ) ) ) )
187179, 180, 186sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) )  =  ( (
# `  { 0 ,  1 } ) ^ ( # `  (
1 ... K ) ) ) )
188 ax-1ne0 8893 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
189188necomi 2603 . . . . . 6  |-  0  =/=  1
190 0cn 8918 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
191 ax-1cn 8882 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
192 hashprg 11458 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( 0  =/=  1  <->  (
# `  { 0 ,  1 } )  =  2 ) )
193190, 191, 192mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( 0  =/=  1  <->  ( # `  {
0 ,  1 } )  =  2 )
194189, 193mpbi 199 . . . . 5  |-  ( # `  { 0 ,  1 } )  =  2
195194a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
0 ,  1 } )  =  2 )
196 prmrec.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
197196nnnn0d 10107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
198 hashfz1 11435 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... K
) )  =  K )
199197, 198syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... K ) )  =  K )
200195, 199oveq12d 5960 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
0 ,  1 } ) ^ ( # `  ( 1 ... K
) ) )  =  ( 2 ^ K
) )
201187, 200eqtrd 2390 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) )  =  ( 2 ^ K ) )
202185, 201breqtrd 4126 1  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  <_  ( 2 ^ K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   {crab 2623   _Vcvv 2864    \ cdif 3225    u. cun 3226    i^i cin 3227    C_ wss 3228   ifcif 3641   {cpr 3717   class class class wbr 4102    e. cmpt 4156    Fn wfn 5329   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942    ^m cmap 6857    ~<_ cdom 6946   Fincfn 6948   supcsup 7280   CCcc 8822   RRcr 8823   0cc0 8824   1c1 8825    + caddc 8827    < clt 8954    <_ cle 8955    / cdiv 9510   NNcn 9833   2c2 9882   NN0cn0 10054   ZZcz 10113   ZZ>=cuz 10319   ...cfz 10871   ^cexp 11194   #chash 11427    || cdivides 12622   Primecprime 12849    pCnt cpc 12980
This theorem is referenced by:  prmreclem3  13056
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-card 7659  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-fz 10872  df-fl 11014  df-mod 11063  df-seq 11136  df-exp 11195  df-hash 11428  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-dvds 12623  df-gcd 12777  df-prm 12850  df-pc 12981
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