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Theorem prmreclem2 13290
Description: Lemma for prmrec 13295. There are at most  2 ^ K squarefree numbers which divide no primes larger than  K. (We could strengthen this to  2 ^ # ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) ) but there's no reason to.) We establish the inequality by showing that the prime counts of the number up to  K completely determine it because all higher prime counts are zero, and they are all at most  1 because no square divides the number, so there are at most  2 ^ K possibilities. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 ) )
prmrec.2  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
prmrec.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
prmrec.4  |-  M  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }
prmreclem2.5  |-  Q  =  ( n  e.  NN  |->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  n } ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
prmreclem2  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  <_  ( 2 ^ K ) )
Distinct variable groups:    n, p, r, x, F    n, K, p, x    n, M, p, x    ph, n, p, x    Q, n, p, r, x   
n, N, p, x
Allowed substitution hints:    ph( r)    K( r)    M( r)    N( r)

Proof of Theorem prmreclem2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6109 . . . 4  |-  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) )  e. 
_V
2 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  y ) )
32eqeq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( Q `  x
)  =  1  <->  ( Q `  y )  =  1 ) )
43elrab 3094 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 }  <->  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )
5 prmrec.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  M  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }
6 ssrab2 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }  C_  ( 1 ... N )
75, 6eqsstri 3380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  M  C_  ( 1 ... N
)
8 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )  ->  y  e.  M
)
98ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  y  e.  M )
107, 9sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  y  e.  ( 1 ... N
) )
11 elfznn 11085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 1 ... N )  ->  y  e.  NN )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  y  e.  NN )
13 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  n  e.  Prime )
14 prmuz2 13102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
16 prmreclem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Q  =  ( n  e.  NN  |->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  n } ,  RR ,  <  ) )
1716prmreclem1 13289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( Q `  y
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  ||  y  /\  ( n  e.  ( ZZ>=
`  2 )  ->  -.  ( n ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
1817simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  (
n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  -.  ( n ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) ) )
1912, 15, 18sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  -.  ( n ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )
20 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )  ->  ( Q `  y )  =  1 )
2120ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( Q `  y )  =  1 )
2221oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
23 sq1 11481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2422, 23syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  =  1 )
2524oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  ( y  / 
1 ) )
2612nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  y  e.  CC )
2726div1d 9787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
y  /  1 )  =  y )
2825, 27eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  y )
2928breq2d 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( n ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  <->  ( n ^ 2 )  ||  y ) )
3012nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  y  e.  ZZ )
31 2nn0 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  NN0
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  2  e.  NN0 )
33 pcdvdsb 13247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  y  e.  ZZ  /\  2  e. 
NN0 )  ->  (
2  <_  ( n  pCnt  y )  <->  ( n ^ 2 )  ||  y ) )
3413, 30, 32, 33syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
2  <_  ( n  pCnt  y )  <->  ( n ^ 2 )  ||  y ) )
3529, 34bitr4d 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( n ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  <->  2  <_  ( n  pCnt  y )
) )
3619, 35mtbid 293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  -.  2  <_  ( n  pCnt  y ) )
3713, 12pccld 13229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  NN0 )
3837nn0red 10280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  RR )
39 2re 10074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
40 ltnle 9160 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  pCnt  y
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( n  pCnt  y )  <  2  <->  -.  2  <_  ( n  pCnt  y ) ) )
4138, 39, 40sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( n  pCnt  y
)  <  2  <->  -.  2  <_  ( n  pCnt  y
) ) )
4236, 41mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  <  2 )
43 df-2 10063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =  ( 1  +  1 )
4442, 43syl6breq 4254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  <  ( 1  +  1 ) )
4537nn0zd 10378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  ZZ )
46 1z 10316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
47 zleltp1 10331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  pCnt  y
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( n  pCnt  y )  <_  1  <->  ( n  pCnt  y )  <  (
1  +  1 ) ) )
4845, 46, 47sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( n  pCnt  y
)  <_  1  <->  ( n  pCnt  y )  <  (
1  +  1 ) ) )
4944, 48mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  <_  1 )
50 nn0uz 10525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5137, 50syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
52 elfz5 11056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  pCnt  y
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( n  pCnt  y
)  e.  ( 0 ... 1 )  <->  ( n  pCnt  y )  <_  1
) )
5351, 46, 52sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
( n  pCnt  y
)  e.  ( 0 ... 1 )  <->  ( n  pCnt  y )  <_  1
) )
5449, 53mpbird 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  ( 0 ... 1
) )
55 0z 10298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
56 fzpr 11106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
58 1e0p1 10415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  ( 0  +  1 )
5958oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
6058preq2i 3889 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 ,  1 }  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
6157, 59, 603eqtr4i 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... 1 )  =  { 0 ,  1 }
6254, 61syl6eleq 2528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  n  e.  Prime )  ->  (
n  pCnt  y )  e.  { 0 ,  1 } )
63 c0ex 9090 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
6463prid1 3914 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K
) )  /\  -.  n  e.  Prime )  -> 
0  e.  { 0 ,  1 } )
6662, 65ifclda 3768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )  /\  n  e.  ( 1 ... K ) )  ->  if (
n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 )  e. 
{ 0 ,  1 } )
67 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) )
6866, 67fmptd 5896 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) ) : ( 1 ... K
) --> { 0 ,  1 } )
69 prex 4409 . . . . . . . . 9  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
70 ovex 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... K )  e. 
_V
7169, 70elmap 7045 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) )  <->  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) ) : ( 1 ... K
) --> { 0 ,  1 } )
7268, 71sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  (
1 ... K ) ) )
7372ex 425 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  M  /\  ( Q `
 y )  =  1 )  ->  (
n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) ) )
744, 73syl5bi 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 }  ->  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  (
1 ... K ) ) ) )
75 fveq2 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  z ) )
7675eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( Q `  x
)  =  1  <->  ( Q `  z )  =  1 ) )
7776elrab 3094 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 }  <->  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z )  =  1 ) )
784, 77anbi12i 680 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  /\  z  e.  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  <-> 
( ( y  e.  M  /\  ( Q `
 y )  =  1 )  /\  (
z  e.  M  /\  ( Q `  z )  =  1 ) ) )
79 ovex 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n 
pCnt  y )  e. 
_V
8079, 63ifex 3799 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 )  e. 
_V
8180, 67fnmpti 5576 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  Fn  ( 1 ... K )
82 ovex 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n 
pCnt  z )  e. 
_V
8382, 63ifex 3799 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 )  e. 
_V
84 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  z ) ,  0 ) )
8583, 84fnmpti 5576 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) )  Fn  ( 1 ... K )
86 eqfnfv 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  Fn  (
1 ... K )  /\  ( n  e.  (
1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 ) )  Fn  ( 1 ... K ) )  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  z ) ,  0 ) )  <->  A. p  e.  ( 1 ... K
) ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) ) `
 p )  =  ( ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  z ) ,  0 ) ) `  p ) ) )
8781, 85, 86mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) )  <->  A. p  e.  (
1 ... K ) ( ( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) ) `  p
)  =  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 ) ) `  p ) )
88 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  p  ->  (
n  e.  Prime  <->  p  e.  Prime ) )
89 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  p  ->  (
n  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  y ) )
90 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  p  ->  0  =  0 )
9188, 89, 90ifbieq12d 3763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  p  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  y ) ,  0 ) )
92 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p 
pCnt  y )  e. 
_V
9392, 63ifex 3799 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  e. 
_V
9491, 67, 93fvmpt 5809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( 1 ... K )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) ) `  p
)  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 ) )
95 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  p  ->  (
n  pCnt  z )  =  ( p  pCnt  z ) )
9688, 95, 90ifbieq12d 3763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  p  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 ) )
97 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p 
pCnt  z )  e. 
_V
9897, 63ifex 3799 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  e. 
_V
9996, 84, 98fvmpt 5809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( 1 ... K )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) ) `  p
)  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) )
10094, 99eqeq12d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( 1 ... K )  ->  (
( ( n  e.  ( 1 ... K
)  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n 
pCnt  y ) ,  0 ) ) `  p )  =  ( ( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) ) `  p
)  <->  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) ) )
101100ralbiia 2739 . . . . . . . . 9  |-  ( A. p  e.  ( 1 ... K ) ( ( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) ) `  p
)  =  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 ) ) `  p )  <->  A. p  e.  (
1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 ) )
10287, 101bitri 242 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) )  <->  A. p  e.  (
1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 ) )
103 simprll 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  y  e.  M )
104 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  y  ->  (
p  ||  n  <->  p  ||  y
) )
105104notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  y  ->  ( -.  p  ||  n  <->  -.  p  ||  y ) )
106105ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  n  <->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
) )
107106, 5elrab2 3096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  M  <->  ( y  e.  ( 1 ... N
)  /\  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
) )
108107simprbi 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  M  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
)
109103, 108syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
)
110 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  z  e.  M )
111 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  z  ->  (
p  ||  n  <->  p  ||  z
) )
112111notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  z  ->  ( -.  p  ||  n  <->  -.  p  ||  z ) )
113112ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  z  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  n  <->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  z
) )
114113, 5elrab2 3096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  M  <->  ( z  e.  ( 1 ... N
)  /\  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  z
) )
115114simprbi 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  M  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  z
)
116110, 115syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  z
)
117 r19.26 2840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K
) ) ( -.  p  ||  y  /\  -.  p  ||  z )  <-> 
( A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y  /\  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  z
) )
118 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  ->  p  e.  Prime )
11911ssriv 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
1207, 119sstri 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  M  C_  NN
121120, 103sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  y  e.  NN )
122 pceq0 13249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  y  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  y
)  =  0  <->  -.  p  ||  y ) )
123118, 121, 122syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `
 z )  =  1 ) ) )  /\  p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) )  ->  ( (
p  pCnt  y )  =  0  <->  -.  p  ||  y ) )
124120, 110sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  z  e.  NN )
125 pceq0 13249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  z  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  z
)  =  0  <->  -.  p  ||  z ) )
126118, 124, 125syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `
 z )  =  1 ) ) )  /\  p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) )  ->  ( (
p  pCnt  z )  =  0  <->  -.  p  ||  z ) )
127123, 126anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `
 z )  =  1 ) ) )  /\  p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) )  ->  ( (
( p  pCnt  y
)  =  0  /\  ( p  pCnt  z
)  =  0 )  <-> 
( -.  p  ||  y  /\  -.  p  ||  z ) ) )
128 eqtr3 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  pCnt  y
)  =  0  /\  ( p  pCnt  z
)  =  0 )  ->  ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z ) )
129127, 128syl6bir 222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( y  e.  M  /\  ( Q `  y
)  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `
 z )  =  1 ) ) )  /\  p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) )  ->  ( ( -.  p  ||  y  /\  -.  p  ||  z )  ->  ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
130129ralimdva 2786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) ( -.  p  ||  y  /\  -.  p  ||  z
)  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
131117, 130syl5bir 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  (
( A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y  /\  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  z
)  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
132109, 116, 131mp2and 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) )
133132biantrud 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) ) ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z )  <->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z )  /\  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z ) ) ) )
134 incom 3535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) )  =  ( ( 1 ... K
)  i^i  Prime )
135134uneq1i 3499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) )  =  ( ( ( 1 ... K )  i^i  Prime )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) )
136 inundif 3708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... K
)  i^i  Prime )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) )  =  ( 1 ... K )
137135, 136eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) )  =  ( 1 ... K )
138137raleqi 2910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. p  e.  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) ) if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z
) ,  0 )  <->  A. p  e.  (
1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 ) )
139 ralunb 3530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. p  e.  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) ) if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z
) ,  0 )  <-> 
( A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  /\  A. p  e.  ( ( 1 ... K ) 
\  Prime ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) ) )
140138, 139bitr3i 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  ( 1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  /\  A. p  e.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) ) )
141 eldifn 3472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  ( ( 1 ... K )  \  Prime )  ->  -.  p  e.  Prime )
142 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  p  e.  Prime  ->  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  0 )
143 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  p  e.  Prime  ->  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z
) ,  0 )  =  0 )
144142, 143eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  p  e.  Prime  ->  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 ) )
145141, 144syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  ( ( 1 ... K )  \  Prime )  ->  if (
p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) )
146145rgen 2773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. p  e.  ( ( 1 ... K )  \  Prime ) if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )
147146biantru 493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  <->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  /\  A. p  e.  ( ( 1 ... K ) 
\  Prime ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) ) )
148 inss1 3563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) )  C_  Prime
149148sseli 3346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) )  ->  p  e.  Prime )
150 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  Prime  ->  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  y
) )
151 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  Prime  ->  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  z
) )
152150, 151eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z )
) )
153149, 152syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) )  ->  ( if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z )
) )
154153ralbiia 2739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  <->  A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) )
155147, 154bitr3i 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) ) if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 )  /\  A. p  e.  ( ( 1 ... K ) 
\  Prime ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y ) ,  0 )  =  if ( p  e. 
Prime ,  ( p  pCnt  z ) ,  0 ) )  <->  A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) )
156140, 155bitri 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. p  e.  ( 1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) )
157 inundif 3708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) )  =  Prime
158157raleqi 2910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ) ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z ) )
159 ralunb 3530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  ( ( Prime  i^i  ( 1 ... K ) )  u.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ) ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z )  <->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  ( 1 ... K
) ) ( p 
pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z
)  /\  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
160158, 159bitr3i 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z
)  <->  ( A. p  e.  ( Prime  i^i  (
1 ... K ) ) ( p  pCnt  y
)  =  ( p 
pCnt  z )  /\  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) ) ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z ) ) )
161133, 156, 1603bitr4g 281 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  ( A. p  e.  (
1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
162121nnnn0d 10279 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  y  e.  NN0 )
163124nnnn0d 10279 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  z  e.  NN0 )
164 pc11 13258 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )  -> 
( y  =  z  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  =  ( p  pCnt  z ) ) )
165162, 163, 164syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  (
y  =  z  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  =  ( p 
pCnt  z ) ) )
166161, 165bitr4d 249 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  ( A. p  e.  (
1 ... K ) if ( p  e.  Prime ,  ( p  pCnt  y
) ,  0 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( p 
pCnt  z ) ,  0 )  <->  y  =  z ) )
167102, 166syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) ) )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 ) )  <->  y  =  z ) )
168167ex 425 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  M  /\  ( Q `  y )  =  1 )  /\  ( z  e.  M  /\  ( Q `  z
)  =  1 ) )  ->  ( (
n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  y
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z ) ,  0 ) )  <-> 
y  =  z ) ) )
16978, 168syl5bi 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e. 
{ x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  /\  z  e. 
{ x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... K ) 
|->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n  pCnt  y ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... K )  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n  pCnt  z
) ,  0 ) )  <->  y  =  z ) ) )
17074, 169dom2d 7151 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K
) )  e.  _V  ->  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  ~<_  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K
) ) ) )
1711, 170mpi 17 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  ~<_  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K
) ) )
172 fzfi 11316 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
173 ssfi 7332 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { n  e.  ( 1 ... N )  | 
A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  n }  C_  ( 1 ... N ) )  ->  { n  e.  (
1 ... N )  | 
A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  n }  e.  Fin )
174172, 6, 173mp2an 655 . . . . . 6  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }  e.  Fin
1755, 174eqeltri 2508 . . . . 5  |-  M  e. 
Fin
176 ssrab2 3430 . . . . 5  |-  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  C_  M
177 ssfi 7332 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  { x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } 
C_  M )  ->  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  e.  Fin )
178175, 176, 177mp2an 655 . . . 4  |-  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  e.  Fin
179 prfi 7384 . . . . 5  |-  { 0 ,  1 }  e.  Fin
180 fzfid 11317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... K
)  e.  Fin )
181 mapfi 7406 . . . . 5  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  ( 1 ... K
)  e.  Fin )  ->  ( { 0 ,  1 }  ^m  (
1 ... K ) )  e.  Fin )
182179, 180, 181sylancr 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { 0 ,  1 }  ^m  (
1 ... K ) )  e.  Fin )
183 hashdom 11658 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  e.  Fin  /\  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) )  e.  Fin )  -> 
( ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  <_  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) )  <->  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  ~<_  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K
) ) ) )
184178, 182, 183sylancr 646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  <_  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) )  <->  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  ~<_  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K
) ) ) )
185171, 184mpbird 225 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  <_  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) ) )
186 hashmap 11703 . . . 4  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  ( 1 ... K
)  e.  Fin )  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) )  =  ( (
# `  { 0 ,  1 } ) ^ ( # `  (
1 ... K ) ) ) )
187179, 180, 186sylancr 646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) )  =  ( (
# `  { 0 ,  1 } ) ^ ( # `  (
1 ... K ) ) ) )
188 ax-1ne0 9064 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
189188necomi 2688 . . . . . 6  |-  0  =/=  1
190 0cn 9089 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
191 ax-1cn 9053 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
192 hashprg 11671 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( 0  =/=  1  <->  (
# `  { 0 ,  1 } )  =  2 ) )
193190, 191, 192mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( 0  =/=  1  <->  ( # `  {
0 ,  1 } )  =  2 )
194189, 193mpbi 201 . . . . 5  |-  ( # `  { 0 ,  1 } )  =  2
195194a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
0 ,  1 } )  =  2 )
196 prmrec.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
197196nnnn0d 10279 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
198 hashfz1 11635 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... K
) )  =  K )
199197, 198syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... K ) )  =  K )
200195, 199oveq12d 6102 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
0 ,  1 } ) ^ ( # `  ( 1 ... K
) ) )  =  ( 2 ^ K
) )
201187, 200eqtrd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  ^m  ( 1 ... K ) ) )  =  ( 2 ^ K ) )
202185, 201breqtrd 4239 1  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  <_  ( 2 ^ K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ifcif 3741   {cpr 3817   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021    ~<_ cdom 7110   Fincfn 7112   supcsup 7448   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    < clt 9125    <_ cle 9126    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048   ^cexp 11387   #chash 11623    || cdivides 12857   Primecprime 13084    pCnt cpc 13215
This theorem is referenced by:  prmreclem3  13291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-dvds 12858  df-gcd 13012  df-prm 13085  df-pc 13216
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