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Theorem prmreclem2 13240
Description: Lemma for prmrec 13245. There are at most  2 ^ K squarefree numbers which divide no primes larger than  K. (We could strengthen this to  2 ^ # ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) ) but there's no reason to.) We establish the inequality by showing that the prime counts of the number up to  K completely determine it because all higher prime counts are zero, and they are all at most  1 because no square divides the number, so there are at most  2 ^ K possibilities. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 ) )
prmrec.2  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
prmrec.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
prmrec.4  |-  M  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }
prmreclem2.5  |-  Q  =  ( n  e.  NN  |->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  n } ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
prmreclem2  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  <_  ( 2 ^ K ) )
Distinct variable groups:    n, p, r, x, F    n, K, p, x    n, M, p, x    ph, n, p, x    Q, n, p, r, x   
n, N, p, x
Allowed substitution hints:    ph( r)    K( r)    M( r)    N( r)

Proof of Theorem prmreclem2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6065 . . . 4  |-  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) )  e. 
_V
2 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  y ) )
32eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( Q `  x
)  =  1  <->  ( Q `  y )  =  1 ) )
43elrab 3052 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 }  <->  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )
5 prmrec.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  M  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }
6 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }  C_  ( 1 ... N )
75, 6eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  M  C_  ( 1 ... N
)
8 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )  ->  y  e.  M
)
98ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  y  e.  M )
107, 9sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  y  e.  ( 1 ... N
) )
11 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 1 ... N )  ->  y  e.  NN )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  y  e.  NN )
13 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  n  e.  Prime )
14 prmuz2 13052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
16 prmreclem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Q  =  ( n  e.  NN  |->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  n } ,  RR ,  <  ) )
1716prmreclem1 13239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( Q `  y
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  ||  y  /\  ( n  e.  ( ZZ>=
`  2 )  ->  -.  ( n ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
1817simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  (
n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  -.  ( n ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) ) )
1912, 15, 18sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  -.  ( n ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )
20 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )  ->  ( Q `  y )  =  1 )
2120ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( Q `  y )  =  1 )
2221oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
23 sq1 11431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2422, 23syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  =  1 )
2524oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  ( y  / 
1 ) )
2612nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  y  e.  CC )
2726div1d 9738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
y  /  1 )  =  y )
2825, 27eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  y )
2928breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( n ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  <->  ( n ^ 2 )  ||  y ) )
3012nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  y  e.  ZZ )
31 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  NN0
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  2  e.  NN0 )
33 pcdvdsb 13197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  y  e.  ZZ  /\  2  e. 
NN0 )  ->  (
2  <_  ( n  pCnt  y )  <->  ( n ^ 2 )  ||  y ) )
3413, 30, 32, 33syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
2  <_  ( n  pCnt  y )  <->  ( n ^ 2 )  ||  y ) )
3529, 34bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( n ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  <->  2  <_  ( n  pCnt  y )
) )
3619, 35mtbid 292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  -.  2  <_  ( n  pCnt  y ) )
3713, 12pccld 13179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  NN0 )
3837nn0red 10231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  RR )
39 2re 10025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
40 ltnle 9111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  pCnt  y
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( n  pCnt  y )  <  2  <->  -.  2  <_  ( n  pCnt  y ) ) )
4138, 39, 40sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( n  pCnt  y
)  <  2  <->  -.  2  <_  ( n  pCnt  y
) ) )
4236, 41mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  <  2 )
43 df-2 10014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =  ( 1  +  1 )
4442, 43syl6breq 4211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  <  ( 1  +  1 ) )
4537nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  ZZ )
46 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
47 zleltp1 10282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  pCnt  y
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( n  pCnt  y )  <_  1  <->  ( n  pCnt  y )  <  (
1  +  1 ) ) )
4845, 46, 47sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( n  pCnt  y
)  <_  1  <->  ( n  pCnt  y )  <  (
1  +  1 ) ) )
4944, 48mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  <_  1 )
50 nn0uz 10476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5137, 50syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
52 elfz5 11007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  pCnt  y
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( n  pCnt  y
)  e.  ( 0 ... 1 )  <->  ( n  pCnt  y )  <_  1
) )
5351, 46, 52sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( n  pCnt  y
)  e.  ( 0 ... 1 )  <->  ( n  pCnt  y )  <_  1
) )
5449, 53mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  ( 0 ... 1
) )
55 0z 10249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
56 fzpr 11057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
5755, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
58 1e0p1 10366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  ( 0  +  1 )
5958oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
6058preq2i 3847 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 ,  1 }  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
6157, 59, 603eqtr4i 2434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... 1 )  =  { 0 ,  1 }
6254, 61syl6eleq 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  { 0 ,  1 } )
63 c0ex 9041 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
6463prid1 3872 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  -.  n  e.  Prime )  -> 
0  e.  { 0 ,  1 } )
6662, 65ifclda 3726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K ) )  ->  if (
n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 )  e. 
{ 0 ,  1 } )
67 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) )
6866, 67fmptd 5852 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) ) : ( 1 ... K
) --> { 0 ,  1 } )
69 prex 4366 . . . . . . . . 9  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
70 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... K )  e. 
_V
7169, 70elmap 7001 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) )  <->  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) ) : ( 1 ... K
) --> { 0 ,  1 } )
7268, 71sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  (
1 ... K ) ) )
7372ex 424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  M  /\  ( Q `
 y )  =  1 )  ->  (
n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) ) )
744, 73syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 }  ->  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  (
1 ... K ) ) ) )
75 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  z ) )
7675eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( Q `  x
)  =  1  <->  ( Q `  z )  =  1 ) )
7776elrab 3052 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 }  <->  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z )  =  1 ) )
784, 77anbi12i 679 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  /\  z  e.  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  <-> 
( ( y  e.  M  /\  ( Q `
 y )  =  1 )  /\  (
z  e.  M  /\  ( Q `  z )  =  1 ) ) )
79 ovex 6065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n 
pCnt  y )  e. 
_V
8079, 63ifex 3757 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 )  e. 
_V
8180, 67fnmpti 5532 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  Fn  ( 1 ... K )
82 ovex 6065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n 
pCnt  z )  e. 
_V
8382, 63ifex 3757 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 )  e. 
_V
84 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  z ) ,  0 ) )
8583, 84fnmpti 5532 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) )  Fn  ( 1 ... K )
86 eqfnfv 5786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  Fn  (
1 ... K )  /\  ( n  e.  (
1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 ) )  Fn  ( 1 ... K ) )  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  z ) ,  0 ) )  <->  A. p  e.  ( 1 ... K
) ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) ) `
 p )  =  ( ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  z ) ,  0 ) ) `  p ) ) )
8781, 85, 86mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) )  <->  A. p  e.  (
1 ... K ) ( ( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) ) `  p
)  =  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 ) ) `  p ) )
88 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  p  ->  (
n  e.  Prime  <->  p  e.  Prime ) )
89 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  p  ->  (
n  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  y ) )
90 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  p  ->  0  =  0 )
9188, 89, 90ifbieq12d 3721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  p  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  y ) ,  0 ) )
92 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p 
pCnt  y )  e. 
_V
9392, 63ifex 3757 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  e. 
_V
9491, 67, 93fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( 1 ... K )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) ) `  p
)  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 ) )
95 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  p  ->  (
n  pCnt  z )  =  ( p  pCnt  z ) )
9688, 95, 90ifbieq12d 3721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  p  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 ) )
97 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p 
pCnt  z )  e. 
_V
9897, 63ifex 3757 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  e. 
_V
9996, 84, 98fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( 1 ... K )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) ) `  p
)  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) )
10094, 99eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( 1 ... K )  ->  (
( ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) ) `  p )  =  ( ( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) ) `  p
)  <->  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) ) )
101100ralbiia 2698 . . . . . . . . 9  |-  ( A. p  e.  ( 1 ... K ) ( ( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) ) `  p
)  =  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 ) ) `  p )  <->  A. p  e.  (
1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 ) )
10287, 101bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) )  <->  A. p  e.  (
1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 ) )
103 simprll 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  y  e.  M )
104 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  y  ->  (
p  ||  n  <->  p  ||  y
) )
105104notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  y  ->  ( -.  p  ||  n  <->  -.  p  ||  y ) )
106105ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  n  <->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
) )
107106, 5elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  M  <->  ( y  e.  ( 1 ... N
)  /\  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
) )
108107simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  M  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
)
109103, 108syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
)
110 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  z  e.  M )
111 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  z  ->  (
p  ||  n  <->  p  ||  z
) )
112111notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  z  ->  ( -.  p  ||  n  <->  -.  p  ||  z ) )
113112ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  z  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  n  <->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  z
) )
114113, 5elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  M  <->  ( z  e.  ( 1 ... N
)  /\  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  z
) )
115114simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  M  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  z
)
116110, 115syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  z
)
117 r19.26 2798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K
) ) ( -.  p  ||  y  /\  -.  p  ||  z )  <-> 
( A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y  /\  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  z
) )
118 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  ->  p  e.  Prime )
11911ssriv 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
1207, 119sstri 3317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  M  C_  NN
121120, 103sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  y  e.  NN )
122 pceq0 13199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  y  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  y
)  =  0  <->  -.  p  ||  y ) )
123118, 121, 122syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `
 z )  =  1 ) ) )  /\  p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) )  ->  ( (
p  pCnt  y )  =  0  <->  -.  p  ||  y ) )
124120, 110sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  z  e.  NN )
125 pceq0 13199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  z  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  z
)  =  0  <->  -.  p  ||  z ) )
126118, 124, 125syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `
 z )  =  1 ) ) )  /\  p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) )  ->  ( (
p  pCnt  z )  =  0  <->  -.  p  ||  z ) )
127123, 126anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `
 z )  =  1 ) ) )  /\  p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) )  ->  ( (
( p  pCnt  y
)  =  0  /\  ( p  pCnt  z
)  =  0 )  <-> 
( -.  p  ||  y  /\  -.  p  ||  z ) ) )
128 eqtr3 2423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  pCnt  y
)  =  0  /\  ( p  pCnt  z
)  =  0 )  ->  ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z ) )
129127, 128syl6bir 221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `
 z )  =  1 ) ) )  /\  p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) )  ->  ( ( -.  p  ||  y  /\  -.  p  ||  z )  ->  ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
130129ralimdva 2744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) ( -.  p  ||  y  /\  -.  p  ||  z
)  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
131117, 130syl5bir 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  (
( A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y  /\  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  z
)  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
132109, 116, 131mp2and 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) )
133132biantrud 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) ) ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z )  <->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z )  /\  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z ) ) ) )
134 incom 3493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) )  =  ( ( 1 ... K
)  i^i  Prime )
135134uneq1i 3457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) )  =  ( ( ( 1 ... K )  i^i  Prime )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) )
136 inundif 3666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... K
)  i^i  Prime )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) )  =  ( 1 ... K )
137135, 136eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) )  =  ( 1 ... K )
138137raleqi 2868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. p  e.  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) ) if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z
) ,  0 )  <->  A. p  e.  (
1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 ) )
139 ralunb 3488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. p  e.  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) ) if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z
) ,  0 )  <-> 
( A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  /\  A. p  e.  ( ( 1 ... K ) 
\  Prime ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) ) )
140138, 139bitr3i 243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  ( 1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  /\  A. p  e.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) ) )
141 eldifn 3430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  ( ( 1 ... K )  \  Prime )  ->  -.  p  e.  Prime )
142 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  p  e.  Prime  ->  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  0 )
143 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  p  e.  Prime  ->  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z
) ,  0 )  =  0 )
144142, 143eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  p  e.  Prime  ->  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 ) )
145141, 144syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  ( ( 1 ... K )  \  Prime )  ->  if (
p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) )
146145rgen 2731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. p  e.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )
147146biantru 492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  <->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  /\  A. p  e.  ( ( 1 ... K ) 
\  Prime ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) ) )
148 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) )  C_  Prime
149148sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) )  ->  p  e.  Prime )
150 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  Prime  ->  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  y
) )
151 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  Prime  ->  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  z
) )
152150, 151eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z )
) )
153149, 152syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) )  ->  ( if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z )
) )
154153ralbiia 2698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  <->  A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) )
155147, 154bitr3i 243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) ) if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  /\  A. p  e.  ( ( 1 ... K ) 
\  Prime ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) )  <->  A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) )
156140, 155bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. p  e.  ( 1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) )
157 inundif 3666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) )  =  Prime
158157raleqi 2868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ) ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z ) )
159 ralunb 3488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ) ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z )  <->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) ) ( p 
pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z
)  /\  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
160158, 159bitr3i 243 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z
)  <->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z )  /\  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z ) ) )
161133, 156, 1603bitr4g 280 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  ( A. p  e.  (
1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
162121nnnn0d 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  y  e.  NN0 )
163124nnnn0d 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  z  e.  NN0 )
164 pc11 13208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )  -> 
( y  =  z  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z ) ) )
165162, 163, 164syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  (
y  =  z  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
166161, 165bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  ( A. p  e.  (
1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  y  =  z ) )
167102, 166syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 ) )  <->  y  =  z ) )
168167ex 424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) )  ->  ( (
n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) )  <-> 
y  =  z ) ) )
16978, 168syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e. 
{ x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  /\  z  e. 
{ x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 ) )  <->  y  =  z ) ) )
17074, 169dom2d 7107 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K
) )  e.  _V  ->  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  ~<_  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K
) ) ) )
1711, 170mpi 17 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  ~<_  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K
) ) )
172 fzfi 11266 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
173 ssfi 7288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { n  e.  ( 1 ... N )  | 
A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  n }  C_  ( 1 ... N ) )  ->  { n  e.  (
1 ... N )  | 
A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  n }  e.  Fin )
174172, 6, 173mp2an 654 . . . . . 6  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }  e.  Fin
1755, 174eqeltri 2474 . . . . 5  |-  M  e. 
Fin
176 ssrab2 3388 . . . . 5  |-  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  C_  M
177 ssfi 7288 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  { x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } 
C_  M )  ->  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  e.  Fin )
178175, 176, 177mp2an 654 . . . 4  |-  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  e.  Fin
179 prfi 7340 . . . . 5  |-  { 0 ,  1 }  e.  Fin
180 fzfid 11267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... K
)  e.  Fin )
181 mapfi 7361 . . . . 5  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  ( 1 ... K
)  e.  Fin )  ->  ( { 0 ,  1 }  ^m  (
1 ... K ) )  e.  Fin )
182179, 180, 181sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { 0 ,  1 }  ^m  (
1 ... K ) )  e.  Fin )
183 hashdom 11608 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  e.  Fin  /\  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) )  e.  Fin )  -> 
( ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  <_  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) )  <->  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  ~<_  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K
) ) ) )
184178, 182, 183sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  <_  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) )  <->  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  ~<_  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K
) ) ) )
185171, 184mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  <_  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) ) )
186 hashmap 11653 . . . 4  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  ( 1 ... K
)  e.  Fin )  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) )  =  ( (
# `  { 0 ,  1 } ) ^ ( # `  (
1 ... K ) ) ) )
187179, 180, 186sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) )  =  ( (
# `  { 0 ,  1 } ) ^ ( # `  (
1 ... K ) ) ) )
188 ax-1ne0 9015 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
189188necomi 2649 . . . . . 6  |-  0  =/=  1
190 0cn 9040 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
191 ax-1cn 9004 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
192 hashprg 11621 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( 0  =/=  1  <->  (
# `  { 0 ,  1 } )  =  2 ) )
193190, 191, 192mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( 0  =/=  1  <->  ( # `  {
0 ,  1 } )  =  2 )
194189, 193mpbi 200 . . . . 5  |-  ( # `  { 0 ,  1 } )  =  2
195194a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
0 ,  1 } )  =  2 )
196 prmrec.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
197196nnnn0d 10230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
198 hashfz1 11585 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... K
) )  =  K )
199197, 198syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... K ) )  =  K )
200195, 199oveq12d 6058 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
0 ,  1 } ) ^ ( # `  ( 1 ... K
) ) )  =  ( 2 ^ K
) )
201187, 200eqtrd 2436 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) )  =  ( 2 ^ K ) )
202185, 201breqtrd 4196 1  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  <_  ( 2 ^ K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ifcif 3699   {cpr 3775   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977    ~<_ cdom 7066   Fincfn 7068   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   ^cexp 11337   #chash 11573    || cdivides 12807   Primecprime 13034    pCnt cpc 13165
This theorem is referenced by:  prmreclem3  13241
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166
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